Дифференциальные уравнения(МТУСИ)2013г
.pdf3. Варианты контрольных заданий по дифференциальным уравнениям
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора(найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 1
1.1y¢ = 5x+y .
1.22x2 y¢ = x2 + y2 .
1.3y¢ + y = x y .
|
æ |
|
x2 + y2 ö |
x2 + y2 |
|||||
1.4 |
ç |
2x + |
|
|
|
÷dx = |
|
|
dy . |
x |
2 |
y |
xy |
2 |
|||||
|
è |
|
|
ø |
|
|
1.5y3 y¢¢ +1 = 0 .
1.6x2 y¢¢ = y¢2 .
1.7y¢¢(x + 2)5 =1; y (-1 )= 121 , y¢(-1 )= - 14 .
1.8y¢¢¢ + y¢ = 0; y (0) =1, y¢(0) = -1, y¢¢(0) = 0 .
1.9y¢¢ - 3y¢ + 2 y = (x2 + x)e3 x .
1.10y¢¢¢ + 4 y¢¢ = x -1 + cos4x .
|
¢¢ |
2 |
p 2 |
|
|
1.11 y |
+ p y = cosp x . |
||||
|
1.12 y¢ = xy + ey ; y (0) = 0.
1.13Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(0; 2), если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равняется ординате этой точки, увеличенной в 3 раза.
1.14Найти силу тока в катушке в момент t , если ее сопротивление R , индуктивность L , а электродвижущая сила (эдс) меняется по закону E = E0 sinwt .
Начальная сила тока i0 = 0 .
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 2
2.1x dx + y =1. dy
2.2y¢ = x + y . y x
2.3(sin2 y + xctgy )y¢ =1.
2.4e- ydx - (2 y + xe- y )dy = 0 .
2.5(1 + x2 )y¢¢ - 2xy¢ = 0; y (0) = 0; y¢(0) = 3.
2.6y¢¢(x +1)- 2 y¢ = 0 .
2.7y¢¢ = 1 + y¢2 .
2.8y¢¢¢ - 5y¢¢ + 8y¢ - 4 y = 0; y (0) = 0, y¢(0) = -1, y¢¢(0) = -3.
2.9y¢¢ - 2 y¢ + y = 6xex .
2.10y¢¢ - 3y¢ = x + cosx .
2.11 y |
¢¢ |
+ 3y |
¢ |
|
|
9e3 x |
|
|
= |
1 + e3 x . |
|||||||
|
|
2.12y¢¢ - (1 + x2 )y = 0; y (0) = -2, y¢(0) = 2 .
2.13Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(2; 5), если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке в 8 раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.
2.14За сколько времени тело, нагретое до 1000 , в комнате с температурой Т0 = 200 охладится до 250 , если до 600 оно охладится за 10 мин.?
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 3
3.1y¢ = cos( y - x).
3.2y¢ = x + y .
x- y
3.3xy¢ + y = ex , y (1) =1.
3.4(3x2 - 2 - 2x - y )dx + (2 y - x + 3y2 )dy = 0 .
3.5yIV = x .
3.6x3 y¢¢ + x2 y¢ =1.
3.7(y¢)2 = y¢¢( y -1).
3.8y¢¢¢ - 5y¢¢ = 0; y (0) = 5, y¢(0) = 28, y¢¢(0) =125 .
3.9y¢¢ + y = sin x .
3.10y¢¢ + 3y¢ - 4 y = e-4 x + xe-x .
3.11y¢¢ + 4 y = 8ctg2x .
3.12 y¢ = x2 y2 +1; y (0) =1.
3.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точкуA(0; 4), если известно,
что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат.
3.14Катер движется со скоростью 18 км/ч. Через 5 мин после выключения мотора его скорость уменьшилась до 6 км/ч. Найти расстояние, пройденное катером по инерции за 15 мин, если сопротивление воды пропорционально скорости движения катера.
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 4
4.1y¢ - y = 2x - 3 .
4.2(x + 2 y)dx - xdy = 0 .
4.3y¢ = y4cosx + ytgx .
4.4(2x3 - xy2 )dx + (2 y3 - x2 y )dy .
4.5 |
y¢¢ - |
y¢ |
|
= x(x -1); y 2( =) 1, y¢(2 )= -1. |
|||||
|
|
|
|||||||
x - |
|
||||||||
|
|
1 |
y ' |
|
|
||||
4.6 |
xy¢¢ = y¢ln |
. |
|||||||
|
|||||||||
|
( y¢ )2 |
|
|
x |
|
||||
4.7 |
y -1 |
. |
|||||||
= |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|||||||
|
y¢¢ |
|
|
4.8y¢¢¢ + 4 y¢ = 0; y (0) = 3, y¢(0) = -2, y¢¢(0) = -4 .
4.9y¢¢ + 7 y¢ +10 y = 2xe-2 x .
4.10y(5) + 4 y¢¢¢ = x + 2 + 5exsinx .
4 4.11 y¢¢ - 6 y¢ + 8 y = 1 + e-2 x .
4.12 y¢¢ = ( y¢)2 + xy; y (0) = 4, y¢(0) = -2.
4.13 Записать уравнение кривой, проходящей через точкуA(2; 3) и обладающей
свойством: длина перпендикуляра, опущенного из начала координат н касательную к кривой, равна абсциссе точки касания.
4.14Снаряд массой m выброшен из ствола орудия со скоростью u0 под углом a
кгоризонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти траекторию снаряда, время полета.
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 5
5.1 |
(x + 2 y) y¢ =1; y (0) =1. |
||||||
5.2 |
y |
¢ |
= |
x + 2 y +1 |
|
; y (1 )= -1. |
|
2x + 4 y + 3 |
|||||||
|
5.3xy2 y¢ = x2 + y3 .
5.42xydx + (x2 - y2 )dy = 0 .
5.5y¢¢ = 2x( y¢)2 ; y (2) = 3, y¢(2) = -0, 25 .
5.6y¢¢ = 1 .
x
5.72 yy¢¢ = y¢2 + y2 .
5.8y¢¢¢ - 3y¢¢ + 3y¢ - y = 0; y (0) =1, y¢(0) = 0, y¢¢(0) = 3 .
5.9y¢¢ + 6 y¢ + 9 y = 5e-3xsinx .
5.10y¢¢ - 2 y¢ - 8 y = ex - 8cos2x .
5.11 y |
¢¢ |
- 9 y |
¢ |
+18y = |
9e3 x |
|
1 + e-3 x |
||||||
|
|
5.12y¢ = x2 - y2 ; y (0 )= 12 .
5.13Записать уравнение кривой, проходящей через точкуA(4; 1) и обладающей
свойством: отрезок, который касательная в любой точке кривой отсекает на оси Oy , равен квадрату абсциссы точки касания.
5.14 Конденсатор С разряжается на цепь, состоящую из последовательно включенных индуктивности L и активного сопротивления R . Найти силу тока i в
контуре, если при t = 0;i0 = 0; di = U0 . dt L
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 6
6.1 y¢ = 4x + 2 y -1 . 6.2 y2 + x2 y¢ = xy × y¢.
6.3 (1 + x2 ) y¢ - 2xy = (1 + x2 )2 .
6.4 2 + 2xy dx - 2x dy = 0 . y y2
6.5y¢¢ = y¢(1 + y¢).
6.6xy¢¢ - y¢ = x2ex .
6.7xy(5) - y(4) = 0 .
6.8y¢¢¢ + 9 y¢ = 0; y (0) = 2, y¢(0) = 3, y¢¢(0) = 0 .
6.9y¢¢ + 2 y¢ + y = e-xcosx .
6.10y¢¢¢ - 4 y¢ = xe2 x + sinx + x2 .
|
¢¢ |
2 |
p 2 |
|
|
6.11 y |
+ p y = sinp x . |
||||
|
6.12xy¢¢ + ysinx = x; y (p ) =1, y¢(p ) = 0 .
6.13Записать уравнение кривой, проходящей через точку A(4; 10), если известно, что отрезок, отсекаемый касательной к кривой на оси ординат, равен полусумме координат точки касания.
6.14Тело падает с высоты h при начальной скорости u0 = 0. Найти зависимость между скоростью и пройденным путем, если сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости.
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 7
7.1(1 + y2 )dx + (1 + x2 )dy = 0 .
7.2(y2 - 2xy)dx + x2dy = 0.
7.3y¢ + 2 y = 4x .
7.4(1 + y2sin2x)dx - 2 ycos2 xdy = 0 .
7.5(1 + x2 ) y¢¢ +1 + y¢2 = 0 .
7.6y¢¢ = x + sinx .
7.7y¢¢× y(4 ) + ( y¢¢¢)2 = 0 .
7.8y¢¢¢ - 3y¢ + 2 y = 0; y (0) = 0, y¢(0) = 5, y¢¢(0) =1.
7.9y¢¢ + 5 y¢ + 6 y = -5e-2 xcosx .
7.10y(4) + y¢¢ = 3x -10sinx + 6cosx .
7.11 y |
¢¢ |
+ 6 y |
¢ |
+ 8y = |
4e-2 x |
|
|
2 + e2 x . |
|||||||
|
|
7.12 y¢ = x3 + y2 ; y (0) = 0,5.
7.13 Записать уравнения кривых, обладающих свойством: площадь треугольника, образованного касательной к кривой, перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная b2 .
7.14Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки равна 2 м/с, а ее скорость через 4 с равна 1 м/с. Через сколько секунд скорость лодки будет равна 0,25 м/с? Какой путь может пройти лодка до остановки?
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 8
8.1ey (1 + x2 )dy - 2x (1 + e y )dx = 0 .
8.2x + y - 2 + (1 - x) y¢ = 0 .
8.3y¢ + 2xy = y2ex2 .
8.4 xdx + ydy = ydx - xdy . |
|
x2 + y2 |
x2 |
8.5y¢¢¢ = cos2x .
8.6y¢¢ + y¢2 = 2e- y .
8.7y¢¢(ex +1)+ y¢ = 0 .
8.8y¢¢¢ + 7 y¢¢ +11y¢ + 5y = 0; y (0) = 2, y¢(0) =1, y¢¢(0) = -4 .
8.9y¢¢¢ + 4 y¢ = x2 .
8.10y¢¢ -8 y¢ + 20 y = 5xe4 xsin2x .
e- x
8.11y¢¢ - y¢ = 2 + e- x
8.12y¢¢ = xy¢ - y2 ; y (0) =1, y¢(0) = 2 .
8.13Найти кривую, обладающую следующим свойством: если в любой точке кривой провести касательную, то точка пересечения этой касательной с осью ОХ будет являться вершиной равнобедренного треугольника, у которого основанием является отрезок, соединяющий начало координат с точкой касания.
8.14Метеорит, находящийся под влиянием земного притяжения, из состояния покоя начинает прямолинейно падать на Землю с высоты h . Какой была бы скорость метеорита при достижении им поверхности Земли, если бы отсутствовала земная атмосфера? Радиус Земли R = 6377 км.
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
= y¢(1 + x2 ). |
||||
9.1 |
2x |
1 - y2 |
|||||||||
9.2 |
(3y - 7x + 7)dx - (3x - 7 y - 3)dy = 0 . |
||||||||||
9.3 |
|
dy |
+ |
y |
= -xy2 . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dx |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
9.4 |
|
3x |
2 + y2 |
dx - |
2x3 |
+ 5y |
dy = 0 . |
||||
|
|
y2 |
|
y3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
9.5y¢¢¢ = 1 - y¢¢2 .
9.6xy¢¢ = 1 + y¢2 ; y (1 )= 0; y' (1 )= 0 .
9.72xy¢y¢¢ = y¢2 -1.
9.8y¢¢¢ + 3y¢¢ = 0; y (0) = 6, y¢(0) = -15, y¢¢(0) = 36 .
9.9y¢¢¢ - 2 y¢ = x2 - x .
9.10y¢¢ + y = sinx - 2e-x .
1 9.11 y¢¢ - 3y¢ + 2 y = 3 + e-x .
9.12 y¢ = x + y2 ; y (0) = -1.
9.13 Записать уравнения кривых, обладающих свойством: площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной к кривой и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, есть величина постоянная, равная
3a2 .
9.14 В коническую воронку высотой Н и углом при вершине конуса 2a налита вода. Найти зависимость между переменной высотой уровня воды h в воронке и временем истечения t, если площадь отверстия s см2 . Определить полное время истечения воды.
В примерах с 1 по 14 решить задачи в соответствии с условиями варианта задания:
-в примерах 1- 9, 11 найти общее решение (общий интеграл) или частное решение дифференциального уравнения;
-в примере 10 написать общее решение дифференциального уравнения со специальной правой частью, не находя числовых значений неопределенных коэффициентов частного решения;
-в примере 12 решить дифференциальное уравнение с помощью формулы Тейлора (найти первые три ненулевых члена разложения по формуле Тейлора);
-в примерах 13-14 решить геометрическую и физическую задачу, путем составления дифференциального уравнения.
Вариант 10
10.1y¢ = sinx - y .
10.22x - 3y - 5 + (3x + 2 y - 5) y¢ = 0 .
10.3y = x( y¢ - xcosx).
10.4(x + y)dx + (x + 2 y)dy = 0 .
10.5y¢¢¢ = 1 .
x
10.6y3 y¢¢ = -1; y(1) =1, y¢(1) = 0 .
10.7xy¢¢ + xy¢2 - y¢ = 0 .
10.8y¢¢¢ + 3y¢ = 0; y (0) = 6, y¢(0) = 0, y¢¢(0) = -3.
10.9y¢¢ + 9 y = 3cos3x .
10.10y(5) + 4 y(3) = x + 2 + 5exsinx .
10.11 |
y¢¢ +16 y = |
16 |
. |
|
|||
|
|
sin 4x |
|
10.12 |
4x2 y¢¢ + y = 0; y (1) =1, y¢(1) = 0,5. |
10.13Записать уравнения кривых, обладающих свойством: площадь треугольника, ограниченного касательной, осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина постоянная, равная a2 .
10.14В сосуд, содержащий 20 л воды, непрерывно со скоростью 5 л в минуту поступает раствор, в каждом литре которого содержится 0,2 кг соли. В сосуде раствор перемешивается, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 4 мин?