- •Задача о площади криволинейной трапеции.
- •Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегрирование по частям.
- •Замена переменной под знаком определенного интеграла.
- •Объем тела с известным поперечным сечением.
- •Объем тела вращения.
- •Интеграл с переменным верхним пределом.
- •Несобственные интегралы.
- •Основные свойства несобственных интегралов.
- •Признаки сходимости несобственных интегралов.
- •Интеграл от неограниченной функции.
- •Интегралы, зависящие от параметра.
Определенный интеграл.
Задача о площади криволинейной трапеции.
Рассмотрим фигуру, ограниченную кривой
y = f(x), прямыми x = a, x = b и отрезком оси оx a ≤ x ≤ b. Эта фигура называется криволинейной трапецией. Разобьем промежуток [a, b] на n произвольных частей, в каждом частичном промежутке возьмем точку ξi (xi ≤ ξi ≤ xi+1) и найдем ∆Si = f(ξi)(xi+1 – xi) = f(ξi) ∆xi
Площадь ступенчатой фигуры запишется
Эта сумма тем точнее характеризует площадь криволинейной трапеции, чем меньше ∆xi.
Поэтому за истинное значение площади принимают предел
Этот предел, если он существует, если он не зависит от способа разбиения интервала [a, b] на частичные и от выбора точек ξi, называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, b].
Функцию f(x) называют в этом случае интегрируемой на [a, b].
Sn – интегральная сумма.
Очевидно,
Теорема существования.
Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b], то она и интегрируема на этом промежутке.
Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть f(x) – непрерывна на [a, b], F(x) – первообразная, т.е. F′(x) = f(x).
Разобьем промежуток [a, b] на n произвольных частей.
F(b) – F(a) = F(x1) – F(x0) + F(x2) – F(x1) + F(x3) – F(x2) + … + F(xn) – F(xn-1) =
П р и м е р . Вычислить площадь, ограниченную одной аркой синусоиды и осью абсцисс.
y
y = sin x
-
π
Свойства определенного интеграла.
4. Для любых трех чисел a, b, c справедливо равенство
Геометрическая иллюстрация.
-
a < c < b . Sab = Sac + Scb 2. a < b < c. Sab = Sac - Sbc
5. Если f(x) > 0 и a < b, то
Если f(x) < 0 и a < b, то
Пусть f(x) > 0, a < b, F(x) – первообразная f(x), F′(x) = f(x) > 0, следовательно, F(x) возрастает, т.е. F(b) > F(a).
Эту теорему следует учитывать при вычислении площадей криволинейных трапеций.
-
f(x) ≥ 0.
f(x)
a b x
-
f(x) ≤ 0.
a b x
З а д а ч и .
Вычислить площадь, ограниченную кривыми.
-
y = x2 – 1, x + y – 1 = 0.
y
x2 – 1 = 1 – x, x2 – x – 2 = 0
y = 1 - x
x1 = 1, x2 = -2 .
-2 1 x
y = x2 - 1
Интегрирование по частям.
d(uv) = du∙v + u∙dv, u dv = d(uv) – v du .
П р и м е р .
Замена переменной под знаком определенного интеграла.
Пусть требуется вычислить Введем новую переменную t по формуле x = φ(t).
Если
-
φ(α) = a, φ(β) = b,
-
φ(t) – непрерывная монотонная функция на интервале [α, β], то
x
b
a φ(β)=b 4
φ(α)=a
α β t 0 2 t
П р и м е р 1 .
П р и м е р 2 . Вычислить площадь, ограниченную эллипсом x = a cos t, y = b sin t.
y
a a x