Сборник задач по высшей математике

О Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:

Так как

г(А) = г(А\В) = 2 < 4 = п,

то система неопределенна. В качестве главных переменных можно выбрать х\ и Х2, соответствующие столбцам ненулевого

минора второго порядка: 01 152 ; в качестве свободных переменных — хз и Х4.

Запишем систему, соответствующую полученной матрице:

I xi + 2x2 + 2хз + 3x4 = 0,

I 15х2 + 15х3 + 19х4 = 0.

Из второго уравнения, выражая Х2 через хз и Х4, получим

ные — Хз через tfi, Х4 через 15^2 запишем общее решение системы: -h - Ш 2 ; h; 15t2) = h(0; - 1 ; 1; 0) + 1 2 ( - 7 ; -19; 0; 15).

Фундаментальную систему решений образует, например, пара решений (0; - 1 ; 1; 0) и ( - 7 ; -19; 0; 15).

Ответ. Общее решение системы (—7^; —h —19^; h; 15^); Фундаментальная система решений {(0; —1; 1; 0), (—7; —19; 0; 15)}.

80

Найти общее решение и фундаментальную систему решений для однородной системы линейных алгебраических уравнений:

^7xi 4- 10x2 4- х3 4- 6х4 4- 5х5 = 0.

81

6 - 2361

Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений в зависимости от параметра А;

В задачах 2.3.21-2.3.25 вектором р будем называть упорядоченный конечный набор чисел р = (pi; р2;...; рп)i в этом случае числа р\,р2,...,рп будем называть компонентами вектора р (подробнее — см. Главу 3).

Даны:

1)неоднородная система уравнений;

2)набор из трех векторов а\, а2, а3;

3)несколько систем векторов — Bi. Требуется:

а) Проверить, какие из трех векторов — й\, а,2, а3 — являются решениями данной неоднородной системы уравнений.

б) Выбрать те системы векторов Bi, которые образуют фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы уравнений.

в) Используя ответы к пунктам а) и б), записать общие решения данной неоднородной системы и соответствующей ей однородной системы уравнений.

а\ = (1; —2; 3), получим два неверных равенства:

Г1 + 2 + 3 = 2, |2-1 + 2 - 2 + 2 - 3 = 4.

Значит, набор значений (1; —2; 3) не является решением данной системы.

Теперь убедимся, что компоненты вектора й2 = (1; 0; 1) дают решение системы:

Г1 + 0 + 1 = 2, | 2 1 + 2 0 + 2 1 = 4 .

Аналогично, компоненты вектора а3 = (5; 2;— 1) также представляют собой решение данной неоднородной системы уравнений (проверьте самостоятельно!).

82

б) Сначала выясним, из скольких решений состоит фундаментальная система решений однородной системы уравнений, соответствующей заданной неоднородной системе:

Х\ — Х2 + хъ = О, 2xi - 2х2 4- 2х3 = 0.

Найдем ранг матрицы А этой системы, для чего приведем ее к ступенчатому виду:

Значит, г (А) = 1, и п — г (А) — 3 — 1 = 2, откуда следует, что любая фундаментальная система состоит из двух решений.

Нетрудно увидеть, что решениями указанной однородной системы уравнений являются все четыре вектора из систем В\ и В2 (проверьте самостоятельно!).

Два решения указанной однородной системы будут образовывать ее фундаментальную систему решений тогда и только тогда, когда они линейно независимы, т.е. матрица, составленная из их компонент, имеет ранг 2.

Составим матрицу из компонент векторов системы В\ и

Ранг этой матрицы равен 1, значит система В\ не является фундаментальной системой решений однородной системы уравнений.

Исследуем систему векторов В2. Составим матрицу из компонентов векторов из В2 и приведем ее к ступенчатому виду:

Ранг этой матрицы равен 2, значит векторы из В2 линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений однородной системы уравнений.

в) Общее решение однородной системы может быть записано в виде линейной комбинации векторов Ь\ = (2; 1; —1) и 62 = (1; 1;0), т.е. суммы вида

h • h + t2 • b2 = h - (2; 1; - 1 ) + t2 • (1; 1; 0) =

= (2ti;fi;-ti) + {t2',t2; 0) = (2tx + t2\h + t2\ где t\ и t2 — произвольные действительные числа.

83

84

Дополнительные задачи

85

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1

1.Исследовать систему уравнений на совместность и определенность, не решая ее. Указать главные (базисные) и свободные переменные.

2.Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решения.

87

3. Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Kpa-i

^ - 2 x i + 3 х 2 + 5 х 3 = 8;

4.Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и фундаментальную систему решений.

xi + 5х2 — Зхз — 2x4 = 0; —2xi + хз + 4x4 = 0; xi — 3x2 + 5х3 + 2x4 = 0; 5Xi — Х2 + бхз — 2x4 = 0.

Вариант 2

1. Исследовать систему уравнений на совместность и определенность, не решая ее. Указать главные (базисные) и свободные переменные.

-2xi - 2х2 + Пжз + 18х4 = -23.

2.Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решения.

3.Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера.

Xi + 2x2 — з х з = —3;

-2xi +6х2+9хз = -11;

- 4 х 1 - з х 2 + 8 х 3 = - 2 .

4.Решить однородную систему уравнений. Указать общее решение и фундаментальную систему решений.

( 2xi + 6х2 - 2х3 ~ 4х4 = 0;

—5xi — 2x2 — хз + 5x4 = 0; - 4xi + 14x2 — 8x3 — 2x4 = 0; w —Х\ + 10x2 — 5хз — 3X4 = 0.

88