plan_exp

Таблица 22.

Вариант сверхнасыщенного плана для шести факторов

Предположим опыт проведен, а его результаты представлены в последнем столбце табл.22. По данным этой таблицы составим диаграмму рассеивания (рис.7.). На этой диаграмме по оси ординат отложены значения Y. Каждому из шести факторов соответствует своя вертикальная линия. Построение диаграммы рассмотрим на примере фактора Х1. Значения Y для всех 8 опытов представим на диаграмме в виде точек. При этом, если в первом опыте Х1 = -1, то ордината, равная 48 откладывается слева от оси.

По той же причине слева откладываются точки с ординатами13, 17 и 96, а справа с ординатами

26, 83, 21 и 12.

Аналогично составляются диаграммы для факторов Х, Х , Х , Х и Х . На каждой диаграмме

2 3 4 5 6

проводится две медианы. В общем случае, если число N/2 - четное, т.е. N/2=2f, то медианы проводятся как слева, так и справа посередине между f-ой и (f+1)-ой точками, если N/2 число нечетное, то через (f+1)-ую точку. В данном случае N/2=4, т.е. число четное, f=2, а поэтому медиана проводится между второй и третьей точками. Значения ординат каждой медианы показаны на диаграмме. Далее определяется вклад (или роль) каждого фактора как результат алгебраического сложения ординат соответствующих медиан.

Вх1 = -32,5 + 23,5 = -9 Вх2 = -34,5 + 21,5 = -13 Вх3 = -23,5 + 48 = 24,5 Вх4 = -19 + 54,5 = 35,5 Вх5 = -65,5 + 17 = -48,5 Вх6 = -37 + 19 = -18

Чем больше абсолютная величина вклада/В/, тем сильнее его влияние. На рис.8 представлена

диаграмма вкладов, из которой видно, что наиболее существенными являются факторы Х и Х . Уста-

4 5

новим их на одном уровне, например на уровне “-1”. Тогда план эксперимента будет иметь вид, представленный в табл.23. При этом необходимо откорректировать значения у с учетом изменения вклада.

Поскольку в первом и четвертом опытах значения факторов не изменились, то и значения у в этих

опытах также не изменились. В опытах N и N изменилось значение фактора Х. Поэтому надо изме-

2 6 5

нить Y2 и Y6 на величину вклада Вх5, т.е. Y2н = Y2 ст - Вх5 = 13 - (-48,5) = 61,5. В опытах №3 и №8 изменились оба фактора (и Х4 и Х5).

Поэтому:

Y3н = Y3 ст - Вх4 - Вх5 = 26 - 35,5 - (-48,5) = 39, Y8н = Y8 ст - Вх4 - Вх5 = 12 - 35,5 + 48,5 = 25

Наконец в опытах № 5 и 7 изменился только фактор Х4. Здесь

Y5н = Y5ст - Вх4 = 83 - 35,5 = 47,5,

Y7н = Y7ст - Вх4 = 96 - 35,5 = 60,5.

Таблица 23.

Если факторы стабилизируются на уровне“+”, то вклад надо не вычитать, а прибавлять. По данным скорректированной таблицы снова составляется диаграмма рассеивания(рис.9), теперь уже для четырех факторов Х1, Х2, Х3 и Х4, из которой находим новые вклады

Вх1¢ = -61,5 + 47,7 = -13,8

Вх¢2 = -54,7 + 32 = -22,7

Вх3 = -43,5 + 54 = 10,5 Вх6 = -54,2 + 31,7 = 22,5

Т.к. наиболее велики по абсолютной величине вклады факторовX2 и X6 (они примерно одинаковы), а в соответствии с предыдущей диаграммой наиболее существенен вкладX3, который, в соответствии с новой диаграммой уже меньше фактора X1, то можно считать, что вклады всех факторов (т.е.

X1, X2, X3 и X6) одного порядка и их в дальнейшем можно или не включать в новый план или включать все на равных правах.

В тех случаях, когда окончательное решение принять затруднительно, находят выделяющиеся точки. Так называют точки левой части диаграммы, которые выходят за границы соответствующей, например правой части (или наоборот). Так из рис.7 следует, что фактор X, имеет 2 выделяющиеся точки (-96, +12), фактор X2 также 2 - (+12 и +96), фактор Х3 - 4 (+12, +13, +83, +96), фактор Х4 - 3 (+12, +83, +96), фактор Х5 - 5 (+12, +13, -48, -83, -96) и фактор X6 -2 (+12 и -96).

Наибольшее число выделяющихся точек имеет Х и Х . Т.к. фактор Х с меньшим числом выде-

5 3 4

ляющихся точек уже отобран в число существенных, то и Х3 следует к ним присоединить, тем более, что и по величине вклада он незначительно уступает 4Х. Таким образом, в результате отсеивающего эксперимента из шести факторов мы отбираем для дальнейших исследований три (Х3, Х4 и Х5).

Рис. 9. Скорректированная диаграмма рассеивания.

5. МЕТОДЫ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Как правило, цель любого прикладного исследования выявление оптимальных условий протекания процесса, максимальной продуктивности, минимальных материальных и энергетических затрат, наивысшего качества продукции. При этом задача сводится к тому, чтобы найти значения факторов, обеспечивающих оптимальные значения выбранного критерия. Возможно два подхода к решению этой задачи. Один из них сводится к определению оптимума непосредственно на объекте. На этом подходе основан целый ряд методов статической оптимизации.

5.1 Метод Зайделя - Гаусса

Рассмотрим сущность метода на примере двухфакторного эксперимента . На рис. 10 представлены кривые равного уровня исследуемого отклика у в плоскостях факторов Х1 и Х2. Пусть эксперимент начинается в точке А, с варьированием фактора X1.Шаг вправо даёт уменьшение у. Поэтому в дальнейшем X1 уменьшается. Движение вдоль линии 1-1 происходит до тех пор, пока у растет и достигнет максимума в точке В. После этого направление движения меняется и оно происходит вдоль оси Х2. Т.к. уменьшение Х2 ведет к уменьшению у, то движение идет в сторону увеличения Х2 и достигает максимума в точке С. После этого направление движения снова изменяется и оно продолжается до локального максимума в точке Д и т.д. Таким образом, суть ме-

Рис. 10. Кривые равного тода состоит в поочередном варьировании каждого фактора до уровня

достижения частного экстремума. Преимущество метода - его простота, а недостаток - низкое быстродействие.

5.2 Метод сканирования

Метод сканирования предусматривает полный перебор всех возможных вариантов. Чтобы их число было конечным, метод должен быть дискретным. Применительно к двухфакторному эксперименту (рис. 11) это означает, что факторы X1 и Х2 могут приобретать лишь определенные, для удобства - целочисленные значения, которые могут характеризоваться неименованными величинами или просто номером. Иными словами опыт может ставиться лишь в узлах решетки, создаваемой дискретными значениями факторов. Для полного перебора всех точек движение можно начать из начала координат и двигаться вдоль одного из факторов, например X1. При достижении точки с координатами [9.0] мы проводим опыт в точке [9.1] и дальше переме-

Рис. 11 щаемся вдоль X1 в обратную сторону. Полная траектория движения, обеспечивающая перебор всех точек, показана на рис.11 жир-

ной линией. Значения у во всех точках сравниваются между собой и выбирается наибольшее (наименьшее). Преимущество метода заключается в том, что он позволяет найти глобальный оптимум. Недостаток метода - малое быстродействие.

5.3. Метод случайного поиска

Известно несколько методик случайного поиска [39]. В соответствии с одной из них движение начинается из произвольной точки А. Задаемся пробным r и рабочим а шагом. При этом пробный шаг выбирается равным 3...4 ошибкам опыта, а рабочий 10 ошибкам опыта. Пусть, например, пробный шаг равен 5 единицам, а рабочий 15. Пробный шаг должен быть сделан в случайном направлении. Предварительно этот шаг раскладывается на составляющие по координатным осям r x и r y. Первая из этих

составляющих r x, находится по таблице случайных чисел, как первое число, меньшее р. Пусть r x1=4. Вторая составляющая :

ry1 = r 2 - rx21 = 52 - 42 = 3 .

Направление движения также определяется по таблице случайных чисел. Если r x1 предшествует четное число, то вектор этой величины направляется вправо, если нечетное - влево. Аналогично поступают с r x2. Тем самым определяется направление движения к оптимуму АВ. Следовательно, второй опыт проводится в точке В. Если в этой точке

Рис. 12 критерий оптимизации у больше чем в точке А (при условии, что имеется максимум), то направление выбрано удачно и в том же направлении делается рабочий шаг. Если же в точке В величина у меньше, чем в точке А, то это означает, что направление выбрано неудачно и рабочий шаг делается в противоположном направлении.

Движение в выбранном направлении (с рабочим шагом) продолжается до тех пор пока у растет. Если, например, дальнейшие шаги после точки В дают уменьшение у, то в этой точке определяется но-