Physics_(i)

Вычислим её непосредственно (А.Ф.П.) и с помощью ”те-

лескопирования сумм”(Щепин).

1. Заметим, что

N

X k2 = 1+(2+2)+(3+3+3)+(4+4+4+4)+. . .+(N+N+. . . N).

k=1

21

Разность функций:

f(k) = f(k + 1) − f(k).

Сумма разностей:

n

X F (k) = F (2)−F (1)+F (3)−F (2)+. . . F (n+1)−F (n) = F (n+1)−F (1).

k=1

Т.е. для простого суммирования нужно выразить суммируе-

мую функцию f(k) через разность какой-то другой функции: f(k) = F (k).

x = x + 1 − x = 1,

x2 = (x + 1)2 − x2 = 2x + 1,

22

Окончательно

23

9К вейвлетам и Фурье

Для вычислений нужен следующий табличный интеграл (Ма-

ричев, Брычков, Прудников):

Здесь введена величина fb для удобства сравнения с матла-

бовским ”Морлетом”(т.е. s = 2πfc), Cs -нормировочная кон-

станта.

Величина ks находится из критерия допустимости (admissibility criterion):

Z ∞

−∞ Ψs(t)dt = 0 (10)

Используя (8) из (10) получаем ks = e−s2 f4b

24

Преобразование Фурье функции (9), если его определять как

ˆ (ω) = C π−1/4 e−(s−ω)2 f4b − k e−ω2 f4b .

Ψs s s

Параметр s позволяет взаимно изменять разрешения по времени и по частоте. Малое s -высокое временное разреше-

ние, но возникают вычислительные проблемы. При s > 5 ks < 10−5, поэтому им (ks) часто пренебрегают. (Ма-

лые значения s нет необходимости использовать, если сиг-

нал содержит только медленно изменяющуюся частоту (!) и

амплитудную модуляцию (аудио)).

Если константу Cs вычислить из следующего условия нор-

мировки

Z ∞ |Ψs(t)|2dt = 1,

−∞

то, с помощью (8) имеем

25

При таком значении нормировочной константы Cs пре-

образование Фурье вейвлета ˆ также нормировано

Ψs,fb(ω) (??)

на единицу (что легко проверить с помощью (8)):

Z ∞ |ˆ |2

−∞ Ψs,fb(ω) dω = 1.

Окончательно, имеем:

Вейвлет Морле:

Преобразование Фурье ВМ:

(s = 2πfc, где fc - обозначение из Матлаба).

26

Если вычислять этот интеграл численно, например, с помо-

щью матлабовской QUAD, то

(должен быть ≈ 1). (Матлабовский int - символьные вычи-

сления, поэтому вычисляет правильно)

27

Целая функция Целая функция - функция, голоморфная во всей комплекс-

ной плоскости. Типичным примером целой функции может служить многочлен или экспонента, а также суммы, про-

изведения и суперпозиции этих функций. Ряд Тейлора це-

лой функции сходится во всей плоскости комплексного пере-

менного. Логарифм, квадратный корень не являются целыми функциями.

Отметим, что целая функция может иметь особенность (в

т.ч. даже существенную особенность) в бесконечности. Как следует из теоремы Лиувилля, функция, которая не имеет особых точек на всей расширенной комплексной плоскости,

должна быть постоянной (это свойство может быть исполь-

зовано для элегантного доказательства основной теоремы ал-

гебры).

Целая функция, имеющая на бесконечности полюс, долж-

на быть многочленом. Таким образом, все целые функции,

не являющиеся многочленами (в частности, тождественно

28

постоянными) имеют на бесконечности существенно особую точку. Такие функции называются трансцендентными целы-

ми функциями.

Малая теорема Пикара значительно усиливает теорему Лиувилля: не равная тождественно постоянной целая функ-

ция принимает все комплексные значения, кроме, возможно,

одного. Примером является экспоненциальная функция, при-

нимающая в качестве значений все комплексные числа, кро-

ме нуля.

Дж. Литлвуд в одной из своих книг указывает сигма-

функцию Вейерштрасса в качестве ”типичного”примера це-

лой функции.

29