модуль 2.16

ФИЗИКА

Модуль 2.16

ГЛАВА 11 Волновые процессы

1 Волны в упругой среде. Типы волн

Волнами называются возмущения, распространяющиеся в среде (или в вакууме) и несущие с собой энергию. Характерное свойство волн состоит в том, что перенос энергии волной осуществляется без переноса вещества.

Основными видами волн являются упругие волны (в частности, звуковые), волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны (в частности, световые волны и радиоволны).

Рассмотрим упругую волну. Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебание ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают поперечные и продольные волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть в среде, в которой возможны деформации сдвига. Действительно, если при сдвиге одного слоя среды по отношению к другому слою возникают упругие силы, стремящиеся возвратить сдвинутый слой в положение равновесия, то в среде могут распространяться поперечные волны. Таким свойством обладают твердые тела. Если в среде возникают силы упругости при деформации сжатия и растяжения, то в такой среде могут распространяться продольные волны. При распространении продольной волны в среде возникают периодически повторяющиеся зоны увеличения и уменьшения концентрации частиц. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как поперечных, так и

называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической.

Волна, имеющая произвольную форму фронта, всегда может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн.

На рис. 1 изображена кривая, которая дает смещение из положения равновесия точек с различными x в некоторый момент времен. Это есть график функции ( x, t) для

времени t . Такой график имеет одинаковый вид и для поперечной и для продольной волны.

1

Рис. 1

2 Уравнение бегущей волны

Уравнение волны должно быть, таким образом, двоякопериодической функцией. Периодичность во времени обусловлена тем, что каждая точка совершает гармоническое колебание с периодом T . Периодичность по координатам x, y, z следует из того, что

Рис. 2

2

Рассмотрим произвольное направление распространение волны.

Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало координат (рис. 3), происходят по закону:

(0, t) A cos( t ) .

Возьмем волновую поверхность (плоскость), отстоящую от начала координат на расстоянии l . Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний в плоскости,

3

- коэффициент затухания. Тогда уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси x , примет вид

Уравнение затухающей волны, распространяющейся в произвольном направлении

Теперь найдем уравнение сферической волны.

Рассмотрим точечный источник ( r d - размеров источника). В однородной и изотропной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Пусть фаза колебаний источника равна ( t ) . Тогда точки, лежащие на волновой поверхности

4

источника, равном единице.

Уравнение справедливо только при r d - размеров источника.

3 Волновое уравнение

Волновым уравнением называется линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее распространение волн в среде (или в вакууме). Установим вид этого уравнения, исходя из уравнения (11.7) плоской гармонической волны:

Это и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде

уравнение имеет вид:

5

4 Скорость упругих волн

1 Скорость волны в твердой среде Рассмотрим тонкий стержень. Под тонким

направления распространения волны. При прохождении продольной волны этот элемент

Рис. 4

По определению относительная деформация

Рис. 5

6

Можно показать, что скорость поперечных волн в неограниченной изотропной твердой среде

2 Скорость звука в жидкостях и газах Формулу (11.20) можно использовать для вычисления скорости продольных волн в

При продольных волнах в среде возникают сжатия и разряжения отдельных слоев, и закон Гука в данном случае

7

Это выражение справедливо для волн в жидкостях и газах.

Опыт показывает, что при распространении звука в газе возникают быстро чередующиеся зоны сжатия и разряжения среды. Эти участки не успевают обмениваться теплом, то есть имеет место термодинамический процесс без теплообмена, и связь между давлением и объемом определяется уравнением адиабаты

5 Энергия упругой волны

Прежде всего найдем выражение для плотности упругой (потенциальной) энергии растянутого (или сжатого) стержня на величину x . По закону Гука F (x) kx , где k -

коэффициент упругости. Работа силы F (x) в этом процессе

8

При прохождении продольной волны в стержне каждая единица объема обладает как

Запишем уравнение плоской бегущей волны в виде:

9

Среднее значение плотности энергии за период равно

Энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной. Следовательно, волна переносит с собой энергию. Потоком энергии называется количество энергии, переносимое волной через определенную поверхность S в единицу времени:

интенсивность. Для характеристики этого обстоятельства вводят понятие плотности потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия:

10