Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

Физика

Файл:

модуль 2.17

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

558.31 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

ФИЗИКА

Модуль 2.17

7 Волновое уравнение электромагнитной волны

Из уравнений Максвелла следует, как мы сейчас убедимся, важный вывод: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния обязательно имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме эти волны

распространяются со скоростью, равной скорости света

c .

( 0)

Рассмотрим

однородную

нейтральную

непроводящую

( j 0)

среду с

проницаемостями

, где

0 E

0 H .

(11.45)

Поскольку в данном случае плотности зарядов и токов равны нулю ( 0

и j 0 ),

уравнения Максвелла будут иметь вид:

или

(11.46)

rotE

или

(11.47)

rotH

или

B 0

(11.48)

divB

или

D 0

(11.49)

divD

Продифференцируем уравнение (11.47) по времени t

и затем используем уравнение

(11.46):

E .

(11.50)

Вспомним векторное равенство для двойного векторного произведения:

(11.51)

c c a

и b оператором

и положив

- правило «бац минус цаб». Заменив в этой формуле a


E , запишем

E			E

В формуле (11.51) После чего (11.51’)


E E

E

					,	поэтому
с a			b a	b c	,	поэтому
примет правильный вид:
	2		,
		E	,


E E

(11.51’)

где	2		- оператор Лапласа.


В нашем случае E									0 (см. 11.49),
Тогда
Тогда				E					2	E .
									2

В результате мы приходим к волновому уравнению для поля E .
		2			1 2 E ,
			E		1 2 E ,

	0 t 2
	0 t 2					0
						0

			0					2 E
	2 E		0				0	t 2		.	(11.52)
								t 2
										1

Подобным образом мы можем получить волновое уравнение для поля

				H
	H		2
2
	0	0	t		2
			t

(11.53)

Сравнивая с волновым уравнением вида

2 1 2 ,2 t 2

можно сделать вывод, проницаемостями и

что скорость распространения электромагнитной волны в среде с, равна

	1

			0
	0

(11.54)

где

c	1

	0	0

- скорость электромагнитных волн в вакууме (т.е. при

Подставив

8,85 10 12

Ф/м и

4 10 7

Гн/м,

получим c 3 108 м/с. Что

совпадает со скоростью света в вакууме.

Величина

называется показателем преломления среды, поэтому

(11.55)

8 Плоская электромагнитная волна

Простейшим решением уравнений (11.52) и (11.53) являются гармонические

функции:

E E

sin t kr

H H m sin t kr

(11.56)

где - частота волны,

- волновой вектор.

Из уравнений Максвелла (11.46) и (11.47)

следует, что

или

H .

Из уравнений (11.48) и (11.49)

0 следует, что

B 0

k . Покажем это.

Действительно,

x k

y k

H x

H z

H 0 . Отсюда ясно,

что

H .

Аналогичным образом, так как E 0 , то k

E .

Мы

показали,

что

векторы

взаимно

перпендикулярны. Поэтому

k , E, H

электромагнитная волна является поперечной:

векторы E

и H всегда колеблются во

взаимно

перпендикулярных

плоскостях

перпендикулярно

направлению

распространения волны (рис. 9).

Связь мгновенных значений распространяющуюся вдоль оси

Пусть E y E и H z H , тогда
Ey	Em sin t kx 1 ,
H z	Hm sin t kx 2


и	H . Рассмотрим плоскую электромагнитную волну,
. Ось		X	перпендикулярна волновым поверхностям.

(11.57)

Рис. 9

Представим в уравнениях Максвелла (11.46) и (11.47) роторы
Представим в уравнениях Максвелла (11.46) и (11.47) роторы	E
определителей (как векторное произведение двух векторов). Учтем,	что


	H
E	x
	x

в виде

H x

H y

0 , тогда получим

E y

где

i , j, k - орты осей

x, y, z . Уравнение (11.46) примет вид

Аналогично

H z

Уравнение (11.47) примет вид:

E y

(11.58)

(11.59)

Подстановка функций (11.57) в

соотношениям:
kE	cos t kx			H		m	cos t
m	1		0			m
kH	cos t kx	2	E		m		cos t
m		2	0		m

уравнения (11.58) и (11.59) приводит к

kx 2

kx 1

Для того, чтобы эти соотношения удовлетворялись при любых

и x , необходимо,

чтобы начальные фазы 1 и 2 были одинаковыми. Кроме того, должны выполняться

равенства

k Em 0 H m , k H m 0 Em .

Поделив эти равенства, найдем, что

E
	2
0	m

Таким

одинаковой

H 2 . 0 m

образом, фазой ( 1

(11.60)

колебания электрического и магнитного векторов происходят с2 ), а амплитуды этих векторов связаны соотношением


Em 0 H m	0	(11.61)
На рис. 10 изображена «мгновенная фотография» плоской электромагнитной волны,
распространяющейся вдоль оси		X .

Рис. 10


Вектор	E	колеблется вдоль оси Y , вектор		H (B) - вдоль оси	Z .
Выяснив все детали, индексы			y и z у проекций векторов			и
Выяснив все детали, индексы			y и z у проекций векторов		E	и

(как это обычно и делают). Поэтому уравнение, например, гармонической волны записывают так:

H можно не писать плоской бегущей

(

EEm sin( t kx) , H

Вэтих выражениях

k	2	).

H	m	sin(t kx)
	m
-		циклическая частота колебаний,

(11.62) - волновое число

9 Энергия электромагнитной волны

Распространение всякой волны связано с переносом энергии. Электромагнитные волны также переносят энергию. Плотность потока энергии можно найти с помощью

формулы

j w (см. формулу (11.39))

как произведение

плотности энергии w на

скорость волны

В случае

электромагнитных

волн

вектор плотности

потока энергии принято

обозначать буквой S . Следовательно, модуль вектора S равен

S w

(11.63)

Плотность энергии электромагнитного поля слагается из плотности энергии

электрического поля и плотности энергии магнитного поля:

w wE wH

E 2

H 2

(11.64)

В данной среде справедливо соотношение (11.61) между E и H

0 H .

А это означает, что плотность электрической энергии в бегущей волне равна плотности магнитной энергии. Поэтому можно написать, что

	E	2	H		2
		2			2
0			0
0			0
	2			2

Таким образом,

EH	0 0	EH	.
2		2

выражение (11.64) можно представить в виде

w	EH	.								(11.65)
w		.								(11.65)

Умножив w на скорость волны , получим модуль плотности потока энергии:
S w EH										(11.66)

Векторы		E	и H	взаимно	перпендикулярны и		образуют с направлением

распространения волны правовинтовую систему. Значит,							направление вектора			E H
совпадает с		направлением переноса энергии, а модуль					этого	вектора	равен		EH .
Следовательно,			вектор	плотности	потока	электромагнитной		энергии		можно
Следовательно,			вектор	плотности	потока	электромагнитной		энергии	S	можно

представить как векторное произведение E и						H :

S E H
			.

Вектор		называется вектором Пойнтинга (рис. 11)
	S

В случае бегущей гармонической электромагнитной волны (11.57) энергии, согласно (11.65), равна

(11.67)

плотность

w E	2	sin	2	(t
	2		2
0	m

k x)

Рис. 11

Плотность же потока энергии, как следует из (11.66),

S w						0		Em sin				2	(t k x) ,				(11.68)
						0		2				2
							0
							0
где учтено, что													1		.


											0 0
											0 0
Интенсивность								I		такой				волны			равна, по определению, среднему значению
плотности потока энергии:												I S .
Учитывая, что								sin 2 ( t kx)								1	, получим
Учитывая, что								sin 2 ( t kx)								2	, получим
															T	2
															T
				E 2
I		0		E 2
		0		m	.												(11.69)
	0		2		.												(11.69)
	0		2
Интенсивность I									пропорциональна квадрату амплитуды, I ~ Em2 .

10 Импульс электромагнитной волны

Перенос энергии электромагнитной волной сопровождается и переносом импульса.

Согласно теории относительности, импульс частицы с нулевой массой покоя ( m	= 0),
0

движущейся со скоростью

, равен

	p	W
	p	c
		c

, где

- энергия частицы.

Поскольку свет – электромагнитную волну можно рассматривать как поток фотонов (частиц с нулевой массой покоя), то связь между энергией и импульсом будет такой же:

где

w c

(11.70)

- плотности импульса и энергии, т.е. величины, отнесенные к единице

объема. Или учитывая, что

	E H
p				.
p		c	2	.
			2

w c EH

, можно записать в векторном виде:

(11.71)

Если падающая нормально на поверхность некоторого тела электромагнитная волна

полностью поглощается телом, то площади

поверхности S за время dt сообщается

импульс:

pdV

dl S

cdt S wSdt

Отсюда сила давления на поверхность S

равна

FД

wS .

Давление

p Д

электромагнитной волны на поверхность тела

(11.72)

Эта формула справедлива для абсолютно поглощающей поверхности.

Практически определяется среднее значение по времени давление:

pД

w .

(11.73)

Для идеально отражающей поверхности давление будет в два раза больше.

В общем случае, учитывая, что электромагнитная волна оказывает давление не только внутри вещества, но и при отражении от поверхности, будем иметь:

p	Д		w (1 R)
	Д

(11.74)

где R - коэффициент отражения, т.е. отношение интенсивности отраженной волны к интенсивности падающей.

Давление, вычисленное по формуле (11.73), оказывается в обычных условиях очень малым. Например, солнечный свет оказывает давление ~ 10-5 Па (атмосферное давление ≈ 105 Па). Впервые такое световое давление было измерено П.Н. Лебедевым. Результаты измерений оказались в полном согласии с теорией Максвелла.

11 Эффект Доплера для электромагнитных волн

Рассмотренное ранее измерение частоты звуковых сигналов, обусловленное эффектом Доплера, определятся скоростями движения источника и приемника относительно среды, являющейся носителем звуковых волн. Для электромагнитных волн особой среды, которая служила бы их носителем, нет. Поэтому доплеровское смещение частоты электромагнитных волн определяется только скоростью источника относительно приемника.

Пусть в K - системе отсчета находится неподвижный приемник P (рис. 12). К нему с релятивистской скоростью ( c ) приближается S - источник электромагнитных (или

световых) сигналов. В	K		- системе отсчета, связанной с источником сигналы испускаются

с частотой 0 (собственная частота). Найдем частоту , с которой воспринимаются эти сигналы приемником.

Рис. 12

Промежуток времени между двумя последовательными импульсами в

- системе,

связанной с источником, равен

T	1

0
		0

. Поскольку источник движется со скоростью ,

то соответствующий промежуток времени в K - системе, согласно «эффекту замедления хода движущихся часов», будет больше, а именно

T	T		,		.
T	0		,		.
	0
	1			c
		2
Расстояние между соседними импульсами в							K - системе
cT T (c )						T
cT T (c )						0
						0
						1
						2
Поэтому воспринимаемая приемником частота								c	, или
Поэтому воспринимаемая приемником частота									, или


	0	1 2
	0	1

			с

Если источник приближается (как в нашем случае), то 0

(11.75)

(11.76)

(11.77)

, если же удаляется, то

	0

(в этом случае знак перед

меняется на противоположный). Полученная

формула (11.77) соответствует продольному эффекту Доплера.

Как видно из приведенного вывода, эффект Доплера для электромагнитных волн

является следствием двух явлений: замедление хода движущихся часов (корень

1 2

формуле (11.77)) и «уплотнения» (или разряжения) импульсов, связанного с изменением расстояния между источником S и приемником P - это учтено в первом равенстве формулы (11.76).

Рассмотрим более общий случай: в K - системе источник S движется со скоростью

, составляющей угол с линией наблюдения (рис. 13).

Рис. 13

В этом случае в формуле (11.77) следует заменить

на

cos

, где

проекция вектора на ось Тогда

, положительное направление которой взято от S к

	1			2
				2
0
	1

			x
			x
		c

(11.78)

В отличие от акустического эффекта Доплера, при поперечный эффект Доплера:

0	1	2	,
		2

(

	x

) наблюдается

(11.79)

при котором воспринимаемая приемником частота оказывается всегда меньше собственной частоты источника: 0 .

(

В нерелятивистском случае, когда0 ), и тогда

, вместо (11.75) можно считать, что T T0

то


				0				0 1		x	.
				0						x
		1				x			c
						x			c
					c
					c
Отсюда относительное изменение частоты ( 0 ) / 0																	равно
					x


	0			c
	0
При			x		0		(источник приближается)								0	, если же x 0
При			x		0		(источник приближается)								0	, если же x 0
														0
														0
	0		. При				x	0	и				0 .
	0		. При				x	0	и				0 .
0												0
0												0

(11.80)

(11.81)

(источник удаляется),

Эффект Доплера нашел многочисленные практические применения.

На этом эффекте основаны радиолокационные методы измерения скорости самолетов, ракет, автомашин.

С помощью продольного эффекта Доплера определяется радиальная скорость звезд. Измерив относительное смещение линий в спектрах звезд, можно по формуле (11.77) определить . В частности, таким способом было обнаружено разбегание галактик. Это явление открыл Хаббл (1929). Оно называется космологическим красным смещением: линии в спектре излучения внегалактических объектов смещены в сторону больших длин волн, т.е. в красноволновую часть спектра. Это свидетельствует о том, что внегалактические объекты удаляются от нашей Галактики со скоростями, пропорциональными расстояниям от них.

Задачи

Задача		1 (С. 4.58)		В вакууме распространяется вдоль оси	X	плоская
электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны
H m =0,05 А/м. Определить интенсивность волны I .
Решение:
Интенсивностью I				электромагнитной волны в данной точке	пространства
называется среднее по времени значение модуля вектора Пойнтинга:

I	E	H	.

Амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны в вакууме связаны соотношением

			E	2	H
				2
	0			m			0
Отсюда
E							0	H
E								H

		m
						0
						0

2 m

Следовательно,

cos(t kx)

E H

cos

(t kx)

E H

учтено, что

cos

(t kx)

. В результате:

, где

	1					1	4 10	7
I	1		0	H m		1	4 10			0,05	2	0,47 Вт/м2.
			0	2							2
	2					2	8,85 10		12
	2		0			2	8,85 10
			0
Задача		2		(С.	5.165) Радиолокатор							работает на частоте	0	. Найти скорость

приближающегося самолета, если частота биений между сигналами передатчика

отраженными от самолета равна		(в месте расположения локатора).
Решение:

Здесь мы имеем нерелятивистский эффект Доплера. Частота сигналов, воспринимаемая самолетом как приемником, который приближается к локатору, согласно

(11.80), равна

	0									x .
				0 1			, так как
				0 1		с	, так как
	1					с
	1	с
Сигналы такой же частоты											самолет и отражает – уже как движущийся источник.
Поэтому приемник локатора принимает сигналы с частотой
								2					2
1					0 1				0	1					.
1					0 1				0	1					.
			c					c					c
Частота биений 0											2	0		.
Частота биений 0											c			.
											c

Отсюда

c .

2 0

Задача 3 (С. 5.171) С какой

красный свет светофора,

(анекдот о Вуде).

Решение:

Согласно (11.78)

скоростью должна была бы двигаться автомашина, чтобы 0,70 мкм, воспринимался как зеленый, 0,55 мкм

			1
	0		1
	0

Отсюда
				2


		0
		0
				2
				2


		0
		0

,где


			с
			с
		2	1
			1

		2	1
			1

В результате находим

с 7 10	4

км/с !

Тесты

1.При распространении в пустоте (вакууме) амплитуда плоской электромагнитной

волны:

1)уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния; 2) уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из расстояния; 3) уменьшается обратно пропорционально расстоянию; 4) не изменяется; 5.– возрастает пропорционально пройденному расстоянию.

2.Какое из приведенных выражений позволяет рассчитать скорость электромагнитной волны в среде?

1) Ex Asin t

;

2) с

;

E 0 0

2 0 ;

0 0

4) v

;

5) v

3. Направление вектора Умова-Пойнтинга в электромагнитной волне совпадает

направлением….

1) вектора

E ;

2) вектора H ;

3) вектора

H ;

4) вектора

5)вектора k

E .

4. Частота колебаний в световой волне равна 1015 Гц. Чему равна длина волны

единицах СИ?

1) 0,3 мкм;

2) 3·10-4 мм;

3) 3·10-7 м;

4) 3·10-5 см; 5) 3·10-7 км.

;

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Физика

#
18.04.2015979.97 Кб58модуль 1.9.doc
#
18.04.2015352.26 Кб38модуль 2.1.doc
#
18.04.2015530.77 Кб20модуль 2.14.pdf
#
18.04.2015581.48 Кб31модуль 2.15.pdf
#
18.04.2015619.14 Кб32модуль 2.16.pdf
#
18.04.2015558.31 Кб18модуль 2.17.pdf
#
18.04.2015664.93 Кб11модуль 2.18.pdf
#
18.04.2015652.66 Кб17модуль 2.19.pdf
#
18.04.2015601.36 Кб33модуль 2.21.pdf
#
18.04.2015375.42 Кб53Модуль 2.22.docx
#
18.04.2015585.41 Кб42Модуль 2.23.docx