РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

Вычислить частные производные

∂z

и

∂z

для функции

∂x

∂y

z = (cos

xy )tg2

y

+3 ln5 (1− x3 y3 ).

x

Справочный материал

Частные

производные для

функции

двух переменных

z = f (x, y) определяются как пределы

∂z

= lim

f (x0 +

x, y0 )− f (x0 , y0 )

,

∂x

x→0

x

∂z

= lim

f (x0 , y0 +

y)− f (x0 , y0 )

.

∂y

y→0

y

Из определения частных производных следует, что при

вычислении

частной

производной

функции

z = f (x,

y)

по

переменной

x ,

следует

рассматривать

ее

как

функцию

одной

переменной

x ,

а

переменную

y

считать

постоянной.

При

вычислении

частной

производной

функции

z = f (x,

y)

по

переменной

y ,

следует

рассматривать

ее

как

функцию

одной

f1(x, y)= (cos xy )tg2

y

= eln(cos

xy )tg

2 y

= etg2

y

ln(cos

xy ).

x

x

x

По правилу дифференцирования сложной функции производная

от функции f1(x,

y)

по

переменной

x

равна

производной

от

экспоненты по ее аргументу,

умноженной на производную по x

от

показателя, т.е.

xy )

∂f1

= e

tg2

y

ln(cos

2

y

′

ln cos

xy

+tg

2

y

(ln cos

xy )

′

x

∂x

tg

.

x

x

x

x

2 y

′

= 2 tg

y

1

− y

Поскольку

tg

,

x

x

y

2

x

cos

2

x

x

(ln cos

xy )

′

=

1

(−sin

xy )

y

1

, то

x

cos

xy

2 x

∂f

2

y

ln(cos

xy )

1

− y

1

= e

tg

y

xy +

x

2 tg

ln cos

x

y

2

∂x

cos

2

x

x

+ tg2 y

1

(−sin

xy )

y

1

.

x

cos

xy

2

x

Функцию f2 (x, y)

запишем

в

виде

степенной

функции

с

дробным показателем:

(1

− x3 y3 ).

5

f2 (x, y)= 3 ln5 (1 − x3 y3 )= ln 3

Продифференцируем

ее

по

x ,

используя

правило

дифференцирования сложной функции, считая y постоянной.

∂f2 =

5 ln 3 (1 − x3 y3 )

1

(−3x2 y3 ).

2

∂x

3

1 − x3 y3

Складывая

∂f1

и

∂f2

, получим

∂x

∂x

∂f

= e

tg2

y

ln(cos

xy )

2 tg

y

1

− y

ln cos

xy +

x

∂x

x

2 y

x

2

cos

x

+ tg2 y

1

(−sin

xy )

y 1

+

x

cos

xy

2

+ 5 ln

1

x

3

(1− x3 y3 )

(−3x2 y3 ).

2

3

1− x3 y3

Для

частной

производной

∂f1

используется

формула,

∂y

аналогичная формуле для производной

∂f1

∂x

∂f

1

tg2

y

ln(cos

xy )

2

y

′

2

y

(ln cos xy )y

′

x

= e

ln cos

xy

+tg

∂y

tg

x

,

x y

в которой следует вычислить производные по переменной y :

2 y

′

= 2 tg

y

1

1

tg

и

x

x

y

y

cos

2

x

x

(ln cos

xy )

′

=

1

(−sin

xy )

x

1 .

x

cos

xy

2

y

Тогда

∂f

tg2

y

ln(cos

xy )

1

1

y

1

= e

x

2 tg

ln cos

xy +

x

y

∂y

2

x

cos

x

+ tg2 y

1

(−sin

xy )

x

1

.

x

cos

xy

2

y