Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»
(СПбГМТУ)
Кафедра математики
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Тема 4.2. Интегральное исчисление функций одной переменной
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
Санкт-Петербург
2006
Справочный материал
Задания данного типового расчета делятся на три типа: нахождение неопределенных интегралов, вычисление определенных интегралов и применение интегралов к решению геометрических задач.
Перечислим основные методы нахождения неопределенного интеграла.
Метод 1. Непосредственное интегрирование. В этом случае необходимо с помощью элементарных преобразований привести интеграл к табличному виду. Ниже приводятся первообразные для основных элементарных функций. При решении задач мы будем ссылаться на эту таблицу, указывая соответствующий номер формулы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1. |
|
∫x |
n |
dx = |
xn+1 |
|
+C , где n ≠ −1 |
|
(1) |
|||
|
n |
+1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ dx |
= ln | x | +C |
|
(2) |
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫a x |
|
= |
a |
x |
+C |
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|||||||
|
ln a |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||||
∫ex dx = ex +C |
|
(4) |
||||||||
|
|
|
||||||||
∫sin xdx = −cos x +C |
|
(5) |
||||||||
|
|
|
||||||||
∫cos xdx = sin x +C |
|
(6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
= tg x +C |
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||||
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
= −ctg x +C |
|
|
|
(8) |
||||||||||||
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
= arcsin x +C = −arccos x +C |
(9) |
||||||||||||||||
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
|
|
dx |
|
= arctg x +C = −arcctg x +C |
(10) |
|||||||||||||||||
1 |
+ x |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
(11) |
|||||
∫ |
|
|
a2 − x2 |
= arcsin a +C |
|
||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
= |
1 arctg |
|
|
x |
+C |
(12) |
|||||||||||
|
a |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
+ x |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
dx |
|
= |
1 |
|
ln |
|
x −a |
|
+C |
(13) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
2 |
2 |
2a |
x + a |
|
|||||||||||||||||
|
|
−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(14) |
|||
∫ |
|
|
x2 + a = ln x + |
|
|
x |
|
|
+ a +C |
|
|||||||||||||
∫tg xdx = −ln |
|
cos x |
|
+C |
(15) |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
∫ctg xdx = ln |
|
sin x |
|
+C |
(16) |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
∫sh xdx = ch x +C |
(17) |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
∫ch xdx = sh x +C |
(18) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
1 |
|
|
dx = th x +C |
(19) |
|||||
2 |
x |
|
||||||||
|
|
ch |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
|
dx |
|
|
= −cth x +C |
(20) |
||||
|
2 |
x |
|
|||||||
|
|
sh |
|
|
|
|
|
|
||
Метод 2. Замена переменной или интегрирование подстановкой. Методы, использующие замену переменной можно разделить на две группы:
1.Подведение под знак дифференциала.
2.Интегрирование посредством замены переменной.
Подведение под знак дифференциала используется, если подинтегральная функция представима в виде
∫ f (x)dx = ∫ f (u(x)) u′(x)dx .
Используя определение дифференциала u′(x)dx = du(x), исходный интеграл перепишется в виде
∫ f (x)dx = ∫ f (u(x)) u′(x)dx = ∫ f (u)du ,
где интеграл ∫ f (u)du является табличным интегралом.
Например, ∫ f (x2 )xdx = ∫ f (x2 ) 12 dx2 = 12 ∫ f (u)du . Здесь
использована формула xdx = 12 d(x2 ) .
4
Приведем преобразования дифференциалов, используемых наиболее часто:
Таблица 2.
dx = d(x +b) , где b = const |
(21) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
1 |
d(ax +b) , где a ≠ 0 |
(22) |
||||
|
|||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|||
|
xdx = |
1 |
d(x2 ) |
(23) |
|||
|
|
||||||
|
|
||||||
2 |
|
|
|||||
sin xdx = −d(cos x) |
(24) |
||||||
|
|
|
|
||||
cos xdx = d(sin x) |
(25) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dx = d(ln x) |
(26) |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
x |
|
|||||
exdx = d(ex ) |
(27) |
||||||
Интегрирование посредством замены переменной. Для нахождения интеграла можно заменить переменную х новой
переменной t , связанной с х подходящей формулой x = ϕ(t).
Определив для этой формулы dx = ϕ′(t)dt и подставляя в интеграл, получим
∫ f (x)dx =∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dx =∫F(t)dt .
Если полученный интеграл с новой переменной будет найден, то преобразовав результат к переменной х, получим искомое выражение заданного интеграла.
Иногда замену переменной удобнее сделать в виде t = ϕ(x).
Определив |
для этой |
формулы |
′ |
dt = ϕ (x)dx , получим |
|||
′ |
t = ϕ(x) и |
′ |
|
dx = dt / ϕ |
(x). Подставив |
dx = dt / ϕ (x) в исходный |
|
интеграл, получим интеграл от новой переменной.
5