РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

Таблица 1.

∫x

n

dx =

xn+1

+C , где n ≠ −1

(1)

n

+1

∫ dx

= ln | x | +C

(2)

x

∫a x

=

a

x

+C

(3)

ln a

∫ex dx = ex +C

(4)

∫sin xdx = −cos x +C

(5)

∫cos xdx = sin x +C

(6)

∫

dx

= tg x +C

(7)

2

x

cos

∫

dx

= −ctg x +C

(8)

2

x

sin

∫

dx

= arcsin x +C = −arccos x +C

(9)

1 − x2

∫

dx

= arctg x +C = −arcctg x +C

(10)

1

+ x

2

dx

x

(11)

∫

a2 − x2

= arcsin a +C

∫

dx

=

1 arctg

x

+C

(12)

a

2

2

+ x

a

a

∫

dx

=

1

ln

x −a

+C

(13)

x

2

2

2a

x + a

−a

dx

2

(14)

∫

x2 + a = ln x +

x

+ a +C

∫tg xdx = −ln

cos x

+C

(15)

∫ctg xdx = ln

sin x

+C

(16)

∫sh xdx = ch x +C

(17)

∫ch xdx = sh x +C

(18)

∫

1

dx = th x +C

(19)

ch 2 x

∫

dx

= −cth x +C

(20)

2

sh

x

Задача 1

Найти

общий

интеграл

дифференциального

уравнения.

(Ответ представить в виде ψ(x, y)= C ).

(1 + y2 )xdx + (1 + x2 )ydy = 0 .

Справочный материал

Уравнение

вида

M1 (x)N1 (y)dx + M 2 (x)N2 (y)dy = 0

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Для нахождения общего интеграла уравнения

ψ(x, y)= C

необходимо

его

представить

в виде M (x)dx + N(y)dy = 0 .

Разделив уравнение на множитель M 2 (y)N1 (x), получим

M (x)

N

(y)

1

dx

+

2

dy = 0 .

N1 (x)

M

2 (y)