ФИЗИКА

Модуль 1.4

Глава 4 Закон сохранения момента импульса. Механика твердого тела

1 Момент силы

Моментом силы относительно точки называется вектор, равный векторному произведению векторови:

, (4.1)

где - радиус-вектор точки приложения силы, проведенный из точки, относительно которой определяется момент (рис. 1).

Рис. 1

Модуль вектора равен произведению модуля силына ее плечо:

(4.2)

где - угол междуи.

Плечом силыназывают длину перпендикуляра, опущенного из точкина прямую, вдоль которой действует сила.

Направлен вектор перпендикулярно к плоскости, в которой лежат силаи точка, причем так, что направление вращения, обусловленного силой, и направление вектораобразуют правовинтовую систему (поворот головки винта или буравчика в направлении силы вызвал бы перемещение винта в направлении вектора). Поскольку его направление определяется условно,является псевдовектором.

Если тело может вращаться вокруг точки произвольным образом, то под действием силы тело повернется вокруг оси, совпадающей с направлением момента. Момент силыназывают такжевращающим моментом.

Проекция вектора на произвольную ось, проходящую через точку, называетсямоментом силы относительно этой оси:

. (4.3)

Разложим силу на три составляющие, как показано на рис. 2, а именно

где - параллельная оси,- перпендикулярная оси,- направленная по касательной к окружности радиуса.

Рис. 2

Представим момент силы относительно точкив виде

.

Моменты иперпендикулярны к оси, поэтому их проекции на эту осьравны нулю. Следовательно ,

(4.4)

Из трех составляющих силы вращение вокруг осиможет вызвать только сила, причем она тем лучше осуществит этот поворот, чем больше ее плечоотносительно точки.

Две равные по модулю противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил(рис. 3). Расстояниемежду прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары.

Рис. 3

Суммарный момент сил относительно точки равен

.

Учтя, что , можно написать

, (4.5)

где (рис. 3). Полученное выражение не зависит от положения точки. Следовательно, момент пары сил относительно любой точки будет одним и тем же. Векторперпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы, а его модуль равен произведению любой из сил на плечо:

. (4.6)

Силы гравитационного и кулоновского взаимодействия между двумя частицами образуют пару с плечом , равным нулю. Поэтому их суммарный момент относительно любой точки равен нулю.

Отсюда следует, что сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц всегда равна нулю:

(4.7)

2 Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Моментом импульса материальной точки (частицы) относительно точки называется векторная величина

, (4.8)

где - радиус- вектор, определяющий положение частицы относительно точки,- импульс частицы (рис. 4).

Модуль момента импульса равен

, (4.9)

где - плечо импульса.

Рис. 4

Частица обладает моментом импульса , независимо от формы траектории, по которой она движется. Рассмотрим два частных случая.

1. Частица движется по прямолинейной траектории (рис. 5).

Рис. 5

2. Частица движется по окружности радиуса (рис. 6).

Рис. 6

Проекция вектора на произвольную ось, проходящую через точку, называетсямоментом импульса частицы относительно этой оси:

. (4.10)

Выясним, от чего зависит изменение момента импульса. Для этого продифференцируем выражение (4.8) по времени:

Учитывая, что ,, а,, мы приходим куравнению моментов:

, (4.11)

согласно которому скорость изменения момента импульса со временем равна суммарному моменту сил, действующих на частицу.

Записав уравнение (4.11) в проекции на ось , получим

. (4.12)

Таким образом, производная по времени от момента импульса относительно оси равна моменту сил, действующих на частицу, относительно той же оси.

Рассмотрим систему частиц, на которые действуют как внутренние, так и внешние силы. Момент импульса системы относительно точкиравен:

. (4.13)

Дифференцирование по времени дает, что

Учитывая (4.11), получим:

.

Согласно (4.7) , поэтому получаем окончательно, что

. (4.14)

или в проекциях на произвольную ось

(4.15)

Если система замкнута (т.е. внешних сил нет), правая часть равенства (4.15) равна нулю и, следовательно, вектор не изменяется со временем. Отсюда вытекаетзакон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Согласно (4.15) в незамкнутой системе сохраняется момент импульса системы относительно оси, т.е., при условии, если сумма моментов внешних сил относительно этой оси равна нулю:.

В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т.е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Поворот замкнутой системы частиц без изменения их взаимного положения и относительных скоростей не изменяет механических свойств системы. Движение частиц друг относительно друга после поворота будет таким же, как до поворота.