ФИЗИКА

Модуль 1.5

Глава 5 Колебательные процессы

1 Колебания в природе и технике

Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени. Таким свойством повторяемости обладают, например, качания маятника часов, колебания струны, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника и т. п.

Колебания широко распространены в природе и технике. Во многих случаях они играют отрицательную роль. Колебания моста, возникающие из-за толчков, сообщаемых ему колесами поезда при прохождении через стыки рельсов, колебания (вибрации) корпуса корабля, вызванные вращением гребного винта, вибрации крыльев самолета — все эти процессы могут привести к катастрофе. В подобных случаях задача состоит в том, чтобы предотвратить возникновение колебаний или, во всяком случае, воспрепятствовать тому, чтобы колебания достигли опасных размеров.

Вместе с тем колебательные процессы лежат в самой основе различных областей техники. Так, например, на колебательных процессах основана вся радиотехника.

Колебания могут быть разной природы. В физике рассматриваются механические, электромагнитные и электромеханические колебания.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок или она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити (маятник).

Для того чтобы вызвать колебания, можно либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером служат колебания моста, возникающие при прохождении по нему людей, шагающих в ногу.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешней силы, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой — система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происхо­дят в моменты прохождения маятника через среднее положение.

Простейшими являются гармонические колебания, т. е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим колебаниям, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

2 Гармонические колебания

В случае гармонических колебаний изменения со временем колеблющейся величины х описываются формулой

или (5.1)

Величина характеризует отклонение колеблющейся системы от положения равновесия.

Рис. 1

График гармонического колебания показан на рис. 1. Наибольшее значение колеблющейся величины называется амплитудой колебаний.

Амплитуда — постоянная положительная величина. В дальнейшем, кроме буквы , мы будем обозначать амплитуду символом колеблющейся величины с индексом (например, ).

Величина , стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебаний. Постоянная ве­личина представляет собой значение фазы в момент времени =0 и называется начальной фазой колебаний. Поскольку косинус — периодическая функция с периодом 2л, различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через такой промежуток времени , за который фаза колебаний получает приращение, равное (см. рис.1). Этот промежуток времени называется периодом колебаний. Он может быть определен из условия ,

откуда

(5.2)

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний . Очевидно, что частота связана с периодом колебаний соотношением

. (5.3)

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен

1 с. Эту единицу называют герцем (Гц). Частота в 10³ Гц называется килогерцем (кГц),

в 10⁶ Гц — мегагерцем (МГц).

Из (5.2) следует, что

(5.4)

Таким образом, равна числу колебаний за секунд. Величину называют круговой или циклической частотой. Она связана с обычной частотой соотношением

(5.5)

Рассмотрим материальную точку (в дальнейшем для краткости мы будем ее называть просто телом) массы , которая может совершать колебания вдоль оси . В этом случае выражение

(5.6)

определяет смещение тела из положения равно­весия.

Система, совершающая гармонические колебания около положения равновесия, называется гармоническим осциллятором, а — собственной частотой гармонического осциллятора.

Продифференцировав (5.6) по времени, получим выражение для проекции скорости тела на ось :

. (5.7)

Из этой формулы видно, что скорость также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна . Из сравнения выражений (5.6) и (5.7) следует, что скорость опережает смещение по фазе на .

Продифференцировав (5.7) еще раз по времени, найдем выражение для проекции ускорения на ось :

(5.8)

Из (5.8) следует, что ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по модулю отрицательного значения, и наоборот.

Рис. 2

На рис.2 сопоставлены графики смещения и проекций скорости и ускорения на ось .

Из сопоставления выражений (5.6) и (5.8) следует, что

. (5.9)

Это соотношение представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Очевидно, что функция (5.6) является общим решением этого уравнения. Во всех случаях, когда выясняется, что некоторая величина удовлетворяет уравнению (где >0), можно утверждать, что эта величина изменяется со временем по гармоническому закону, причем корень из дает циклическую частоту колебаний.

Определим силу , которая действует на тело, совершающее гармонические колебания. Согласно второму закону Ньютона проекция силы на ось равна . Воспользовавшись соотношением (5.9), получим, что

(5.10)

где

(5.11)

Таким образом, сила пропорциональна смещению. Знак минус означает, что направления силы и смещения противоположны.

Условию (5.10) удовлетворяет упругая сила. Поэтому силы вида (5.10) независимо от их природы называют квазиупругими.

Квазиупругая сила обусловливает наличие у тела потенциальной энергии

(5.12)

Кинетическая энергия тела

. (5.13)

Квазиупругая сила является консервативной. Поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. Действительно, сложив выражения (5.12) и (5.13) и приняв во внимание равенство (5.11), получим, что

(5.14)

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения

(5.15)

При прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения

(5.16)

(выше было показано, что амплитуда скорости равна ).

Используя известные формулы тригонометрии, выражениям (5.12) и (5.13) можно придать вид

. (5.17)

(5.18)

где — полная энергия осциллятора. Из этих формул видно, что и изменяются с частотой , т. е. с частотой, в два раза превышающей частоту гармонического колебания. На рис. 3 сопоставлены графики для , и .

Рис. 3

Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно, как известно, 1/2. Следовательно, среднее значение , совпадает со средним значением и равно .

Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначим через . В таких случаях говорят, что система имеет одну степень свободы. Потенциальная энергия системы будет функцией одной переменной : . Допустим, что система обладает положением устойчивого равновесия. В этом положении функция имеет минимум. Условимся координату и потенциальную энергию отсчитывать от положения равновесия. Тогда .

Разложим функцию в ряд по степеням , причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями можно будет пренебречь. Разложив в ряд Тейлора

(ввиду малости остальными членами ряда пренебрегаем). Поскольку при = 0 имеет минимум, равна нулю, а положительна. Кроме того, по условию . Введем обозначение: (). Тогда

Мы получили выражение, идентичное выражению (5.12) для потенциальной энергии гармонического колебания.

Таким образом, малые колебания системы вблизи положения равновесия, независимо от конкретного вида потенциальной энергии, всегда являются гармоническими.

В заключение отметим, что гармонические колебания можно представить несколькими способами. Преобразуем выражение (5.6) по формуле для косинуса суммы:

,

и введем обозначения

, .

Тогда функция примет вид

,

где и - произвольные постоянные.

Напомним, что комплексным числом называется величина где и — вещественные числа, — мнимая единица, равная . Число называется вещественной частью комплексного числа (обозначается ), число — мнимой частью (обозначается ).

Согласно формуле Эйлера

.

Из этой формулы следует, что представляет собой вещественную часть комплексного числа : . Поэтому функцию (5.6), можно написать в виде

. (5.19)

Такое представление гармонических функций обладает рядом преимуществ.