ФИЗИКА

Модуль 1.6

Глава 6 Сложение гармонических колебаний

1 Векторная диаграмма

Рассмотрение многих вопросов, в частности сложение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты (или, что то же самое, сложение нескольких гармонических функций), становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.

Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину (рис. 1); величина может быть любой физической природы). Из взятой на оси точки отложим вектор длины , образующий с осью угол . Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью , то проекция конца вектора будет перемещаться по оси в пределах от до , причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону:

.

Рис. 1

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.

Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью угол, равный начальной фазе колебаний.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебание будет суммой колебаний и , которые определяются функциями

, . (6.1)

Представим оба колебания с помощью векторов и (рис. 2). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор .

Рис. 2

На рисунке видно, что проекция этого вектора на ось равна сумме проекций складываемых векторов:

Следовательно, вектор представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью как и векторы и , так что сумма и является гармоническим колебанием с частотой , амплитудой и начальной

фазой . Из рисунка вытекает, что

,(6.2)

. (6.3)

Итак, представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.

Исследуем выражение (6.2) для амплитуды. Если разность фаз колебаний равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна . Если разность равна + или -, т. е. колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания равна .

2 Биения

Особенно важен случай, когда два складываемых гармонических колебания одного направления мало отличаются по частоте. Мы сейчас покажем, что возникающий при этом процесс можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями. Обозначим частоту одного из колебаний буквой , частоту другого колебания через . По условию . Амплитуды колебаний будем полагать одинаковыми и равными . Допустим, что начальные фазы обоих колебаний равны нулю.

Тогда уравнения колебаний будут иметь вид

,

Сложив эти выражения и применив формулу для суммы косинусов (), получим

(6.4)

(во втором сомножителе мы пренебрегли слагаемым по сравнению с . График функции (6.4) изображен на рис. 3 а.

Рис. 3

Множитель в скобках в формуле (6.4) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. Ввиду условия за то время, за которое совершает несколько полных колебаний, множитель в скобках почти не изменяется.

Это дает основание рассматривать процесс (6.4) как гармоническое колебание частоты , амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. Выражением этого закона не может быть множитель, стоящий в скобках, так как он изменяется в пределах от до , в то время как амплитуда по определению — положительная величина. График амплитуды дан на рис. 3 б. Аналитическое выражение амплитуды имеет вид

. (6.5)

Это выражение представляет собой периодическую функцию с частотой, в два раза превышающей частоту гармонической функции, стоящей под знаком модуля, т.е. с частотой (рис. 4). Следовательно, частота пульсаций амплитуды - ее называют частотой биений - равна разности частот складываемых колебаний.

Рис. 4