ФИЗИКА

Модуль 1.10

Глава 3 Основы статистической физики. Распределение Максвелла и Больцмана

1 Вероятность. Средние значения

Статистическая физика – это раздел физики, в котором изучают свойства макроскопических систем – систем, образованных огромным числом микрочастиц (молекул, атомов, ионов, электронов). В дальнейшем такие системы мы будем называть макросистемами. Свойства макросистем изучают, исходя из индивидуальных свойств микрочастиц и взаимодействий между ними. Описание движения каждой частицы макросистемы (а их порядка 10²²÷10²³) – задача совершенно немыслимая. Вместо этого статистическая физика оперирует со средними значениями параметров очень большого числа частиц. Колоссальное число частиц в макросистеме приводит, несмотря на очевидный хаос (беспорядок), к появлению новых, статистических закономерностей. Их изучение и делает возможным описание макросистем на основе сведений о свойствах отдельных частиц.

О вероятности Основу статистической физики оставляет теория вероятностей. Исходные понятия этой теории – событие и вероятность.

Событие – это, например, выпадение одного из шести (6) номеров при бросании игрального кубика. Или при измерении скорости молекул газа: разбив возможные значения скоростей на отдельные интервалы () и, обнаружив, что скорость молекулы попала в-й интервал, мы говорим об-ом событии.

В дальнейшем нас будут интересовать лишь такие события, которые являются:

1) случайными, т.е. события, которые нельзя заранее с уверенностью предсказать;

2) равновероятными – для которых нет никаких оснований ожидать, что при испытаниях они будут вести себя по-разному (например, при бросании игрального кубика или монеты).

Вероятность данного случайного события характеризуется кратностью его повторения.

Если в случаях-е событие происходитраз, то вероятностьюэтого события называют величину

(3.1)

Так как на практике всегда конечно, то для вычисления вероятности стараются, чтобыибыли достаточно большими. Тогда можно считать, что

(3.2)

Ясно, что сумма вероятностей всех возможных результатов измерений равна единице

. (3.3)

Теперь обратимся к вычислению вероятностей сложных событий. Рассмотрим две основные теоремы: о сложении и умножении вероятностей на примере игрального кубика.

1 Теорема сложения вероятностей

Если в результате бросаний кубика вслучаях выпадет число, аслучаях -, что вероятность выпаденияиравна

(или) =(3.4)

Это значит, что при бросании кубика вероятность выпадения, скажем, 2 или 5 равна

.

В общем случае эта теорема утверждает: вероятности несовместимых событий складываются.

Пример При бросании игрального кубика вероятность:

1) выпадения четной цифры (2, 4, 6), равна

2) того, что не выпадет 2, равна .

2 Теорема умножения вероятностей

Найдем вероятность того, что при двух бросаниях кубика выпадет последовательно и. Рассмотримдвойных бросаний. Пусть первый из каждой пары бросков далвслучаях (так что). Теперь выделим из этихслучаев тесобытий, когда второй бросок кубика давал(так что). Тогда искомая вероятность

(, затем) =(3.5)

Значит, вероятность того, что при двух бросаниях кубика выпадут, допустим, сначала 2, а затем, 5, равна .

В общем случае теорема умножения вероятностей утверждает: вероятность одновременного появления (совмещения) двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них в отдельности.

Пример Вероятность того, что при двух бросаниях кубика:

а) выпадут две 5, равна .

б) не выпадет ни одной 5 равна .

в) выпадет одна 5, равна .

Заметим, что , как и должно быть.

Средние значения случайных величин Зная вероятности появления различных результатов измерения дискретной величины , можно найти их среднее значение. По определению среднего

(3.6)

Функция распределения Рассмотрим случай, когда случайная величина имеетнепрерывный характер, например, скорости молекул. В этом случае число возможных значений бесконечно велико, а количество молекулхотя и велико, но конечно.

Возникает вопрос, какова вероятность того, что величинаимеет значения, заключенные в пределах малого интервала, расположенного в окрестности значения. При маломэта вероятность будет пропорциональной. Кроме того, она зависит от того, в каком месте осирасположен интервал, т.е. является функцией:. Таким образом

(3.7)

(индекс приуказывает значение, в окрестности которого расположен).

Функцию , равную

, (3.8)

называют функцией распределения случайной величины .

Из (3.8) видно, функции распределения можно приписать смыслплотности вероятности, т.е. вероятности величины оказаться в единичном интервале вблизи значения.

В разных случаях имеет совершенно различный вид, один из которых приведен на рис. 1. В соответствии с (3.7) площадь полоски ширинойравна вероятноститого, что случайная величинаокажется в пределах интервала

Рис. 1

Вероятность того, что величина попадет в интервал:

. (3.9)

Ясно, что вероятность того, что величина может принять хотя бы какое-нибудь значение (достоверное событие), равна единице. Это называютусловием нормировки:

, (3.10)

где интегрирование производится по всему интервалу возможных значений

величины . Из этого следует, что вся площадь под кривойравна единице (см. рис. 1).

Средние значения Средние значения величины можно найти, зная ее нормированную на единицу функцию распределения. Обратимся к формуле (3.6). Она справедлива и для случая, когда интервал изменения величиныбудет разбит на небольшие участки. Уменьшая участки, мы должны, в конце концов, заменитьнаи- на интеграл. Тогда

(3.11)

Аналогичные формулы справедливы для любой функции , например,

.