модуль 2

ФИЗИКА

Модуль 2.4

8 Связь между потенциалом и вектором напряженности электростатического поля

Выберем в пространстве, в котором имеется электростатическое поле, произвольное направление (рис.20).

Рис.20

При перемещении точечного заряда вдоль этого направления на отрезок силы поля совершают над ним работу.

,

где - проекция вектора на направление . Согласно формуле (1.40) эту работу можно выразить через убыль потенциальной энергии:

.

Отсюда получим:

или

(1.46)

Таким образом, проекция вектора на направление равна скорости убывания потенциала при перемещении вдоль этого направления.

Взяв в качестве направления координатные оси , , , получим выражения для компонент вектора :

; ; (1.47)

Соответственно выражение для примет вид:

.

Величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент потенциала ( или ). Следовательно, мы приходим к формуле:

или , (1.48)

где .

Таким образом, напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком.

Замечание: Этот результат можно было получить, использовав известное из механики соотношение между потенциальной энергией и силой:

(1.49)

Подставив , , и сократив на , придем к формуле (1.48).

Формула (1.48) позволяет, зная функцию , определить поле в каждой точке.

Решим обратную задачу – зная функцию , найдем разность потенциалов между двумя произвольными точками поля.

Работа , совершаемая силами поля над зарядом при перемещении его по произвольной траектории из точки 1 в точку 2, равна

Отсюда

или . (1.50)

Интеграл можно брать по любой линии, соединяющей точки 1 и 2, так как работа сил поля не зависит от пути.

Эквипотенциальные поверхности

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью. Ее уравнение имеет вид:

(1.51)

Докажем, что линии напряженности в каждой точке ортогональны к эквипотенциальной поверхности. Пусть заряд перемещается на отрезок (рис. 21).

Рис. 21

Элементарная работа

Учитывая, что , получим

, отсюда следует , т.е. вектор направлен по нормали к поверхности. На рис. 22 и рис. 23 представлены примеры.

Рис.22 Линии (сплошные) и эквипотенциальные поверхности (штриховые) однородного поля

Рис. 23 Линии (сплошные) и эквипотенциальные поверхности (штриховые) точечного заряда.

Примеры вычисления потенциалов

1. Потенциал бесконечно длинного заряженного провода

Эквипотенциальные поверхности – совокупность цилиндрических поверхностей, т.е.

Электрический потенциал поля заряженного провода

2. Потенциал поля точечного заряда

Эквипотенциальные поверхности – совокупность концентрических сфер.

3. Потенциал поля равномерно заряженной сферы

а) Вне сферы

б) Внутри сферы

Потенциал во всех точках внутри сферы постоянен () и равен потенциалу на поверхности.

3. Потенциал поля заряженного шара

а) Вне шара

, где

.

б) Внутри шара

или

или

;

;

3. Потенциал электрического поля плоского конденсатора

Пусть - потенциал левой пластины

Пусть - расстояние между пластинами, тогда

График изменения напряженности и потенциала электрического поля вне и внутри плоского конденсатора изображен на рис.

3. Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид , где . Найти модуль напряженности поля в точке , , .

Решение: Напряженность поля связана с потенциалом

; ; .

Отсюда

,

где - расстояние от начала координат.

Тесты

1. Электрическое поле может быть описано с помощью вектора напряженности поля и потенциала φ. Вектор и градиент потенциала:

1. перпендикулярны друг другу 2. сонаправлены 3.противоположно направлены 4. угол между векторами зависит от плотности распределения заряда в пространстве 5. нет верного ответа.

2. Напряженность поля внутри плоского конденсатора Е. Какова разность потенциалов между точками А и В, если расстояние между ними r, а угол между отрезком АВ и направлением вектора Е равен :

1. 2. 3. 4.

3. В однородном электрическом поле с напряженностью 300 В/м положительный заряд перемещается на 2 см перпендикулярно к линиям напряженности. Разность потенциалов между точками перемещения равна

1. 6 В 2. 0 3. 150 В 4. 60 В

4.Что называется градиентом потенциала?

1. Градиентом потенциала называется работа сил поля при перемещении заряда между двумя точками электрического поля 2. градиент потенциала – энергетическая характеристика электрического поля в данной точке 3. градиент потенциала численно равен приращению потенциала, приходящегося на единицу длины линии напряженности однородного поля 4. это особая электрическая характеристика поверхности, все точки которой имеют одинаковый потенциал.

5. Поле создано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда +. Укажите направление вектора градиента потенциала в точке А.

1. А – 4 2. А – 2 3. А – 3 4. А – 1

6. Напряженность электростатического поля и его потенциал φ связаны соотношением

1. 2. . 3. 4.

7. Двигаясь в электрическом поле, электрон перешел из одной точки в другую, потенциал которой выше на  В. На сколько изменилась кинетическая энергия электрона?

1. Дж 2.  эВ 3. Дж 4.  эВ.

8. Потенциал электростатического поля φ в вакууме вне сферы радиуса R, заряд которой q, на расстоянии r от центра сферы равен:

1. 2. 3. 4. 5. .

9. Поле создано точечным зарядом +q. Укажите направление вектора градиента потенциала в точке А.

1. А – 4 2. А – 2 3. А – 3 4. А – 1

10. Разность потенциалов между двумя точками внутри плоского конденсатора 10 В. Расстояние между ними 5 см. Определить отношение напряженностей электрического поля в данных точках.

1. 1 2. 2 3. 5 4. 10 5. 20.

11. Потенциал внутри равномерно заряженного проводящего шара с поверхностной плотностью на расстоянии от центра шара ( – радиус шара) равен:

1. 0 2. 3. 4. 5. .

12. Поле создано точечным зарядом – q. Укажите направление вектора градиента потенциала в точке А.

1. А – 2 2. А – 3 3. А – 1 4. А – 4

13. Поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью с зарядом +q. Укажите направление вектора градиента потенциала в точке А.

1. А – 4 2. А – 2 3. А – 3 4. А – 1

14. Два заряженных шара с радиусами 10 см и 20 см обладают потенциалом 15 В каждый. Чему будут равны потенциалы шаров (соответственно меньшего и большего радиуса) после соединения их тонким проводником?

1. 10 В и 20 В 2. 20 В и 10 В 3. 10 В и 30 В 4. 5 В и 25 В 5. 15 В и 15 В.

15. Линии напряженности электрического поля составляют с линиями равного потенциала угол...

1. 0° 2. 45° 3. 90° 4. 135° 5. 180°.

16. Если потенциал электрического поля на поверхности металлической заряженной сферы радиусом 40 см равен 8 В, то потенциал электрического поля на расстоянии 20 см от центра сферы равен

1. 16 В 2. 4В 3. 8 В 4. 2 В 5. 0 В.

17. Проводящий шар с радиусом r имеет заряд q. Потенциал в центре шара равен:

1. 2. 3.0 4. 5.

18. Разность потенциалов между точками, лежащими на одной силовой линии на расстоянии  см друг от друга равна  В. Чему равна напряженность электростатического поля?

1.  В/м 2.  В/м 3.  В/м; 4. В/м.

19. Потенциал электростатического поля φ в вакууме вне сферы радиуса R, заряд которой q, на расстоянии r от центра сферы равен:

1. 2. 3. 4. 5. .

9