ФИЗИКА МУ к ЛБ Механика и молекулярная физика
.pdf4.Сформулюйте та напишіть, що таке момент інерції тіла відносно осі,
що проходить через центр тяжіння.
5.Сформулюйте та напишіть, що таке кутова швидкість та кутове прискорення.
6.Сформулюйте та напишіть, що таке момент імпульсу матеріальної точки та тіла.
7.Поясніть фізичний зміст векторів, що зображені на рис. 2.3.
8.Відомо, що для того, щоб відрізнити сире яйце від вареного, достатньо його розкрутити на столі. Варене яйце крутиться довго, а сире яйце розкрутити не вдається. Чому?
6 ВИЗНАЧЕННЯ ПРИСКОРЕННЯ ВІЛЬНОГО ПАДІННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ МАТЕМАТИЧНОГО МАЯТНИКА
6.1Мета роботи: дослідження вільних коливань математичного маятника, визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника.
6.2Методичні вказівки з організації самостійного роботи студентів
Вивчити теоретичний матеріал за конспектом лекцій та підручником [1,
62-69; 2,175-176; 3, 222-223].
При виконанні лабораторної роботи слід знати: математичним маятником називають матеріальну точку, що підвішена на кінці невагомої нерозтяжної нитки, яка здійснює коливання під дією сили тяжіння .
Практично це кулька, розміри якої значно менші за довжину нитки l, а
маса m значно більша маси нитки (рис.6.1).
31
Рисунок 6.1 – Фізична модель досліду
Відхилення маятника від положення рівноваги характеризуватимемо за
допомогою кута α. Розкладемо силу тяжіння mg на складові: |
за напрямком |
|
нитки – Frn |
і за перпендикулярним напрямком, що співпадає з напрямком руху |
|
r |
|
|
кульки – Fτ . |
|
|
|
r |
|
Сила |
Fn натягує нитку маятника, а сила Fτ створює обертальний момент, |
|
що викликає прискорення кульки, повертаючи її в положення рівноваги. |
||
|
M = lFτ = −mgl sin α, |
(6.1) |
де Fτ = −mg sin α (знак “–” вказує, що напрям зростання кута відхилення протилежний напряму сили).
Момент інерції математичного маятника знаходимо, як для матеріальної
точки
I = ml2 , |
(6.2) |
кутове прискорення |
|
β= |
d2α |
|
|
|
|
dt2 . |
|
|
|
||
Згідно з основним рівнянням динаміки обертального руху |
|
||||
M = I β = I |
d 2α |
(6.3) |
|||
dt |
2 |
||||
|
|
|
|||
Для математичного маятника:
32
ml |
2 |
|
d 2α |
= −mgl sin α. |
(6.4) |
|||
|
dt2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Обмежимося розглядом малих коливань ( α < 0,5 |
рад), для якихsin α ≈ α. |
|||||||
Рівняння (6.4) можна привести до вигляду |
|
|||||||
d 2α |
+ |
g |
|
α = 0 . |
(6.5) |
|||
dt2 |
|
l |
||||||
|
|
|
|
|
||||
Отримане рівняння є диференціальним рівнянням гармонічних коливань з частотою
ω0 = gl .
Рішення рівняння (6.5) має вигляд
α = Acos(ω0t + ϕ) ,
де A – амплітуда коливань; ω0 – циклічна частота; ϕ– початкова фаза.
Період коливань математичного маятника:
T = |
2π |
= 2π |
l |
. |
ω |
|
|||
|
|
g |
||
|
0 |
|
|
|
(6.6)
(6.7)
Звідси маємо, що період коливань при малих кутах відхилення не залежить від маси маятника й амплітуди його коливань. З формули (6.7) випливає:
g = 4π2l . T 2
Період коливань можна розрахувати за формулою:
T = Nt ,
де t – час достатньо великої кількості коливань; N – кількість коливань.
(6.8)
(6.9)
33
6.3 Опис лабораторної установки
Маятник являє собою важку кульку, підвішену в точці підвісу на довгій нитці, довжина якої може змінюватися. До лабораторної установки додається лінійка для вимірювання довжини маятника і секундомір для визначення періоду коливань.
6.4 Порядок виконання роботи і методичні вказівки з її виконання
1.За допомогою лінійки виміряти довжину маятника. Результат занести до таблиці 6.1.
2.Відхиливши маятник на малий кут (4-5°), визначити час t N =20
коливань. Визначити період коливань маятника T = Nt , де N – число коливань.
Результат занести до таблиці 6.1.
3.Повторити завдання п. 1, 2 для п’яти різних довжин математичного маятника.
4.Обчислити величину прискорення вільного падіння g . Результат
занести до таблиці 6.1.
Таблиця 6.1 – Результати вимірювань та розрахунків
№ |
l , м |
t , c |
T , c |
g , м/c2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5.Побудувати залежність g(l) .
6.Обчислити абсолютну похибку вимірювань прискорення вільного
падіння.
34
6.5 Зміст звіту
Звіт повинен містити: мету роботи; схему лабораторної установки; результати вимірювань, зведені до таблиці; графік залежності g(l) ; статистичну обробку результатів вимірювань; короткі висновки.
6.6 Контрольні запитання і завдання
1.Що таке вільне падіння?
2.Від чого залежить прискорення вільного падіння?
3.Сформулюйте закон всесвітнього тяжіння.
4.Як змінюється прискорення вільного падіння з висотою над поверхнею Землі?
5.Що являє собою математичний маятник?
6.Чому дорівнює період коливань математичного маятника та від чого він залежить?
7.Виведіть формулу періоду коливань математичного маятника.
8.Які коливання називаються гармонічними?
9.Запишіть диференційне рівняння вільних коливань, та його розв’язок.
10.Під дією яких сил відбуваються гармонічні коливання?
7 ВИЗНАЧЕННЯ ПРИСКОРЕННЯ ВІЛЬНОГО ПАДІННЯ ТІЛА ЗА ДОПОМОГОЮ ФІЗИЧНОГО МАЯТНИКА
7.1 Мета роботи
Вивчення законів коливального руху фізичного маятника. Визначення прискорення вільного падіння тіла шляхом вимірювання періодів коливань оборотного маятника.
7.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів
Вивчити теоретичний матеріал за конспектом лекцій та підручником [1, 67-68; 2, c. 174-176].
Слід знати, що фізичним маятником називається тверде тіло довільної форми, здатне виконувати малі коливання у полі сили тяжіння навколо горизонтальної осі, що не проходить через його центр мас. Масу m такого маятника не можна вважати зосередженою в точці.
35
Маятник (рис. 7.1) виконує коливання навколо осі, яка проходить крізь точку О перпендикулярно площині креслення. Точка О/ – центр мас маятника.
Розкладемо силу тяжіння маятника mg на дві складові: Fn |
– у напрямку OO/ і |
Fτ – перпендикулярно до OO/. Сила Fτ – створює обертальний момент |
|
M = RFτ = −Rmg sin α, |
(7.1) |
де R – відстань від осі обертання до центру мас; g – прискорення вільного падіння;
Fτ = −mg sin α (знак “–” вказує, що напрям зростання кута відхилення α протилежний напрямку сили).
Рисунок 7.1 – Фізична модель досліду
Згідно з основним рівнянням динаміки обертального руху
I β = I |
d 2α |
= M , |
(7.2) |
||
dt |
2 |
||||
|
|
|
|||
де I – момент інерції маятника відносно осі О;
β= d2α2 – кутове прискорення. dt
Підставляючи в формулу (7.2) |
вираз для моменту сили M |
з рівняння |
|||
(7.1), маємо |
|
|
|
|
|
I |
|
d 2α |
= −Rmg sin α. |
(7.3) |
|
dt2 |
|||||
|
|
|
|
||
36
Для малих кутів відхилення ( α < 0,5 рад) sin α ≈ α, звідки
I d 2α2 = −Rmgα. dt
Поділимо обидві частини рівняння на I ліворуч, будемо мати:
|
d 2α |
+ |
Rmg |
α = 0 , |
|
dt2 |
I |
||
|
|
|
||
|
d 2α |
|
2 |
|
або |
dt2 |
+ω α = 0 |
||
(7.4)
та перенесемо праву частину
(7.5)
Отримане рівняння є диференціальним рівнянням гармонічних коливань. Таким чином, за відсутності тертя, малі коливання фізичного маятника є гармонічними з частотою
|
|
ω= Rmg . |
(7.6) |
|||||||
|
|
|
I |
|
|
|
||||
Прийнявши до уваги, як зв’язані період та частота коливань |
( ω= |
2π |
), |
|||||||
|
||||||||||
період коливань фізичного маятника |
|
|
|
|
|
T |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
T = 2π |
|
|
I |
. |
(7.7) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Rmg |
|
|
|
|||
Величина |
I |
має розмірність довжини. Позначивши її |
через l , |
|||||||
mR |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
запишемо рівняння (7.7) в такому вигляді |
|
|
|
|||||||
|
|
T = 2π |
|
l |
. |
(7.8) |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
g |
|
|
|
|||
Ця формула за виглядом збігається з формулою для періоду коливань математичного маятника, тому вираз l = mRI називають приведеною довжиною
фізичного маятника. Приведена довжина фізичного маятника дорівнює довжині такого математичного маятника, період коливань якого дорівнює періоду коливань даного фізичного маятника з масоюm , моментом інерції I і відстанню між центром мас і віссю обертання R .
37
Відкладімо від осі обертання О у напрямку ОО/ відстань ОО1, що дорівнює приведеній довжині фізичного маятника l (рис.7.1). Точка О1 називається точкою коливання і має такі властивості: якщо перемістити вісь обертання О в точку О1, то період коливань фізичного маятника не зміниться. Для цього достатньо показати, що приведена довжина l фізичного маятника з віссю О дорівнює приведеній довжині l1 того ж фізичного маятника з віссю О1.
Згідно з теоремою Штейнера, момент інерції тіла I відносно довільної осі обертання дорівнює сумі моменту інерції I0 відносно осі, яка проходить крізь центр мас паралельно фактичній осі обертання, і добутку маси тіла на квадрат відстані R від центру тяжіння до фактичної осі обертання:
I = I0 + mR2 . |
(7.9) |
Поділивши обидві частини цього рівняння на mR , матимемо для приведеної довжини маятника l вираз
|
|
|
|
|
|
|
l = |
I |
= |
I0 |
|
+ R . |
|
|
|
(7.10) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
mR |
mR |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Позначивши |
|
I0 |
через |
R , маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
mR |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
l = R1 + R , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.11) |
||||
Де R1– відстань від точки О/ до точки О1 (див. рис.7.1). |
|
|
||||||||||||||||||
Приведена довжина фізичного маятника з віссю О1: |
|
|
||||||||||||||||||
|
I |
0 |
+ mR 2 |
|
I |
0 |
+(l − R)2 m |
|
|
I |
0 |
|
+ mR2 + ml2 −2mlR |
|
|
|||||
l = |
|
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
(7.13) |
||||
|
|
|
|
|
m(l − R) |
|
|
|
|
m(l − R) |
||||||||||
1 |
|
|
mR1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Але з рівняння (7.10) випливає, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I0 + mR2 =lmR , |
|
|
|
|
|
|
|||||||
тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l = lmR + ml2 −2lmR = |
ml (l − R) |
=l . |
|
(7.14) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
m(l − R) |
|
|
|
|
|
m(l − R) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
38
Таким чином, l1 =l . Тобто на фізичному маятнику можна знайти такі дві спряжені точки О і О1 , періоди коливань навколо яких будуть рівні.
7.3 Опис лабораторної установки
Для визначення спряжених точок коливань зручно користуватись оборотним маятником, який має стержень з двома нерухомими опорами у вигляді призм (а,b) і трьох пересувних вантажів (P,Q,M) (рис.7.2).
Рисунок 7.2 – Лабораторна установка
При фіксованих положеннях опор, положення вантажів добирають таким чином, щоб періоди коливань маятника на обох призмах були однакові. В цьому випадку, як то виходить із теорії, відстань між призмами дорівнюватиме приведеній довжині фізичного маятника. Період коливань визначається за допомогою секундоміра. Знаючи приведену довжину l і період коливаньT , можна обчислити прискорення вільного падіння тіл за формулою (7.8), з якої маємо
g = |
4π2l |
. |
(7.15) |
|
T 2 |
||||
|
|
|
39
7.4 Порядок виконання роботи і методичні вказівки з її виконання
1. Підвісити маятник на одну з призм, наприклад “а”. Відхиливши маятник на малий кут (4-5º), дати йому можливість вільно коливатися. Виміряти за допомогою секундоміра час ta 20-25 коливань. Результат занести до таблиці 7.1.
2. Підвісити маятник на призму “b” і знову дати йому можливість коливатись. Виміряти за допомогою секундоміра час tb такої ж кількості коливань, як і в першому випадку. Результат занести до таблиці 7.1.
3.Шляхом пересувань вантажів P або Q, домогтися того, щоб час однакового числа коливань ta і tb був рівним з точністю не менше 0,1 с.
4.Для полегшення задачі зручно побудувати графіки залежності часу 2025 коливань від положення вантажу, що пересувається Для цього за початок координат потрібно вибрати одну з призм, наприклад “а”. Виміряти час 20-25 коливань на призмах “а” та “b” для 5 різних положень вантажу Q. Дані
вимірювань занести в таблицю 7.1. |
Побудувати графіки ta (x) і tb (x) . |
||||
Координата точки перетину графіків x0 |
дає положення вантажу Q, при якому |
||||
час коливань ta =tb . |
|
|
|
|
|
|
Таблиця 7.1 – Результати вимірювань |
||||
|
|
|
|
|
|
|
x , м |
ta , c |
|
tb , c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Помістити вантаж Q в положення х0. Провести остаточні вимірювання часу t 50 коливань 5 разів та дані занести в таблицю 7.2. Знайти середнє
значення часу 
t
, визначити період коливань за формулою T = Nt , де N –
кількість коливань.
6. Заміряти відстань l між призмами та занести результат до таблиці 7.2.
Таблиця 7.2 – Результати вимірювань
40