MI_T2TerekhovSV
.pdf
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 13
3 |
3 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫x2 dx ; |
∫x dx . |
1 |
1 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла ∫2 (x2 − 2x )dx .
0
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
||||||||||
ния f (x) = 5x ; |
x [0; |
2]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
1 |
dx |
|
e |
ln x dx |
|
9 |
|
|
|
а) ∫(1 + x −3x |
2 )dx ; |
б) ∫ |
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
x dx . |
|||
|
|
6 |
|||||||||
|
−2 |
|
− |
1 |
8 + 2x − x |
2 |
1 |
x |
1 |
2x + 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
||||||||||
полнить чертёж. |
|
|
б) x = 3(t −sin t ) |
|
|
|
|
|
|||
|
а) y = x ; y = 0 ; x = 2 ; |
; y = 3 ; x [0; 3 ]; |
|
|
|||||||
|
в) ρ = 4 cosϕ ; |
ρ = 2 cosϕ . |
y = 3(1 −cost ) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = 3x ; y = 32x ; x =1; |
б) |
x2 |
− |
y2 |
=1; |
y = ±1 . |
4 |
|
|||||
|
|
16 |
|
|
||
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 4 (1 − sin ϕ );
ϕ 0; π2 .
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
x = 3t |
(3 |
−t 2 ) |
(Oy ). |
ным точкам на линии |
2 |
|
|
|
|
|
|
y = 9t |
|
|
|
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
3
∞ |
∞ |
2 |
|
|
7 |
dx |
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
а) ∫ x dx ; |
б) ∫ |
x |
dx |
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
|
|
. |
||||
2 |
|
|
|
2 |
−3x + 2 |
|||||||||
0 |
3 |
x |
− 4 |
0 x −7 |
|
|
0 x |
|
|
|||||
180
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 14
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫3 |
(x2 +1 )dx ; |
∫3 x dx . |
2 |
|
2 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
1
чение интеграла ∫e3+x dx .
0
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = cos x ; |
|
π |
; |
π |
|
|
|
|
|||||
x |
6 |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
4. Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
||||||||||
5 |
|
dx |
|
|
5 |
|
|
|
dx |
|
1 |
3 |
x dx . |
а) ∫ |
|
|
; |
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫x 9 x dx ; |
г) ∫ |
||||
|
2 |
25 |
|
2 |
+ 2x +10 |
||||||||
0 x |
+ |
|
2 x |
|
|
0 |
2 |
4x +3 |
|||||
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y = e x ; y = e3x ; x = 2 ; |
б) x = 4 − y 2 ; x = y 2 − 2 y ; в) ρ = 6 cosϕ ; ρ = 2 cosϕ . |
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = −x2 + 2 ; y = 0 ; |
б) x = 3(t −sin t ) |
; |
y = 0 ; x [0; π ]. |
|
y = 3(1 −cost ) |
|
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y = ln (x 2 +1 ); x [2; 3 ].
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии y 2 = 9x ; от A(0; 0 ) до B(4; 6 ); (Ox ).
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
0 |
∞ |
x dx |
|
1 |
dx |
|
9 |
|
|
а) ∫(x2 − x −7 )dx ; |
б) ∫ |
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
x dx . |
|||
3 |
x |
||||||||
−∞ |
0 |
x +8 |
0 |
|
4 |
x −3 |
|||
181
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 15
2 |
2 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫x dx ; |
∫x sin x dx . |
1 |
1 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
1
чение интеграла ∫ 2 x 2 dx .
−1
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = sin (2x ); |
|
π |
; |
π |
|
x |
4 |
2 |
. |
||
|
|
|
|
||
4. Вычислить указанные интегралы:
6 |
|
6 |
|
3 |
|
|
dx |
|
1 |
4 |
x dx |
|
а) ∫ x − |
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
; |
в) ∫x 11x dx ; |
г) ∫ |
|
. |
|
x |
2x |
2 |
+8x −3 |
x +9 |
||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
0 |
0 |
|
||||
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y = 3x ; y = 32x ; x =1; |
б) y = (x +1)2 ; x = y −1 ; |
в) ρ = 2 sin ϕ ; ρ = 2 cosϕ . |
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = x ; y = 4x ; x = 3 ; |
б) |
x2 |
− |
y2 |
=1; |
y = ± 3 . |
9 |
|
|||||
|
|
16 |
|
|
||
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии |
x = 3t (3 − t 2 ) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
y = 9 t |
|
(петля).
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или данным точкам на линии x2 + ( y − 2 )2 = 36 ; от A(2 6; 1 )до B(4; 6 ); (Oy ).
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
(1 − 2x2 |
)dx ; |
∞ |
dx |
|
|
2 |
dx |
|
4 |
x −3 dx . |
|
а) ∫ |
б) ∫ |
|
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
||||||
8 |
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
2 |
x ln |
x |
−2 x −1 |
|
1 |
x − 2 |
|||
182
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 16
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫1 (2x2 +1)dx; ∫1 (2x+1)dx.
0 |
0 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла ∫1 (5 x2 −1 )dx .
−1
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = cos (3x ); |
|
π |
; |
π |
|
x |
6 |
2 |
. |
||
|
|
|
|
||
4. Вычислить указанные интегралы:
|
|
7 |
|
|
π |
|
|
1 |
2 |
|
; |
2 |
3 |
x +1 dx . |
|
а) ∫(x2 +1 )dx ; |
б) ∫ |
dx |
в) ∫x sin (2x )dx ; |
г) ∫ |
|||
−1 |
2 |
5 + 4x − x2 |
|
0 |
0 |
x +1 + 2 |
|
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y = cos x ; y = 0 ; x [0; π]; б) y = x 2 x ; y = 2x2 ; x =1;
в) ρ =1 −cosϕ ; ρ =1 (вне окружности).
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = −x2 + 2 ; y = 0 ; |
б) x =16 cos t |
; |
y ≥2 . |
|
y = 4 sin t |
|
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии
|
1 − x2 + arccos x ; |
|
|
8 |
|
|
y = |
x |
0; |
|
. |
||
9 |
||||||
|
|
|
|
|
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии |
|
2 |
|
|
|
(петля); (Ox ). |
x =t |
|
|
2 |
) |
||
|
|
|
−t |
|
||
|
y = t (1 |
|
|
|||
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
1
∞ |
∞ |
x |
2 |
dx |
|
1 |
dx |
|
|
|
2 |
|
dx |
|
|
а) ∫x dx ; |
б) ∫ |
|
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
|
. |
|||||||
|
|
3 |
2 x −1 |
4 |
|
||||||||||
−∞ |
0 |
(1 + x ) |
0 |
|
|
0 x ln |
x |
||||||||
183
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 17
|
2 |
x2 dx ; |
2 |
x |
|
||
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше |
∫ |
∫ |
|||||
|
3 |
|
|||||
1 |
1 |
x sin |
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|||
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
1
чение интеграла ∫ 3x 2 dx .
−1
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = sin (2x ); |
|
π |
; |
π |
|
x |
4 |
2 |
. |
||
|
|
|
|
||
4. Вычислить указанные интегралы:
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
3 |
8 |
|
π |
2 |
4 |
x |
dx. |
|
а) ∫(x2 − 2x +5 )dx ; |
б) ∫sin 2x + |
4 |
dx; |
в) ∫xcos(2x )dx; |
г) ∫ |
x +9 |
||
1 |
0 |
|
|
0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y = x2 ; y 2 = 4 − x2 ; |
б) |
|
|
3 |
t ; |
x ≥1 ; |
x = 8 cos |
|
|||||
|
|
|
3 |
t |
|
|
|
|
y = 8sin |
|
|
|
|
в) ρ =1 − cosϕ ; ρ =1 (вне кардиоиды).
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
|
а) y = cos x ; y = 0 ; x = −π ; x = 0 ; б) x = 4 − y 2 ; y = 0 ; y =1; x = 0 . |
|
|
|
|
7. |
Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу |
||||
|
|
= 16 t |
2 |
|
|
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии x |
|
|
|
||
|
|
= 4t (4 −t |
2 |
) |
|
|
y |
|
|||
(петля). |
|
|
|
|
|
8. |
Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её |
||||
части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии x2 + y 2 = 25 ; |
от A(−3; 4 ) до B(4; 3 ); |
(Ox ). |
|
|
||||||
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы: |
|
|
||||||||
∞ |
∞ |
dx |
|
|
8 |
dx |
|
2 |
dx |
|
а) ∫(x +5 )dx ; |
б) ∫ |
|
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
. |
|||
−∞ |
−∞ x2 + 4x +8 |
0 x −7 |
1 |
x ln3 x |
||||||
184
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 18
1 |
1 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫(x +2 )dx; ∫(x −2)dx. |
|
0 |
0 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
1
чение интеграла ∫ 6 x dx .
0
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
|||||
ния f (x) = cos (3x ); |
x [0; π |
]. |
|
|
|
|
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
|
||
|
|
π |
|
|
|
|
|
2 |
б) ∫4 |
tg 32x dx ; |
1 |
4 |
|
|
а) ∫(x3 +1)dx ; |
в) ∫arccos x dx ; |
г) ∫ |
dx . |
||
|
−1 |
0 |
cos x |
0 |
1 |
x +8 |
|
|
|
||||
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) xy = 3 ; y = 0 ; x [1; 3]; б) y = x2 ; y = 0 ; x =1;
в) ρ = 2 (1 + cosϕ ); ρ = 2 (вне окружности).
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = sin x ; y = 0 ; x = |
π |
; |
б) x =9 cos t |
; |
y ≥2 . |
|
2 |
|
y = 4 sin t |
|
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии ρ = 1 − sin ϕ ;
ϕ − π2 ; 0 .
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии x2 = 9 y ; от A(0; 0 ) до B(6; 4 ); (Oy ).
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
(2x −1 )dx ; |
∞ |
dx |
|
6 |
dx |
|
9 |
x |
|
||
а) ∫ |
б) ∫ |
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
dx . |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
−∞ |
8 + 4x + x2 |
|
0 x −1 |
|
1 |
x −3 |
|
|||
185
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 19
4 |
4 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫e x dx ; |
∫e5x dx . |
2 |
2 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла ∫1 (3x2 −6x )dx .
−1
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = sin (2x ); |
|
0; |
π |
|
x |
4 |
. |
||
|
|
|
|
|
4.Вычислить указанные интегралы:
π1
3 |
|
8 |
|
dx |
|
1 |
9 |
dx . |
а) ∫tg x dx ; |
б) ∫ |
; |
в) ∫arcsin x dx ; |
г) ∫ |
||||
0 |
0 |
|
1 −16x2 |
|
0 |
4 |
x −1 |
|
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y 2 =1 + x ; x = 0 ; б) y = 4 − x2 ; y = x2 − 2x ;
в) ρ =1 + cosϕ ; ρ =1 (вне окружности).
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) |
y = tg x ; y = 0 ; x = |
π |
; |
б) x =3cos t |
; |
y ≥1. |
|
|
4 |
|
y = 2 sin t |
|
|
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y =lnx; x |
3 |
; |
|
12 |
. |
|
|
||||
|
4 |
5 |
|
||
|
|
||||
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
x = 2t |
(3 |
−t 2 ) |
(петля); |
(Oy ). |
ным точкам на линии |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
y = 6 t |
|
|
|
|
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
∞ |
(3x +1 )dx ; |
∞ |
(x +1 )dx |
|
2 |
dx |
|
4 |
dx |
|
|
|
а) ∫ |
б) ∫ |
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
|
. |
|||||
2 |
|
|
2 |
|
||||||||
0 |
|
−∞ x + 2x + 7 |
−2 x +1 |
|
1 |
x ln |
x |
|||||
186
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 20
1 |
1 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫(x +1)dx; |
∫(x2 −1)dx . |
0 |
0 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла ∫1 (4x2 −1 )dx .
−1
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
||||||||
ния f (x) = cos x ; |
x [0; |
π]. |
|
|
|
|
|
||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
dx |
|
|
e |
9 |
dx . |
|
а) ∫sin x dx ; |
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫ln2 x dx ; |
г) ∫ |
||
|
|
− 2x − x |
2 |
||||||
|
0 |
0 3 |
|
|
1 |
4 |
4 x +1 |
||
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y 2 = x ; y 2 = 2x ; |
x =1; |
|
|
3 |
t ; |
б) x = 8 cos |
|
||||
|
|
|
3 |
t |
|
в) ρ = 4 (1 + cosϕ ); |
|
y = 8sin |
|
|
|
ρ = 4 (вне окружности). |
|
|
|
||
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = x ; y = 4x ; x = 2 ; б) xy = 6 ; y =1; y = 6 ; x = 0 .
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии x = t − sin t |
; |
y = 1 − cos t |
|
y = 0 ; t [0; 2π ]. |
|
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии |
y 2 = 4x ; |
от A(0; 0 ) до B(3; 2 |
3 ); (Ox ). |
|
|
|||||||
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы: |
||||||||||||
∞ dx |
∞ |
(e2x −1)dx |
|
2 |
dx |
2 |
x |
|||||
а) ∫ |
|
; |
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫ |
|
; |
г) ∫0 |
|
dx . |
x +3 |
e x |
|
2x −1 |
x2 + x −6 |
||||||||
0 |
|
|
−∞ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
187
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 21
|
2 |
x2 dx ; |
2 |
x |
|
||
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше |
∫ |
∫ |
|||||
|
2 |
|
|||||
1 |
1 |
x sin |
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|||
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла ∫1 (3x2 + 2)dx .
−1
3. |
Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова- |
||||||||
ния f (x) = 2 x ; |
x [0; 2]. |
|
|
|
|
||||
4. |
Вычислить указанные интегралы: |
|
|
||||||
|
1 |
dx |
|
|
5 |
dx |
|
1 |
4 |
|
а) ∫ |
|
; |
б) ∫ |
; |
в) ∫(x +1) 3x dx ; |
г) ∫ 16 − x2 dx . |
||
|
2x + |
5 |
x2 + 2x +9 |
||||||
|
0 |
|
2 |
|
0 |
0 |
|||
5. |
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы- |
||||
полнить чертёж. |
|
|
|
π . |
|
|
а) y = x2 ; y = 2x2 ; x =1; |
б) xy = 6 ; y =1; y = 6 ; x = 0 ; в) ρ = 2 tg ϕ ; ϕ = |
|||
|
|
|
|
|
3 |
6. |
Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси |
||||
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж. |
|
|
|
||
|
а) y = 3sin x ; x [0; π]; |
б) x = 2 y ; y = 4 ; x = 0 . |
|
|
|
7. |
Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу |
||||
|
|
x = t 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y = |
t |
(t 2 |
− 3 ) |
||
(петля). |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её |
||||
части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
ным точкам на линии x2 + y 2 = 4 ; от A(2; 0 ) до B( |
3; 1 ); (Oy ). |
|
|
|||||
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы: |
|
|||||||
∞ |
∞ |
0 |
dx |
|
1 |
dx |
|
|
а) ∫(x 3 x +1 )dx ; |
б) ∫ x e−x dx ; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
. |
|||
|
|
|||||||
0 |
1 |
−4 x + 4 |
0 |
x2 − 4x +3 |
|
|||
188
Терехов С.В. Математический инструментарий для студентов-физиков.
Задания для самостоятельного решения
VIII. Определённый и несобственный интегралы
Вариант 22
−1 |
−1 |
1. Не вычисляя интегралов, указать, какой из них больше ∫2 x dx ; |
∫23x dx . |
−2 |
−2 |
2.Оценить интеграл, т.е. указать два числа, между которыми заключено зна-
чение интеграла ∫1 (4x2 +5 )dx .
−1
3. Найти среднее интегральное значение функции на интервале интегрирова-
ния f (x) = sin (3x ); |
|
0; |
π |
|
x |
2 |
. |
||
|
|
|
|
|
4. Вычислить указанные интегралы:
2 |
|
|
|
ln 2 e |
x |
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
1 |
2 |
dx |
|
dx |
|
||||||
а) ∫ 2x + |
|
dx ; |
б) ∫ |
|
|
|
; |
в) ∫(3x − 2) e x dx ; |
г) ∫ |
|
. |
|
x |
e |
x |
+1 |
5x +9 |
||||||||
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
2 |
|
||||
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Вы-
полнить чертёж.
а) y = 5 − x2 ; y = 0 ; x = 0 ; б) xy = 2 ; y =1; y = 2 ; x = 0 ;
в) ρ =1 + cosϕ ; ρ =1 (вне окружности).
6. Найти объём тела, полученного вращением указанных линий: а) вокруг оси
Ox ; б) вокруг оси Oy . Выполнить чертёж.
а) y = 3cos x ; y = 0 ; x = 0 ; |
б) x =2 cos t . |
|
y = 3sin t |
7. Найти длину линии или её части, соответствующей указанному интервалу изменения аргумента или указанным точкам на данной линии y = ln (sin x);
x π3 ; 23π .
8. Найти площадь поверхности, полученной вращением данной линии или её части, соответствующей данному интервалу изменения аргумента или дан-
|
2 |
|
|
|
(петля); (Ox ). |
ным точкам на линии x = 6t |
|
|
2 |
) |
|
|
|
−t |
|
||
y = 2 t (3 |
|
|
|||
9. Исследовать на сходимость указанные несобственные интегралы:
0 |
∞ |
|
|
dx |
|
|
0 |
dx |
|
2 |
dx |
|
|
а) ∫e x dx ; |
б) ∫ |
|
|
; |
в) ∫ |
; |
г) ∫ |
|
. |
||||
x |
2 |
(x +1) |
|
3 |
|
||||||||
−∞ |
1 |
|
|
−2 x + 2 |
|
1 |
x ln |
x |
|||||
189