Аналитические методы расчета ферм

Для расчета простых ферм применяются различные методы. Рассмотрим их на конкретном примере (рис.1).

Метод вырезания узлов.

Вырежем узел 4 (рис. 1) и рассмотрим его равновесие (рис 2):

Σy = s₄₃cos45^o + 2F = 0, откуда s₄₃ = –2F/cos45^o,

знак (–) показывает, что стержень 3–4 сжат, следовательно, на рис. 2 необходимо изменить направление усилия s₄₃. Затем составляем

Σx = –s₄₂ + s₄₃cos45^o = 0, тогда s₄₂ = s₄₃cos45^o = 2F.

В дальнейшем следует применить следующий порядок вырезания узлов: узел 3, узелА, узел 1.

Если в узле сходятся три стержня, из которых два направлены одинаково и нет нагрузки, то усилие в отдельно направленном стержне равно нулю (рис. 3).

При вырезании узлов необходимо, чтобы число неизвестных усилий в нем не превышало двух.

Метод моментных точек

Проведем сечение I–Iи отбросим левую часть фермы (рис. 1). Для оставшейся части точка 3 будет моментной:

ΣM₃ = V_b a – s₄₂ a = 0, тогда s₄₂ = V_b = 2F.

Метод полного сечения (способ проекций)

Рассмотрим сечение I–I. Отбросим левую часть, а для оставшейся части составим условие:

Σy = –s₃₂sin45^o – F + V_b = 0, откуда s₃₂ = (–F + V_b)/sin45^o = F/sin45^o.

Метод двух или нескольких сечений

Делается два или несколько сечений, составляются уравнения статики и совместно решаются.

Метод замкнутых сечений

Делается замкнутый разрез, который пересекает некоторые стер-жни два раза. Усилия дважды пересеченных стержней в уравнения статики не войдут (рис. 4). Например, для замкнутого сечения, показанного на рис. 4, имеем:

ΣM_А = s₃b + V_ba = 0,

тогда s₃ = V_ba/b.

Метод замены стержней

Путем замены стержней ферма превращается в простую, которая кладется в основу расчета. Например, на ферме, показанной на рис. 5,а, убираем стержень 1–2, а его влияние заменяем фиктивной внешней силойХи ставим дополнительный стержень, усилие в котором обозначим черезN₃. УсилиеХ(рис. 5,б) определяется из условия, чтоN₃= 0. ПоложимХ= 1 и находим, а усилие в фиктивном стержне только от внешней нагрузки обозначим черезВ этом случае запишем:

тогда после чего определяем усилия в остальных стержнях.

Л е к ц и я 5

Построение линий влияния усилий в стержнях ферм

Линия влияния усилия в стержне фермы представляет собой график изменения усилия в рассматриваемом стержне, когда грузР= 1 медленно движется по нижнему или верхнему поясу фермы без толчков и ускорений. Тот пояс фермы, по которому движется единичный груз называетсягрузовым поясом.

Рассмотрим ферму, показанную на рис. 1. Для построения линии влияния опорной реакции R_bнеобходимо взять

ΣM₁=R_bl–Px= 0, тогдаR_b = x/l.

Аналогично запишем

ΣM₁₂=R_al–P(l – x) = 0, откуда

R_a =(l – x)/l.

Для построения линии влияния усилия s₇₅в стержне 5–7 проведем разрезI–I. Предположим, что груз справа от сечения. В этом случае рассмотрим левую часть фермы:

ΣM₆ = R_a3d + s₇₅r = 0, поэтому

s₇₅ = –R_a3d/r,

то есть линия влияния s₇₅ для правой части есть линия влиянияR_a, умноженная на 3d/rи взятая со знаком (–). Предполагая, что грузР= 1 слева от сеченияI–Iи рассматривая равновесие правой части фермы, находим

ΣM₆ = R_b3d + s₇₅r = 0, откуда

s₇₅ = –R_b3d/r.

Сечение I–Iможно использовать для построения линии влияния усилияs₅₆. Если единичный груз справа от сечения, то из рассмотрения левой части фермы определяем:ΣM₁=s₅₆c= 0 иs₅₆= 0.

Если груз Р= 1 слева от сечения, то рассматривая правую часть, получаем

ΣM₁ = R_bl + s₅₆c = 0, тогда s₅₆ = –R_bl/c.

Для построения линии влияния усилия s₇₆ в стержне 6–7 вырежем узел 7 (рис. 1) и рассмотрим его равновесие (рис. 2) при условии, что грузовой пояс – нижний:

Σx = s₇₅cosα – s₇₉cosα = 0,

поэтому s₇₅ = s₇₉;

Σy = –s₇₆ + (s₇₅ + s₇₉)sinα = 0,

откуда s₇₆= 2s₇₅sinα, то есть ли-ния влияния усилияs₇₆ есть ли-ния влияния усилия s₇₅, умноженная на 2sinαи взятая со знаком (+), т.к. в стержне 6–7 – растяжение.

Построим несколько линий влияний усилий в стержнях фермы с параллельными поясами, показанной на рис. 3.

Линия влияния усилия s₄₆.

Пусть грузовым является верхний пояс. Проведем сечение I–I. Груз – справа, рассмотрим левую часть:

ΣM₅ = R_a12 + s₄₆4 = 0,

тогда s₄₆ = –3R_a.

Груз – слева, рассмотрим правую часть фермы:

ΣM₅ = R_b24 + s₄₆4 = 0,

тогда s₄₆ = –6R_b.

Аналогично строится линия влияния усилия s₄₆ при нижнем грузовом поясе, только в левую часть фермы входит участок от узла 0 до узла 5, а в правую часть – от узла 13 до узла 7.

Линия влияния усилия s₄₅. Грузовой пояс – верхний. Проведем сечениеII–II. Груз – справа, рассмотрим левую часть:

Σy = R_a – s₄₅cosα = 0, тогда s₄₅ = R_a /cosα = 5R_a /4.

Груз слева, рассмотрим правую часть:

Σy = R_b + s₄₅cosα = 0, поэтому s₄₅ = –R_b /cosα = –5R_b /4.

При езде по нижнему поясу передаточная прямая будет в пределах участка 3–5.

Л е к ц и я 6