Определение перемещений в статически неопределимых системах

При выводе формулы перемещений (7) лекции 9 рассматривались любые упругие стержневые системы, деформации которых малы по сравнению с размерами их поперечных сечений, а материал конструкции удовлетворяет закону Гука. Таким образом, для определения перемещений произвольной точки стержневой статически неопределимой системы необходимо построить эпюру изгибающих моментов от действия внешних нагрузок или иных факторов (М_FилиМ_t), например, при помощи метода сил.

Затем в точке, где определяется перемещение, приложить единичную силу в направлении искомого перемещения. Единичная сила прикладывается в основной статически определимой системе и строится эпюра моментов от этой единичной силы . После перемножения эпюр

найдем искомое перемещение Δ_iF.

Тот же ответ получим, если за эпюру моментоввзять эпюру изгибающих моментов от единичной силы, приложенной в соответствующей точке заданной статически неопределимой стержневой системе. Но для построения эпюры моментов от единичной силы в этом случае потребуются более сложные вычисления, чем в первом случае.

Л е к ц и я 14

Статически неопределимые арки

В строительной практике встречаются арки трех основных типов: трехшарнирные, двухшарнирныеибесшарнирные, причем трехшарнирные арки являются статически определимыми системами, а остальные – статически неопределимыми.

Классификация арок осуществляется также по очертанию оси: круговые, параболические, эллиптические и т.д.

Основными характеристиками арки являются ее пролет lи стрела подъемаf (рис. 1 лекции 7). Вопрос о преимуществах и целесообразности применения той или иной конструктивной формы арки на практике решается исходя из конкретных условий работы и эксплуатации сооружения.

Двухшарнирные арки

Двухшарнирная арка состоит из криволинейного диска, соединенного двумя шарнирно-неподвижными опорами с землей (рис. 1, а). Она является один раз статически неопределимой системой.

В двухшарнирных арках толщина обычно убывает от середины пролета к опорам, что увязывается с видом эпюры моментов. Для двухшарнирной арки обычно пользуются уравнением в форме

I = I_ocosφ,

где I_o– момент инерции взамке (вершина арки),φ – угол, образуемый касательной к оси арки с горизонталью.

Расчет двухшарнирной арки проводится по методу сил. Заданная и основная система показаны на рис. 1, а, б. Для отыскания распораХ₁составим каноническое уравнение, выражающее условие равенства нулю горизонтального перемещения подвижной опоры (рис. 1,б):

(1)

где Δ_1F – горизонтальное перемещение левой опоры от действия внешней нагрузки в основной системе. Из уравнения (1) определяем

(2)

где

(3)

(4)

Для двухшарнирной арки имеем (рис. 1, в)

(5)

В этом случае из формул (3) и (4) находим

(6)

(7)

Вычислив δ₁₁, Δ_1Fпо формуле (2) находим величину распораХ₁. Если на арку действует только вертикальная нагрузка, тоX₁=H_A=H_B=H.

Внутренние усилия определяются по формулам

(8)

Принимая во внимание формулы (5) и, выражая внутренние усилия в арке основной системы через усилия в простой балке (рис. 1, г)

(9)

формулы (8) можно представить в виде

(10)

Если арка представляет собой кривой брус малой кривизны, то есть при R/h> 8, гдеh– наибольшая высота сечения, то в формулах (6), (7) можно пренебречь последними слагаемыми, учитывающими влияние поперечных сил.

Для пологих арок, для которых f / l< 1/6, имеемN_F = –Q^osinφ. Здесь sinφмного меньше единицы, поэтому можно пренебречь влияниемN_Fв формуле (7) и проводить вычисления по упрощенной формуле

(11)

Пренебрегать же влиянием продольной силыпри нахождении горизонтального перемещенияδ₁₁не всегда возможно.

Поскольку арка во многих случаях представляет собой основную часть дорогого и очень ответственного сооружения, то не следует игнорировать без анализа влиянием отдельных внутренних сил при определении перемещений.