METOD
.pdf
б) Выборка по возрасту учащихся посещающих театральный кружок в школе:
аi |
9 |
10 |
12 |
14 |
16 |
17 |
pi |
2 |
3 |
5 |
4 |
1 |
1 |
в) Исследовалась скорость бега одного спортсмена на 100 метров в течении года, получили выборку:
аi |
11,2 |
11,3 |
11,4 |
11,5 |
11,6 |
11,7 |
11,9 |
аi pi = wi |
11,2 |
22,6 |
34,2 |
46 |
23,2 |
11,7 |
11,9 |
г) В течении рабочего дня выборочно были сняты показания амперметра с одного станка получились следующие результаты:
аi |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,6 |
аi pi = wi |
12 |
12 |
12 |
12 |
д) За девять учебных четвертей у учащегося наблюдался следующие коэффициенты прироста скорости чтения: 1,2; 1,1; 1,3; 1,2; 1,4; 1,1; 1,2; 1,2; 1,4.
е) Коэффициент успевающих учеников класса за 10 недель имел следующие значения:
аi |
0,75 |
0,95 |
1 |
1,1 |
1,2 |
1,25 |
pi |
1 |
2 |
4 |
1 |
1 |
1 |
ж) При измерении площадей квадратных садовых участков, получена выборка из длин сторон участков: 2; 1; 3; 3; 4; 5; 2; 1.
Решение.
а) Что известно об эмпирических данных? Во-первых, они заданы неупорядоченной выборкой.
Во-вторых, данные представлены значением признака, а не произведением вариант на частоту, то есть гармоническая средняя в данном случае не подходит.
В-третьих, возраст учащихся не является квадратной величиной, поэтому квадратическая средняя также не носит информационного значения.
В-четвертых, по условию прослеживается, что выборка производилась для установления среднего возраста студентов, а не выявления тенденции увеличения (уменьшения) возрастной категории со временем. Следовательно, не имеет смысла находить среднюю геометрическую.
Итак, более уместно в данных условиях находить среднюю арифметическую, причем, так как эмпирические данные заданы выборкой, то в этом случае проще находить простую среднюю арифметическую величину.
Воспользуемся формулой для нахождения простой средней арифметической величины (n = 16):
|
|
= |
1 |
∑n xi |
= |
|
1 |
(12+ 13+ 10+ 18+ 10+ 15+ 11+ 14+ 19+ 13+ 12+ 15+ +13+ 10+ |
||
|
ха |
|||||||||
|
|
|
n i=1 |
16 |
|
|||||
+16+ 14) = |
|
1 |
• 215 ≈ 13. |
|||||||
16 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: средний возраст учащихся в кружке 13.
б) Проведя аналогичные рассуждения пункту а), с учетом, что эмпирические данные заданы таблицей абсолютных частот, приходим к выводу, что наиболее характеризующей средней при этих условиях будет средняя арифметическая взвешенная. Воспользуемся формулой:
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ а р |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
i =1 |
i i |
= |
9 2 |
10 3 12 5 14 4 16 1 |
17 1 |
= |
197 |
=12. |
|
хар |
|||||||||||
m |
|
|
2 + 3 + 5 + 4 + 1+ 1 |
|
|
||||||
|
|
p |
|
|
16 |
|
|||||
|
|
∑ |
|
|
|
||||||
|
|
i =1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: средний возраст учащихся в кружке 12. в) Что известно об эмпирических данных?
Во-первых, данные представлены произведением вариант на частоту, то есть в данном случае есть смысл искать среднюю гармоническую.
Во-вторых, произведения wi не одинаковые и не равны единице, значит, используем взвешенную среднюю гармоническую.
Итак, по формуле средней гармонической взвешенной:
|
|
|
m |
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
grр |
= |
i =1 |
i |
|
= |
11,2 |
22,6 |
34,2 |
46 |
23,2 |
11,7 |
11,9 |
|
= |
161 |
≈11,5. |
||||||||||||
х |
|||||||||||||||||||||||||||||
m |
wi |
|
11,2 + 22,6 + 34,2 + 46 |
+ 23,2 + 11,7 |
+ 11,9 |
|
|
14 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11,2 |
|
11,3 |
|
11,4 |
|
11,5 |
11,6 |
11,7 |
11,9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
i =1 ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: средний результат спортсмена за год 11,5
г) Что известно об эмпирических данных?
Во-первых, данные представлены произведением вариант на частоту, то есть в данном случае есть смысл искать среднюю гармоническую.
Во-вторых, произведения wi одинаковые, значит, используем простую среднюю гармоническую:
|
|
gr = |
m |
|
|
= |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
= |
|
4 |
=0,32. |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
m |
1 |
|
|
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
12,5 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,6 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
i =1ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: средний показатель амперметра 0,32. |
|
|
|
|||||||||||||||
д) В условии речь идет об определении коэффициента среднего темпа роста, поэтому, воспользуемся средней геометрической. Так как данные представлены выборкой, то используем простую среднюю геометрическую:
|
gm = n x1 x2 ...xn = n Пn |
xi = 9 1,2 1,1 1,3 1,2 1,4 1,1 1,2 1,2 1,4 = 9 7,67 ≈ 1,25. |
х |
||
|
i=1 |
|
Ответ: средний прирост скорости чтения ученика 1,25.
е) В условии речь идет об определении коэффициента среднего темпа роста, поэтому, воспользуемся средней геометрической. Так как данные представлены частотным рядом, то используем взвешенную среднюю геометрическую:
|
|
m |
m |
|
|
|
|
∑ pi |
|
|
|
|
|
∑ pi |
m |
|
|
|
gmp = |
i=1 |
a1p1 a2p2 ...ampm = i=1 |
Пaipi |
= |
х |
|||||
|
|
|
|
i=1 |
|
=1+2+4+1+1+1 0,751 0,952 14 1,11 1,21 1,251 =
=10 0,75 0,9 1 1,1 1,2 1,25 = 10 1,11 ≈ 1,01.
Ответ: средний коэффициент прироста успевающих учеников 1,01. ж) В данном случае можно воспользоваться простой средней арифметической, а также простой средней квадратической. Но так как выборка осуществлялась с целью измерения площадей, то воспользуемся второй
величиной:
|
|
|
x |
2 |
+ x |
2 |
+... + x |
2 |
∑n |
xi2 |
|
2 |
2 |
2 |
+3 |
2 |
+3 |
2 |
+ |
4 |
2 |
+5 |
2 |
+ 2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
n = |
i=1 |
|
= |
|
+1 |
|
|
|
|
|
+1 |
||||||||||
|
|
kv = |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
||||
|
х |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
≈2,9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: средняя сторона участка 2,9.
Задача. По таблице найти моду и медиану:
|
аi |
11,2 |
11,3 |
11,4 |
11,5 |
|
11,6 |
11,7 |
11,9 |
|
Решение |
аi pi = wi |
11,2 |
22,6 |
34,2 |
46 |
|
23,2 |
11,7 |
11,9 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти моду необходимо знать |
частоты pi |
вариант аi. Найдем |
||||||||
wi
частоты pi = ai , результаты представим в таблице абсолютных частот:
аi |
11,2 |
11,3 |
11,4 |
11,5 |
11,6 |
11,7 |
11,9 |
pi |
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
1 |
Наиболее часто встречающееся значение 11,5. Итак, Mo = 11,5.
Чтобы найти медиану необходимо построить по имеющимся данным ранжированный вариационный ряд. Представим варианты из таблицы в порядке возрастания с учетом их частоты:
11,2; 11,3; 11,3; 11,4; 11,4; 11,4; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5; 11,6; 11,6; 11,7; 11,9.
Всего в ряду 14 значений, серединой являются седьмое слева и седьмое справа значения: 11,5 и 11,5. Их среднее арифметическое и будет медианой, т.
е. Me = |
11,5 11,5 |
= 11,5. |
|
2 |
|
Ответ: мода 11,5, медиана 11,5.
III тип. Показатели вариации.
ц)Коэффициент вариации Vσ = xσa 100 = 23 100 = 66% .
Примечание. В данной выборке несколько значений повторяются, поэтому удобно находить взвешенные абсолютные показатели вариации. Причем для рационального оформления решения и уменьшения расчетов можно воспользоваться таблицей, но прежде нужно найти взвешенную среднюю
арифметическую. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
∑ |
|
а р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
i = 1 |
i i |
0 1+ 1 |
2 + 2 2 + 4 3 + 6 2 + 7 1 |
|
2 + |
4 + 12 + |
12 + |
7 |
= |
37 |
≈ 3 |
||||||||||||||||||||||||||||
aар = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ 2 + 2 + 3 + 2 + 1 |
|
|
|
|
11 |
|
|
11 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
i = 1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аi |
|
0 |
1 |
|
2 |
|
4 |
6 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
|
1 |
2 |
|
2 |
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai − |
|
|
ap |
|
|
3 |
2 |
1 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
ai − |
|
|
ap )2 |
|
9 |
4 |
1 |
1 |
9 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Взвешенное среднее линейное отклонение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
ai − |
|
ap |
|
pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 1+ 2 2 + 1 2 + 1 3 |
+ 3 2 + 4 1 = |
22 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
p |
|
|
|
|
|
= 2 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Взвешенная дисперсия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
∑m (ai − |
|
ap )2 pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
a |
+ 4 2 + 1 2 + 1 3 + 9 2 + 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Dp = |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 9 |
= |
56 |
≈ 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∑pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
i=1
Задачи для самостоятельного решения
I тип.
Задача 157*. В ВУЗе среди 1000 человек дневного отделения нужно выяснить средний вес студента.
Получена выборка: 68, 63, 50, 72, 63, 59, 68, 57, 62, 69, 68, 63,75, 80, 75.
а) Из условия задачи указать: генеральную совокупность, признак, выборку, случайную величину, эмпирический ряд.
б) Найти объемы генеральной совокупности и выборки.
в) Определить вид случайной величины: дискретная или непрерывная. Задача 158*. За день обувной магазин обслуживает 120 человек. Нужно выяснить средний размер покупаемой обуви.
Получена выборка: 39, 42, 45, 43, 35, 37, 42, 39, 38, 42 .
а) Из условия задачи указать: генеральную совокупность, признак, выборку, случайную величину, эмпирический ряд.
б) Найти объемы генеральной совокупности и выборки.
в) Определить вид случайной величины: дискретная или непрерывная. Задача 159*. Ежедневно магазин одежды посещают 200 человек. Нужно выяснить средний размер одежды.
Получена выборка: 56, 54, 42, 48, 52, 48, 54, 52, 58, 54, 50, 52.
а) Из условия задачи указать: генеральную совокупность, признак, выборку, случайную величину, эмпирический ряд.
б) Найти объемы генеральной совокупности и выборки.
в) Определить вид случайной величины: дискретная или непрерывная. Задача 160*. Социологи опросили 1000 человек по поводу их зарплаты, чтобы выяснить ее средний размер.
Получена выборка: 5000, 8000, 11000, 5000, 3000, 6000, 4000, 6000, 6000, 7000.
а) Из условия задачи указать: генеральную совокупность, признак, выборку, случайную величину, эмпирический ряд.
б) Найти объемы генеральной совокупности и выборки.
в) Определить вид случайной величины: дискретная или непрерывная.
Задача 161*. Построить ранжированный, дискретный и интервальный вариационные ряды для выборок:
а) 68, 63, 50, 72, 63, 59, 68, 57, 62, 69, 68, 63,75, 80, 75. б) 39, 42, 45, 43, 35, 37, 42, 39, 38, 42.
в) 56, 54, 42, 48, 52, 48, 54, 52, 58, 54, 50, 52.
г) 5000, 8000, 11000, 5000, 3000, 6000, 4000, 6000, 6000, 7000.
Задача 162**. Построить табличный закон распределения абсолютных, относительных и накопленных частот, а также интервальный закон распределения для эмпирических рядов:
а) 68, 63, 50, 72, 63, 59, 68, 57, 62, 69, 68, 63,75, 80, 75. б) 39, 42, 45, 43, 35, 37, 42, 39, 38, 42.
в) 56, 54, 42, 48, 52, 48, 54, 52, 58, 54, 50, 52.
г) 5000, 8000, 11000, 5000, 3000, 6000, 4000, 6000, 6000, 7000.
Задача 163**. Построить полигоны абсолютных, относительных и накопленных частот, а также гистограмму для эмпирических данных, представленных в виде ранжированных вариационных рядов:
а) 68, 63, 50, 72, 63, 59, 68, 57, 62, 69, 68, 63,75, 80, 75. б) 39, 42, 45, 43, 35, 37, 42, 39, 38, 42.
в) 56, 54, 42, 48, 52, 48, 54, 52, 58, 54, 50, 52.
г) 5000, 8000, 11000, 5000, 3000, 6000, 4000, 6000, 6000, 7000.
Задача 164***. По представленным данным восстановить внешний вид эмпирических данных до ранжированного вариационного ряда:
а)
ai |
29 |
31 |
34 |
35 |
36 |
38 |
42 |
43 |
48 |
50 |
51 |
54 |
pi |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
3 |
4 |
2 |
1 |
1 |
2 |
б)
ai |
75 |
|
79 |
|
81 |
82 |
84 |
85 |
89 |
90 |
|
92 |
|
93 |
|
|
94 |
97 |
||||||
pi |
2/27 |
3/27 |
1/27 |
2/27 |
1/27 |
1/27 |
2/27 |
1/27 |
1/27 |
1/27 |
|
2/27 |
4/27 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
98 |
|
|
101 |
|
103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2/27 |
|
1/27 |
|
3/27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ai |
143 |
146 |
148 |
149 |
153 |
154 |
|
157 |
|
|
159 |
162 |
|
165 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
pi |
1/17 |
2/17 |
4/17 |
6/17 |
8/17 |
11/17 |
|
12/17 |
|
15/17 |
16/17 |
|
17/17=1 |
|
||||||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
|
Полигонабсолютных частот |
|
|
|
|
p i |
4,5 |
|
|
|
|
|
|
частоты |
4 |
|
|
|
|
|
|
3,5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
Абсолютные |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
43 |
47 |
48 52 54 55 56 |
57 |
60 |
62 |
ai |
|
|
|
Значения признака (варианты) a i |
|
|
||
д)
|
* |
Полигонотносительныхчастот |
* pi4 |
|
|
i |
|
|
p |
15 |
|
частоты |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Относительные |
15 |
|
15 |
|
|
|
2 |
|
|
15 |
|
|
1 |
|
|
2 |
5 |
7 |
|
8 |
10 |
12 |
13 |
16 |
ai |
|
|
|
|
Значенияпризнака (варианты) a i |
|
|||||
е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi |
|
Полигоннакопленных частот |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частоты |
10/13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Накопленные |
7/13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6/13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
49 |
51 |
55 |
58 |
60 |
|
|
ai |
|
|
|
|
|
Значенияпризнака(варианты) a i |
|
||||
II тип.
Задача 165*. Найти среднюю арифметическую (простую или взвешенную), найти моду и медиану для следующих эмпирических данных:
а) 6; 11; 4; 3; 6; 14; 9; 15; 11; 10; 3; 11; 14; 11; 6; 5.
б)
ai |
20 |
26 |
31 |
35 |
39 |
48 |
50 |
51 |
58 |
59 |
pi |
2 |
2 |
1 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |