механики-полн(часть1)

31 61. Вверх по наклонной плоскости катится без скольжения полый обруч, которому

сообщили начальную скорость v=3,14 м/с, параллельную наклонной плоскости. Установить, какой путь пройдет обруч, если угол наклона плоскости a=30о.

62.По горизонтальной плоской поверхности катится диск со скоростью v=8 м/с. Определить коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь s=18 м.

63.На краю платформы в виде диска диаметром D=2 м, вращающейся по инерции

вокруг вертикальной оси с частотой n1=8 мин-1, стоит человек массой m1=70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой n2=10 мин-1. Определить массу m2 платформы. Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки.

64.На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром d=0,8 м и массой m1=6 кг

стоит человек массой m2=60 кг. С какой угловой скоростью w начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой m=0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии r=0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча v=5 м/с.

65. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью w1=4 рад/с. С какой угловой скоростью w2 будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи J=5 кг×м2. Длина стержня l=1,8 м, его масса m=6 кг. Считать, что центр тяжести стержня с человеком находится на оси платформы.

66.Горизонтальная платформа массой m=100 кг вращается вокруг вертикальной оси,

проходящей через центр платформы, с частотой n1=10 об/мин. Человек массой m0=60 кг стоит при этом на краю платформы. Радиус платформы R=1,5 м. Какую работу А совершает человек при переходе от края платформы к ее центру. Считать платформу однородным диском, а человека - материальной точкой.

67.Вычислить кинетическую энергию диска массой m=2 кг, катящегося без скольжения по горизонтальной поверхности с относительной скоростью v=2 м/с.

68.Какую работу нужно совершить, чтобы маховику в виде диска массой m=100 кг и

радиусом R=0,4 м сообщить частоту вращения n=10 об/с, если он находился в состоянии покоя?

69. Найти полезную мощность двигателя, приводящего в движение платформу в виде диска массой m1=280 кг и радиусом R=1 м, на краю которой стоит человек массой m2=60 кг, если за t=30 с платформа приобретает скорость, соответствующую частоте n=1,2 об/с.

70.Определить скорость поступательного движения сплошного цилиндра, скатившегося с наклонной плоскости высотой h=20 см.

71.Во сколько раз кинетическая энергия Ек искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите, меньше его гравитационной потенциальной энергии Еп?

72.Определить напряженность G гравитационного поля на высоте h=1000 км над поверхностью Земли.

73.Какая работа будет совершена при падении на Землю тела массой m=2 кг: 1) с высоты h=1000 км; 2) из бесконечности?

74.Из бесконечности на поверхность Земли падает метеорит массой m=30 кг. Какая работа при этом будет совершена силами тяготения Земли?

75.С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью v=5 км/с. На какую высоту она поднимется?

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

32

76.По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом Т=90 мин. Определить высоту спутника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

77.На каком расстоянии от центра Земли находится точка, в которой напряженность суммарного гравитационного поля Земли и Луны равна нулю? Принять, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны и что расстояние от центра Земли до центра Луны равно 60 радиусам Земли.

78.Определить линейную и угловую скорости спутника Земли, обращающегося по круговой орбите на высоте h=1000 км.

79.Период обращения спутника, движущегося вблизи поверхности планеты, равен 84 минуты. Считая планету однородным шаром, найти ее плотность.

80.На какой высоте ускорение силы тяжести вдвое меньше его значения на поверхности Земли?

81.Через сколько времени от начала движения точка, совершающая гармонические

колебания с периодом T=12 с и начальной фазой равной ϕ=0, сместится от положения равновесия на расстояние, которое равно половине амплитуды?

82. Тело массой 5 г совершает колебание, которое в системе СИ описывается

потенциальной энергии тела через t=20 с от начала колебаний. Чему равна полная энергия тела?

84.Определить период Т колебаний стержня длиной l=30 см около оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

85.Определить частоту ν гармонических колебаний диска радиусом R=20 см около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.

86.Определить период Т гармонических колебаний диска радиусом R=40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

87.На стержне длиной l=30 см укреплены два одинаковых грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L и период T гармонических колебаний. Массой стержня пренебречь.

88.Найти максимальную кинетическую энергию ЕКmax материальной точки массой

m=2 г, совершающей гармонические колебания с амплитудой А=4 см и частотой ν=5 Гц. 89. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со

скоростью v=10 м/с. Период колебаний Т=0,2 с, расстояние между точками х=1 м. Найти разность фаз Δϕ колебаний в этих точках.

90. Определить скорость v распространения волн в упругой среде, если разность фаз Δϕ колебаний двух точек, отстоящих друг от друга на х=15 см, равна π/2. Частота колебаний ν=25 Гц.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

33

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Основные формулы

Количество вещества тела (системы)

n=N/NА,

где N - число структурных элементов (молекул, атомов, ионов), составляющих тело; NA - постоянная Авогадро (NA=6,02×1023 моль-1).

Молярная масса вещества

M=m/n,

где m - масса однородного тела (системы), кг;

n - количество вещества этого тела (системы), моль.

Относительная молекулярная масса вещества

Mr =å ni Ar,i,

где ni - число атомов i-го химического элемента, входящих в состав молекулы данного вещества;

Ar,i - относительная атомная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д.И.Менделеева.

Связь молярной массы М с относительной молекулярной массой вещества

M=Mrk,

где k=10-3 кг/моль.

Количество вещества смеси газов

n = n1 + n2 + ....+ nn = N1/NA + N2/NA + .....+ Nn/NA

где ni, Ni ,mi , Mi - соответственно количество вещества (моль), число молекул, масса (кг) и молярная масса (кг/моль) i-го компонента смеси.

Уравнение Менделеева-Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

pV = Mm RT = nRT ,

где m - масса газа, кг;

М - молярная масса газа, кг/моль;

R - газовая постоянная (R=8.31 Дж/(моль×К)); n - количество вещества, моль;

Т - термодинамическая температура, К.

Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева - Клапейрона для изопроцессов:

а) закон Бойля - Мариотта (изотермический процесс Т=const, m=const) pV=const,

или для двух состояний газа

p1V1 = p2V2;

б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: p=const, m=const)

VT = const ,

или для двух состояний

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

34

V1 = V2 ;

T1 T2

в) закон Шарля (изохорный процесс: V=const, m=const)

где p1, V1, T1 – давление (Па), объем (м3) и температура (К) газа в начальном и конечном состоянии; p2 (Па), V2 (м3), T2 (К) - те же величины в конечном состоянии.

Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов,

р=р1+р2+.....+рn ,

где рi - парциальные давления компонентов смеси, Па; n - число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

Молярная масса смеси газов

M = m1 + m2 + ×××× +mn , n1 + n2 + ×××× +nn

где mi - масса i-го компонента смеси, кг;

ni = mi - количество вещества i-го компонента смеси, моль;

Mi

n - число компонентов смеси.

Массовая доля i-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах) w i= mmi ,

где m - масса смеси, кг.

Концентрация молекул

n = VN = NMΑr ,

где N - число молекул, содержащихся в данной системе; ρ - плотность вещества, кг/м3;

V - объем системы, м3.

Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

Основное уравнение кинетической теории газов

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

35

p = 23 nen ,

где <en> - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы, Дж.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

en = 32 kT ,

где k - постоянная Больцмана, Дж/К.

Полная средняя кинетическая энергия молекулы

ei = 2i kT ,

где i - число степеней свободы молекулы.

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры p=nkT.

Скорости молекул:

где m1 - масса одной молекулы, кг.

Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (cv, Дж/(кг×К)) и постоянном давлении (cp, Дж/(кг×К))

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

36

Уравнение Майера

Cp - Сv=R.

Внутренняя энергия идеального газа

U = Mm × 2i RT = Mm CvT .

Первое начало термодинамики

Q = U + A,

где Q - теплота, сообщенная системе (газу), Дж;

U- изменение внутренней энергии системы, Дж;

А- работа, совершенная системой против внешних сил, Дж. Работа расширения газа:

при адиабатном процессе, где γ=cp/cv - показатель адиабаты.

Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном

Термический КПД цикла

h = Q1 - Q2 ,

Q1

где Q1 - теплота, полученная рабочим телом от нагревателя, Дж; Q2 - теплота, переданная рабочим телом холодильнику, Дж.

Термический КПД цикла Карно

h = Q1 − Q2 = T1 − T2 , Q1 T1

где Т1 и Т2 - температуры нагревателя и холодильника, К.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

37

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Определить для серной кислоты: 1) относительную молекулярную массу Мr; 2) молярную массу М.

Решение: 1. Относительная молекулярная масса вещества равна сумме относительных атомных масс всех элементов, атомы которых входят в состав молекулы данного вещества,

и определяется по формуле

где ni - число атомов i-го элемента, входящих в молекулу; Аr,i- относительная атомная масса i-го элемента.

Химическая формула серной кислоты имеет вид H2SO4. Так как в состав молекулы серной кислоты входят атомы трех элементов, то стоящая в правой части равенства (1)

сумма будет состоять из трех слагаемых и эта формула примет вид

Из формулы серной кислоты далее следует, что n1=2 (два атома водорода), n2=1 (один атом серы) и n3=4 (четыре атома кислорода).

Значения относительных атомных масс водорода, серы и кислорода найдем по таблице

Подставив в (3) значения величин, получим М= 98×10-3 кг/моль.

Пример 2. В резервуаре объемом V=1,2 м3 находится смесь азота m1=10 кг и водорода m2=4 кг при температуре Т=300 К. Определить давление р и молярную массу М смеси газов.

Решение: Для решения задачи воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева, применив его к азоту и водороду:

где р1 - парциальное давление азота, Па; m1 - масса азота, кг;

М1=28×10-3кг/моль- молярная масса азота; V - объем резервуара, м3;

Т - температура газа, К;

R=8,31 Дж/(моль×К) - молярная газовая постоянная; р2 - парциальное давление водорода, Па;

m2 - масса водорода, кг;

М2=2×10-3 кг/моль - молярная масса водорода.

Под парциальным давлением р1 и р2 понимается то давление, которое производил бы газ, если бы он только один находился в сосуде.

По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример 3. Чему равна кинетическая энергия теплового Wк и вращательного <Wвр> движения молекул, содержащихся в m=2 кг кислорода при температуре Т=340 К?

Решение: Считаем кислород идеальным газом. Согласно классической статистической физике кинетическая энергия теплового движения молекул (внутренняя энергия) идеального

газа определяется равенством

Wk = 2i Mm RT ,

где i- число степеней свободы молекул газа;

R= 8,31 Дж/(моль×К) - молярная газовая постоянная; Т - термодинамическая температура, К;

m - масса газа, кг;

М - молярная масса газа, кг/моль.

Молекула кислорода - двухатомная. Считая связь между атомами жесткой, имеем i=5.

Тогда

Wk = 52 Mm RT .

Вращательному движению молекулы кислорода приписывается две степени свободы.

Тогда средняя энергия вращательного движения молекул кислорода выразится формулой

Wвр = 22 Mm RT ,

Выполним расчеты

Wk = 5 2×кг −3 8,31Дж /(моль × К)×340 К = 440 кДж , 2 32 10

<Wвр> = 2 2кг−3 8,31Дж / моль К × 340 К =180 кДж . 2 32 10

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

39

Пример 4. Найти среднюю кинетическую энергию <eвр> вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т=350 К, а также кинетическую энергию Ек вращательного движения всех молекул кислорода массой m= 4 г.

Решение: На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия <e1>=1/2 kT, где k - постоянная Больцмана; Т - термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислорода - двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного

движения молекулы кислорода

где NА - постоянная Авогадро, моль-1; n - количество вещества, моль.

Если учесть, что количество вещества n=m/M, где m - масса газа, М - молярная масса газа, то формула (3) примет вид

m

N=NА× M .

Подставив выражение N в формулу (2), получаем

Ек=NАm<eвр>/М. (4)

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода М=32×10-3 кг/моль, <eвр> = kT = 1,38×10-23×350 Дж = 4,83×10-21 Дж;

Ек=6,02×1023× 4 ×10−3 ×4,83×10-21 Дж=364 Дж.

32 ×10−3

Пример 5. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме сv и при постоянном давлении ср неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Решение: Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

где i - число степеней свободы молекулы газа; М - молярная масса, кг/моль.

Для неона (одноатомный газ) i = 3, а М=20×10-3 кг/моль. Произведем вычисления:

Для водорода (двухатомный газ) i=5, а М=2×10-3 кг/моль. Тогда

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример 6. Найти плотность азота r, если молекула за время 1 с испытывает 2.05×108 с-1 столкновений при температуре 280 К. Какова средняя длина свободного пробега <l>

где m - масса азота, кг; V – объем, м3.

Массу азота можно выразить через число молекул в данном объеме и массу одной молекулы:

m=m1×N. (2)

Массу m1 одной молекулы можно найти путем деления массы одного моля вещества на постоянную Авогадро:

Среднюю длину свободного пробега молекул азота находим по формуле

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com