Стерлядкин В.В. Физика ч
.2.pdf
97 |
|
|
|
4-ое уравнение Максвелла в |
интегральной |
форме |
является |
теоремой Гаусса для магнитного поля и имеет вид: |
|
|
|
r |
r |
|
|
∫(BdS)= 0 |
|
(12.17) |
|
S
Преобразуем (12.17) по теореме Гаусса:
r
∫divB = 0
V
откуда получаем 4-ое уравнение Максвелла в дифференциальной форме:
divB = 0 |
(12.18) |
Физический смысл 4-го уравнения Максвелла в том, что магнитных зарядов в природе не существует.
Уравнения Максвелла
в дифференциальной форме |
|
в интегральной форме |
||||||||||
|
r |
|
r |
|
|
r |
r |
|
∂ |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
rotE = − |
∂ B |
|
(1) |
∫(Edl)=− |
|
∫(BdS) |
||||||
|
∂t |
|||||||||||
|
|
∂t |
|
|
L |
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
|
r |
|
r |
S |
∂ r r |
||||
|
r r |
|
∂ D |
|
r |
|
r |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
rotH = j+ |
∂t |
(2) |
∫(Hdl)=∫(jdS)+∂t ∫(DdS) |
|||||||||
|
r |
|
|
L r |
r |
S |
|
|
|
|
||
divD = ρ |
|
|
|
(3) |
∫(DdS)=∫ρdV |
|
|
|||||
|
r |
|
|
|
|
S |
|
V |
|
|
|
|
divB = 0 |
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
∫(BdS)=0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
3
Уравнения (1) и (2) - векторные уравнения, следовательно, каждое дает по три скалярных уравнения.
Уравнения (3) и (4) - скалярные уравнения.
Всего получается 8 уравнений, а неизвестны E,H,D,B - 4 векторных величины, или 12 скалярных. Только уравнений Максвелла не хватает для решения задачи.
Дополнительные соотношения (материальные уравнения)
D = εoεE |
(5) |
B = µoµ H |
(6) |
j = γ E |
(7) |
Соотношения (1) - (7) образуют основу электродинамики.
12.5 Относительный характер электрической и магнитной составляющей электромагнитного поля
Электрическое и магнитные поля тесно взаимосвязаны. Изменение электрического поля вызывает изменение магнитного поля, а изменение магнитного, в свою очередь, вызывает изменение электрического поля.
Относительный характер электрической и магнитной составляющих в том, что в разных инерциальных системах отсчета электрическое и магнитное поля имеют разную величину.
Например, если в 1-ой системе есть неподвижный заряд, то в ней есть только электростатическое поле. Магнитного поля нет. Во 2-ой системе заряд уже будет движущийся, и кроме электростатического поля добавится и магнитное поле.
12.6 Электромагнитные волны
В вакууме зарядов и токов нет ρ = 0; j = 0. Уравнение (1) и (2) симметричны и
напряженности E и H подчиняются уравнениям вида:
r
E = εεoµµo
r
H = εεoµµo
∂2 E |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂t2r |
где |
= |
∂2 |
+ |
∂2 |
+ |
∂2 |
- оператор Лапласа. |
|
|
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
||||||
∂2 H |
, |
|
|
|
|
||||
∂t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это волновые уравнения, решением которых является электромагнитная волна, например, которая распространяется вдоль оси x, (рис. 12.8):
Ey = EmCos(ωt − kx + ϕ);
HZ = HmCos(ωt − kx + ϕ);
где Em ,Hm - амплитуды ;
ω = 2πν = 2π
Т - круговая частота; k = 2π
λ - волновое число;
λ = V T = V
ν - длина волны ; Т – период.
4
Скорость распространения волны V:
|
|
|
|
V = |
|
1 |
|
= |
C |
|
= |
C |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
εεoµµo |
|
εµ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||
где C = |
|
1 |
|
- скорость света в вакууме; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
εoµo |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 
εµ - показатель преломления.
Основные формулы
Название |
|
Формула |
Комментарии |
|||||||||||||||||||||
Закон Кулона |
F = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
q1q2 |
|
εo = 8.85 10−12 Кл м2 - электрическая постоянная, |
||||||||||
|
4πε |
o |
ε |
|
|
|
r2 |
ε- диэлектрическая проницаемость среды, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1.q2,- заряды, r- расстояние |
||||
Напряженность E |
|
|
r |
= |
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
электростатическог |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
F – сила, действующая на заряд q |
||||||||||||
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
о поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Напряженность E,. |
E = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Q |
ε0 - электрическая постоянная, |
||||||||||
создаваемая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε- диэлектрическая проницаемость среды, |
||||
|
4πε o |
ε r 2 |
||||||||||||||||||||||
точечным зарядом |
|
|
|
|
q1.q2,- заряды, r- расстояние |
|||||||||||||||||||
Сила, действующая |
|
|
F = E q |
E - напряженность электростатического поля, |
||||||||||||||||||||
на заряд в электри- |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
q,- заряд |
||||||||||||||||||||||
ческом поле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Принцип |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
Eрез – результирующая напряженность |
||||
EРЕЗ |
|
= ∑Ei |
электростатического поля, |
|||||||||||||||||||||
суперпозиции |
|
|||||||||||||||||||||||
|
Ei – поля, создаваемые отдельными зарядами |
|||||||||||||||||||||||
Потенциал |
|
|
ϕ = |
|
|
WП |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
электростатичес- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
WП – потенциальная энергия пробного заряда qпр |
||||||||||||
|
|
|
|
q np |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
кого поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Потенциальная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ - потенциал в данной точке пространства |
|
энергия WП заряда |
|
WП =q ϕ |
||||||||||||||||||||||
|
WП – потенциальная энергия заряда q в данной точке |
|||||||||||||||||||||||
в электрическом |
|
|||||||||||||||||||||||
поле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Потенциал ϕ поля |
ϕ = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
q |
ε0 - электрическая постоянная, |
||||||||||||
точечного заряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4πεo |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
на расстоянии r |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
, r- расстояние от заряда |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Работа электричес- |
A12 = q(ϕ1 − ϕ2 ) |
ϕ1, ϕ2- потенциалы поля в точках 1 и 2, соответственно, |
||||||||||||||||||||||
кого поля при пере- |
q- заряд, |
|||||||||||||||||||||||
|
A = −q ϕ |
|||||||||||||||||||||||
мещении заряда |
|
Δϕ=ϕ2-ϕ1 – разность потенциалов |
||||||||||||||||||||||
Вектор |
|
D = εoεE |
ε0 - электрическая постоянная, ε- диэлектрическая |
|||||||||||||||||||||
электрического |
|
проницаемость среды ,E - напряженность |
||||||||||||||||||||||
смещения D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электростатического поля |
|
Закон Ома для |
I = ϕ1 |
|
− ϕ 2 |
|
+ ε12 |
ϕ2-ϕ1 – разность потенциалов, |
||||||||||||||||||
|
|
ε12 – суммарная эдс на участке цепи 1-2, |
||||||||||||||||||||||
участка цепи |
|
|
|
|
|
|
|
R 12 |
|
|
|
|
|
|
|
R12 – суммарное сопротивление участка цепи |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
dB – магнитная индукция, созданная элементом тока Idl |
||
Закон Био – Савара |
r |
= |
µ |
o |
|
|
|
I dl× r |
на расстоянии r от него, dl – длина отрезка тока, |
|||||||||||||||
|
dB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(×) – знак векторного произведения, |
||||
– Лапласа |
4π |
|
|
|
|
|
r3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ0 – магнитная постоянная. |
|
|
|
|
|
5 |
|
||
Закон Ампера |
dF = Idl× B |
dF – сила, действующая на элемент тока Idl в магнитном |
|||||
dF=I dl B Sinα |
поле B, (×) – знак векторного произведения |
||||||
|
|||||||
Сила Лоренца |
F = q V× B |
F – сила Лоренца, действующая на заряд |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа А по |
A = I(Ф 2 − Ф1 ) |
I – сила тока в рамке |
|||||
перемещению |
|||||||
Ф=Ф2 – Ф1 – изменение магнитного потока |
|||||||
рамки с током в |
dA = I dФ |
||||||
Ф – число линий В через площадку |
|||||||
магнитном поле В |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Связь векторов |
B = µoµ H |
В – индукция магнитного поля, Н – напряженность |
|||||
В и Н |
магнитного поля, µ - магнитная проницаемость среды |
||||||
Закон Фарадея |
εинд = − |
dФВ |
|
ε |
инд |
- ЭДС индукции, возникающая в контуре |
|
dt |
|
|
|||||
ФВ – поток вектора Вчерез поверхность контура |
|||||||
|
|
||||||