Козенко, Галанина

где || a || – одна из трех норм (3.5) матрицы коэффициентов a исходной системы уравнений; || b || – та же норма вектора свободных членов bэтой системы; k – число итераций, необходимых для достижения заданной точности.

На практике при заданном значении e часто в качестве критерия окончания итерационного процесса вычисления значений (C1, C2,..., Cm) вектора C(k) используется неравенство

i=1

3.2. Схема алгоритма решения системы линейных уравнений

методом последовательных приближений

Рассмотрим решение системы (3.3) методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных членов

Подставляя значение нулевого приближения в правую часть системы (3.3), получим первое приближение

Затем, подставляя значение нулевого приближения в правую часть системы (3.3), получим второе приближение

С(2) = β + α × С(1)

и т.д.

31

Рис.3.2. Схема алгоритма решения системы линейных уравнений методом последовательных приближений (начало)

32

Рис.3.2. Схема алгоритма решения системы линейных уравнений методом последовательных приближений (окончание)

Любое (k + 1)–е приближение вычисляется по формуле

С(k + 1) = β + α × С(k).

Если итерационный процесс сходится (см. подразд. 3.1), то окончание вычислений определяется в соответствии с (3.9).

Схема алгоритма решения системы линейных уравнений методом последовательных приближений представлена на рис. 3.2.

Алгоритм начинается с определения условия сходимости итерационного процесса. В случае, если условия сходимости (3.6) не выполняется (значение переменной Key = 1), происходит аварийное завершение программы и вычисления прекращаются.

3.3. Решение системы линейных уравнений методом Зейделя

Метод Зейделя относится к итерационным методам решения систем линейных уравнений, обеспечивающим хорошую сходимость итерационного процесса поиска корней системы.

33

Пусть задана система (3.2). Прежде всего необходимо задать значения начальных (нулевых) приближений корней С1(0), С2(0),..., Сm(0). Если отсутствует какая–нибудь информация об этих значениях, то их можно принять равными свободным членам системы уравнений (3.2) или даже принять равными нулю. Выбранные таким образом нулевые приближения корней подставим в первое уравнение системы (3.2) и получим первое приближение корня С1

С1(1) = β1 + α12 С2(0) + α13 С3(0) + … + α1 m Сm(0).

Используя во втором уравнении системы (3.2) найденное первое приближение корня С1 и нулевые приближения остальных корней, получим первое приближение корня С2

С2(1) = β2 + α21 С1(1) + α23 С2(0) + … + α2 m Сm(0).

Повторяя эту процедуру последовательно для всех уравнений системы (3.2), получим в итоге первое приближение корня

Сm(1) = βm + αm 1 С1(1) + αm2 С2(1) + … + αm m–1 Сm–1(1).

Используя первые приближение корня системы, можно аналогичным образом найти вторые приближения

С1(2) = β1 + α12 С2(1) + α13 С3(1) + … + α1 mСm(1) С2(2) = β1 + α21 С1(2) + α23 С3(1) + … + α2 mСm(1)

..............................................................................................

Сm(2) = βm + αm 1 С1(2) + αm 2 С2(2) + … + αm m–1 Сm–1(2).

Затем, используя вторые приближения, можно вычислить третьи и т.д. Итерационный процесс решения системы линейных уравнений методом Зейделя сходится к единственному решению при любом выборе начальных приближений искомых корней, если выполняет-

ся одно из условий (3.5).

Погрешность решения системы уравнений методом Зейделя принято оценивать по формулам (3.7) — (3.9).

3.4. Схема алгоритма решения системы линейных уравнений

методом Зейделя

Схема алгоритма решений системы уравнений (1.7) методом Зейделя представлена на рис. 3.3.

34

Рис. 3.3. Схема алгоритма решения системы уравнений методом Зейделя

35

В схему алгоритма определения сходимости итерационного процесса (рис.3.1), которая используется в методе Зейделя, необходимо внести следующие изменения: заменить блок вычисления значения переменной Flag = Flag + 1 на Flag = 1; условие Flag = m заменить на условие Flag = 1. Эта замена объясняется Замечанием, приведенным на стр. 29, и связано с тем, что для метода Зейделя достаточно, чтобы неравенство (3.6) выполнялось хотя бы для одной строки матрицы A.

3.5. Оценка погрешности аппроксимации

Результатом этапа решения системы нормальных уравнений (1.7) является получение значений параметров аппроксимирующей функции (1.2)

ϕ(x) =C1* ϕ1(x) +C2* ϕ2(x) + +Cm* ϕm(x)

для заданного набора базисных аппроксимирующих функций

ϕ1(x), ϕ2(x),..., ϕm(x).

Решение ( C1* , C2* , ... , Cm* ) системы нормальных уравнений определяет значения параметров, при которых критерий качества аппроксимации J принимает минимально возможное значение

Jmin =J(Ñ1* ,..., Ñm* ) . При всех других допустимых значениях параметров величина критерия будет больше. Тем самым получен-

ное значение Jmin может быть принято за характеристику эффективности аппроксимации заданной функциональной зависимости функциями ϕ(x) выбранного класса. При изменении класса аппроксимирующих функций, а также при изменении набора базисных функций значение Jmin может меняться. Сравнение различных классов функций по их эффективности (качеству) аппроксимации может осуществляться на основе сравнений соответствующих зна-

чений Jmin.

Для количественной оценки погрешности аппроксимации может использоваться также величина (Δ) максимального откло-

нения исходной функциональной зависимости от найденной аппроксимирующей. Для этого определяется отклонение δi = yi – φ(xi) во

всех заданных точках и определяется максимальное из этих отклонений:

36

Список рекомендуемой литературы

1. ЕСПД: ГОСТ 19.701–90. «Схемы алгоритмов, программ, данных и систем. Условные обозначения и правила выполнения».

2. Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. М., 2002. 632 с.

3. Лапчик М., Рагулина М., Хеннер Е. Численные методы. – М., 2004. 384 с.

4. Калиткин Н.Н., Альшина Е.А. Численные методы/ Книга 1: Численный анализ. Академия 2013. 304 с.

5. Пирунов У. Численные методы. ДРОФА, 2007. 288 с.

6. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. Медиа, 2012. 288с.

37

38