Binder1

Сначала определяются такие значения yj, для которых P X xi,Y yj

0. Затем для этих

yj вычисляются условные вероятности, определяющие условный ряд распределения:

P Y yj

| X xi

P X xi,Y yj

pij

.

P X x

p

6) Вычисление условных числовых характеристик.

i

i

i

m

j

j

i

E

Y | X

h

y

P

Y y

| X

.

h

x

x

j 1

Примечание.

Если для каждого X xi

выполняется соотношение g xj E Y | X xi , то

случайную величину

g X E Y | X

называют функцией регрессии

Y по X . Справедливо

равенство

n

g X E Y | X E Y | X xi I X xi .

i 1

Пример 1. Совместный закон распределения случайных величин X и Y задан таблицей

Y

-1

0

1

2

X

1

0,1

0,25

0,3

0,15

Найти

2

0,1

0,05

0

0,05

: а) законы

распределения случайных величин X и Y;

б) вероятность P X Y 2 ;

в) E X ,E Y ,D X ,D Y ;

г) E XY ,K X,Y ,D XY ,r X,Y .

Решение. Случайная величина X может принимать 2 значения:

X = 1 с вероятностью p1

0,1 0,25 0,3 0,15 0,8;

X = 2 с вероятностью p2

0,1 0,05 0 0,05 0,2,

т.е. ее закон распределения определяется таблицей

X

1

2

Определяем

PX

0,8

0,2

числовые

характеристики случайной величины X:

E X 1 0,8 2 0,2 1,2,

2

2

2

0,2 1,6, D X 1,6 1,2

2

0,16

E X

1 0,8 2

Аналогично находится закон распределения случайной величины Y:

Y

-1

0

1

2

PY

0,2

0,3

0,3

0,2

E

2

1

2

0,2 0

2

2

0,3 2

2

0,2 1,3,

D Y 1,3 0,5

2

1,05

Y

0,3 1

K X,Y 0,5 1,2 0,5 0,1,

r X,Y

0,1

,

0,16 1,05

Пример 2. Случайная величина X имеет числовые характеристики

E X

1,D X 2. Найти

математическое ожидание и дисперсию случайной

величины Y 3X 1,

а также

K X,Y и

r X,Y .

Решение. Воспользуемся свойствами числовых характеристик:

E Y E 3X 1 3E X 1 3 1 1 4;

D Y D 3X 1 32 D X 9 2 18;

K X,Y K X,3X 1 3K X,X 3D X 3 2 6;

r X,Y 1, посколькупеременные X и Y связаны прямой зависимостью.

3.6. Анализ непрерывного случайного вектора.

Опр. Случайный вектор 1, , k T

имеет абсолютно непрерывное распределение, если оно

может быть задано с помощью плотности распределения.

Опр. Числовую функцию f x , ,x

k

f x , ,x

называют

плотностью распределения

1

1

k

вероятностей случайного вектора , если для любых

действительных x1, ,xk

справедливо

соотношение:

2.

Неотрицательность: f x1, ,xk 0.

x , ,x

f x1, ,xk

k F

k

3.

В точке непрерывности

1

.

x1 xk

Утверждение 4.

Для любой интегрируемой функции h x и любого борелевского множества

B k :

x1, ,xk dx1

P B f 1, , k x1, ,xk dx1 dxk.

dxk ,

E h h x f 1, , k

k

B

Условная функция распределения.

пары X,Y .

Пусть

F x, y

–

совместная функция

распределения

Тогда

для любого

борелевского

множества

B с положительной

вероятностной

мерой

можно

определить

условную функцию распределения

P X B,Y y

F

y| X B F y|B

.

Y

Y

P X B

Полагая B x:x X x x при x 0, получим

P x X x x,Y y

FY y| X x FY y| x lim FY y| x X x x lim

x 0

x 0

P x X x x

y

x x

f x,y dxdy

y

y

f

x,y dy x

f x,y dy

lim

x

lim

.

x x

fX x x

fX x

x 0

x 0

fX x dx

x

Примечание. Аналогично можно определить условное математическое ожидание

E Y |B ydFY y|B

.

f x,y

1

dx y

dy

dx y f x,y dy,

P B 0.

P B

B

P B

B

y

FY y| x

f x, y dy

f x,y

fY y| x

.

y

fX x

y

fX x

Примечание 1. В многомерном случае

f 1, , m, m 1, , k x1, ,xm,xm 1, ,xk

f

x , ,x | x

, ,x

k

.

1

, , m

1

m

m 1

f m 1, , k

xm 1, ,xk

Пример. Пусть случайный вектор X,Y

имеет равномерное распределение R , где –

треугольник с вершинами A 1;0 ,B 1;0 ,C 0; 1 . Найти

f x,y , fX x , fY y , fX x| y ,

P Y X , проверить независимость X,Y.

из событий

A1, ,Ak ,

образующих

полную

группу.

В

каждом испытании

P Aj pj, p1

pk

1.

Если Xj – число появлений события Aj

в n испытаниях, то

вектор X1, ,Xk T имеет полиномиальное распределение,

задаваемое формулой

n!

k

k

P X1 m1, ,Xk mk

pmj

j ,

mj n.

m1! mk ! j 1

j 1

X1

Ij A1

M I

j

A

p1

n

n

1

X

n ;

M X

X

j 1

I A

p

j 1

k

j k

M Ij

Ak

k

Если

Xj – число появлений элементов

j-го типа в выборке,

то вектор X1, ,Xk T имеет

многомерное гипергеометрическое распределение, задаваемое формулой

CDm1 CDmk

k

P X1 m1, ,Xk mk

1

k

,

mj n.

n

CN

j 1

Наиболее известные многомерные непрерывные распределения.

1. Многомерное равномерное распределение.

Опр.

Случайный

вектор 1, , k T имеет

равномерно

распределение в борелевском

множестве B k ,

если

1

,

x1, ,xk B,

f x1, ,xk mes B

x1, ,xk

B.

0,

0.08

0.06

P CHI15

0.04

0.02

0.00

0

10

20

30

40

Z

Примечание.

X1, ,Xn

X

a 2

2

.

N a; 2

i

i 1

3. Распределение Стьюдента с

степенями свободы: T

St

. Распределением Стьюдента

с степенями свободы называется такое распределение, которое имеет отношение

T

0

,

2

2

1

в котором 0, 1, ,

–

независимые случайные величины,

имеющие стандартное нормальное

распределение.

График функции плотности распределения Стьюдента симметричен относительно нуля и похож

на график функции плотности стандартного нормального распределения.

Например, при 10

он имеет следующий вид (левый график).

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

P STNORM

0.3

0.2

0.2

T10P

0.1

0.1

0.0

0.0

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

Z

Z

Следующий график показывает насколько быстро с ростом числа степеней свободы

распределение Стьюдента сближается со стандартным нормальным.