DE_1

Система распадается на два несвязанных скалярных уравнения. Определите, что соответствует состояниям равновесия первого уравнения на плоскости (x, y)? Каковы ω− и α-предельные множества траекторий, лежащих в кольце 0 < ρ < 1; вне диска

ρ ≤ 1?

11.2Фазовые портреты линейных систем на плоскости

В качестве применения вышеуказанных понятий траектории, состояния равновесия, предельного множества, изучим фазовые портреты линейных автономных систем на плоскости:

К такой задаче приводит изучение автономной системы на плоскости в окрестности состояния равновесия. Действительно, пусть дана система двух автономных уравнений первого порядка

x˙ = P (x, y), y˙ = Q(x, y),

иP (x0, y0) = Q(x0, y0) = 0, т.е. (x0, y0) – состояние равновесия. Для изучения системы в окрестности состояния равновесия введем локальные координаты ξ = x − x0, η = y − y0

иразложим правые части системы в окрестности состояния равновесия:

x˙ = P (x0, y0) + Px(x0, y0)(x − x0) + Py(x0, y0)(y − y0) + · · · , y˙ = Q(x0, y0) + Qx(x0, y0)(x − x0) + Qy(x0, y0)(y − y0) + · · · ,

где точки означают члены более высокого порядка, чем первый, относительно величин x − x0, y − y0. В локальных координатах получим:

ξ˙ = Px(x0, y0)ξ + Py(x0, y0)η + · · · , η˙ = Qx(x0, y0)ξ + Qy(x0, y0)η + · · · .

Таким образом, в линейном приближении получаем задачу (11.1), где a = Px(x0, y0), b = Py(x0, y0), c = Qx(x0, y0), d = Qy(x0, y0).

Нашей задачей будет построить фазовые портреты этой системы при различных коэффициентах a, b, c, d, т.е различных матриц A этой системы. Как мы знаем, фундаментальная система решений системы зависит от собственных значений λ1, λ2 матрицы и ее жордановой формы. Рассмотрим сначала общий случай простых собственных значений. Тогда вещественной линейной заменой переменных систему можно привести к одному из следующих видов:

1.Узлы. λ1, λ2 вещественны, различны и одного знака, в частности, нет нулевых собственных значений. Поэтому ν = λ2/λ1 положительно и будем считать эту величину большей единицы, этого всегда можно добиться в рассматриваемом случае переобозначением переменных. Тогда жорданова форма матрицы диагональна и система имеет вид:

x˙ = λ1x, y˙ = λ2y,

100

0.8

0.6

0.4

0.2

x2 0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

x1

Рис. 11.1: Траектории в окрестности узла

откуда получаем решения:

x(t; x0) = x0e 1t, y(t; y0) = y0e 2t.

Для получения вида траекторий, мы должны построить кривую на плоскости (x, y). Для этого зафиксируем начальную точку (x0, y0) и исключим параметр t :

Поскольку ν > 1, то траектории имеют вид полупарабол с вершиной в начале координат, причем для y0 > 0 эти параболы расположены ветвями вверх, а при y0 < 0 эти параболы расположены ветвями вниз. Кроме того, имеются состояние равновесия (0, 0) и четыре траектории, лежащие на собственных направлениях y = 0 (для λ1) и x = 0 (для λ2). Узел называется устойчивым, если λ1, λ2 < 0, и неустойчивым, если λ1, λ2 > 0. Фазовый портрет системы (без указания направления движения по времени) изображен на рис. 1.

2.Седла. λ1, λ2 вещественны, разных знаков. Для определенности будем считать, что λ1 < 0, λ2 > 0. Жорданова форма матрицы диагональна и система приводится к виду:

x˙ = λ1x, y˙ = λ2y,

откуда получаем решения:

x(t; x0) = x0e 1t, y(t; y0) = y0e 2t.

101

Геометрический смысл этого тождества весьма прозрачен (см. рис. ): рассмотрим решение x(t) этой системы, подействуем на соответствующую траекторию оператором L : L(x(t)) и изменим на противоположное направление движения по времени вдоль полученной кривой x1(t) = L(x(−t)); тогда x1(t) также является решением системы: x′1(t) = −L(x′(−t)) = −L(v(x(−t))) = v(L(x(−t))) = v(x1(t)).

В связи с этим определением траектория γ системы называется симметричной, если L переводит точки из γ в точки из γ. В противном случае траектория называется несимметричной. Из определения следует, что для несимметричной траектории имеется двойственная ей траектория Lγ, точки из γ отображаются в точки на Lγ и наоборот. В частности, можно говорить о симметричных состояниях равновесия и симметричных периодических траекториях. Их легко искать ввиду следующих свойств обратимых систем. Точка x называется неподвижной точкой инволюции L, если Lx = x. Множество всех таких из Rn называется множеством неподвижных точек инволюции F ix(L). Поскольку L линейно, то F ix(L) – линейное подпространство в Rn.

Предложение 11.1 Состояние равновесия x0 D является симметричным тогда и только тогда, когда x0 F ix(L). Если траектория γ пересекает F ix(L) в двух точках x1, x2, то γ – периодическая траектория периода T > 0, а время движения точки на траектории от x1 до x2 равно T/2.

Доказательство. Требуется доказать только вторую часть утверждения. Пусть траектория γ пересекает F ix(L) в двух точках x1, x2. Обе эти точки не являются состояниями равновесия, иначе это были бы две различные траектории. Поэтому γ не является состоянием равновесия, а тогда γ – траектория, проходящая при t = 0 через точку x1 достигает точки x2 через время τ. Рассмотрим отрезок траектории γ между точками x1, x2 и применим к этому множеству оператор L. Мы также получим отрезок траектории, может быть другой.

104

Глава 12

Устойчивость по Ляпунову

105

Глава 13

Первые интегралы

При изучении систем дифференциальных уравнений полезным упрощением задачи исследования поведения решений является существование некоторой гладкой (по крайней мере класса C1) функции, которая постоянна на решениях данной системы. Такую функцию называют первым интегралом системы. Мы уже встречались с такой ситуацией в главе 1. Рассмотрим теперь случай существования первых интегралов более подробно и выведем некоторые следствия из их существования. Как мы увидим ниже, локально, т.е. в окрестности неособой точки точки интегралы существуют всегда (при некоторых весьма слабых ограничениях на правые части системы). Именно поэтому такие локальные интегралы приносят мало пользы для исследования системы. Важны те интегралы, которые существуют глобально в некоторой области.

Пусть имеется система дифференциальных уравнений первого порядка

определенная в некоторой области D Rn+1, где вектор-функция f по крайней мере 1 раз непрерывно дифференцируема.

Определение 13.1 C1-гладкая функция F , определенная в области D (или в меньшей подобласти) называется первым интегралом системы 13.1, если для любого решения x(t) этой системы, у которого интегральная кривая лежит в D (или соответственно – в меньшей подобласти), выполнено тождество F (t, x(t)) ≡ c, где постоянная c зависит, вообще говоря, от решения.

Поскольку первый интеграл постоянен на решении и является функцией класса C1, то функция F (t, x(t)) дифференцируема и производная от нее равна нулю тождественно. Вычисляя эту производную, получаем тождество:

Это свойство имеет место на всех интегральных кривых, проходящих в данной области существования интеграла, поэтому это последнее тождество выполнено для всех точек

106

(t, x). Верно и обратное утверждение: если в каждой точке области D1 D определена C1-гладкая функция F и для нее выполнено указанное тождество в точках этой области, то F является первым интегралом системы 13.1 в указанной области. Для доказательства нужно использовать тот факт, что через каждую точку области D1 как подобласти D проходит единственная интегральная кривая (t, x(t)), и при подстановке в F мы имеем непрерывно дифференцируемую функцию от t, производная от которой тождественно равна нулю в силу (13.2). Поэтому эта функция постоянна на любом решении x(t).

Пример 13.1 В качестве первого примера рассмотрим систему двух уравнений первого порядка полученную стандартной заменой из уравнения математического маятника (см. главу 1):

φ˙ = y, y˙ = − sin φ.

Для этой системы имеется первый интеграл H = y2/2+1−cos φ, для него производная в силу системы тождественно равна нулю (проверьте). Слоение на уровни этого интеграла выглядит следующим образом (см. рис.). В силу 2π-периодичности интеграла и системы по φ естественным фазовым пространством системы является цилиндр C = [−π, π] ×R, где нужно отождествить границы полосы: (−π, y) = (π, y).

107

Глава 14

Уравнения с частными производными первого порядка

В предыдущей главе мы видели полезность первых интегралов для изучения системы дифференциальных уравнений первого порядка. Все такие интегралы удовлетворяют некоторому дифференциальному тождеству (13.2), связывающему правые части системы и частные производные интеграла. Подобные дифференциальные соотношения называют уравнениями с частными производными первого порядка. В этой главе мы рассмотрим основные свойства таких уравнений. Оказывается, что решения такого уравнения "собираются"из решений связанной с уравнением системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, решения которой называются характеристиками изучаемого уравнения в частных производных первого порядка.

14.1Однородные линейные уравнения

Напомним понятие производной от скалярной функции f(x), x = (x1, . . . , xn) Rn по направлению вектора v = (a1, . . . , an) : Lvf. Рассмотрим произвольную гладкую кривую c(t), t [0, ε) c(0) = x, c′(0) = v. Тогда

Понятно, что это определение не зависит от выбора конкретной кривой c с заданными условиями c(0) = x, c′(0) = v.

Определение 14.1 Однородным линейным дифференциальным уравнением с частными производными первого порядка в области D Rn называется соотношение

, где U – искомая C1-гладкая функция, определенная в области D, а v – векторное поле, заданное в области D.

108

Определение 14.2 Решением уравнения (14.1), определенным в области D1 D, называется C1-гладкая функция U, которая при подстановке в уравнение (14.1) превращает его в числовое тождество.

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений первого порядка, заданную в области D:

Траектории этой системы называются характеристиками уравнения LvU = 0. Предположим, что эта система имеет первый интеграл F , тогда имеем LvF ≡ 0. Таким образом, любой первый интеграл системы уравнений для характеристик является решением уравнения с частными производными (14.1). Как следует из теоремы (), обратное утверждение также верно: любое решение уравнения LvU = 0, определенное в области D, является первым интегралом системы уравнений для характеристик. Как мы уже видели в предыдущей главе, в окрестности любой неособой точки системы (14.2) существует n − 1 функционально независимых интегралов F1, . . . , Fn−1 и любой другой интеграл этой системы в окрестности этой точки есть гладкая функция от F1, . . . , Fn−1. Тем самым, мы описали все решения уравнения (14.1), существующие в окрестности неособой точки. В окрестности особой точки интеграл может существовать, а может и не существовать, как мы видели на примерах в предыдущей главе.

Для уравнения (14.1) ставится также задача Коши: найти решение уравнения, кото-

рое на гиперповерхности N = {xn = h(x1, . . . , xn−1)} равно заданной функции u(x1, . . . , xn−1). Аналогично определяется задача Коши с данными на гиперповерхностях, заданных в виде x1 = h(x2, . . . , xn) и т.д.

Для решения задачи Коши воспользуемся уже доказанным свойством решений: они являются первыми интегралами системы уравнений для характеристик, поэтому постоянны вдоль характеристики. Рассмотрим точку m на гиперповерхности N и предположим, что в этой точке вектор v(m) не лежит в касательной плоскости к N в этой точке. Такая точка называется нехарактеристической. Это условие в координатах (x1, . . . , xn) можно выразить так: скалярное произведение векторов v(m) и вектора градиента к гиперповерхности N в точке m, (hx1 , . . . , hxn 1 , −1) , отлично от нуля. Геометрически это условие означает, что характеристика, проходящая через точку m, пересекает поверхность N без касания. Поскольку в точка на N функция задана, а искомое решение должно быть первым интегралом, то в любой точке на характеристике вне N, достаточно близкой к m, значение решения равно значению в точке m. Для нехарактеристической точки все близкие к ней точки также являются нехарактеристическими. Поэтому функция, заданная на гиперповерхности вблизи нехарактеристической точки, однозначно продолжается вдоль характеристик. Тем самым, мы получаем решение задачи Коши.

109