Учебное пособие Теории вероятностей и математическая статистика

3.4. Из урны, содержащей 6 белых и 4 чёрных шара, наудачу извлекают 2 шара без возвращения. Случайные величины: Х – число белых шаров в выборке, Y – число чёрных шаров в выборке. Описать закон распределения случайного вектора (Х,Y) и вычислить XY .

3.5.На отрезок [0, a] наудачу и независимо брошены две точки. Найти функцию распределения расстояния между ними.

3.6.Совместное распределение двух с.в. и описывается плот-

ностью

1, (x, y) D, f (x, y)

0, (x, y) D.

Здесь область

D {(x, y) : x 0, y 0, x 2 y 2}. Найти:

а) плотность распределения случайной величины ξ; б) вероятность попадания случайной точки

( , ) в область

D1 {(x, y) :1 x 3,0 y 1}.

3.7. Двумерная с.в. ( , ) равномерно распределена внутри квадрата

71

D {(x, y) : x y 1} (рис. 3.3).

Записать совместную плотность вероятности с.в. и . Установить, зависимы или нет с.в. и . Найти: а) частные плотности распределения компонент и ; б) числовые характери-

где D {x 0, y 0}, 0, 0. Установить, являются ли величиныи зависимыми. Найти: 1) частные распределения этих величин, их математические ожидания и дисперсии; 2) вычислить корреляционный момент и коэффициент корреляции случайного вектора ( , ) ; 3) вычислить регрессии Н(ξ) и G(η) величины η на ξ и величины ξ на η.

3.9. Для случайного вектора ( , ) , корреляционный момент и дисперсии которого равны соответственно K 3,

3.10. Время Т1, в течение которого клиент ожидает обслуживания, и само время обслуживания Т2 – две независимые непрерывные с.в., имеющие показательное распределение с параметрами 1 и 2 1 соответственно. Найти плотность распределения вероятностей общего времени Т = Т1 + Т2 , проведённого клиентом в системе обслуживания.

3.11. Известно, что Х и Y – независимые с.в., имеющие нормальное распределение – X N(0;1), Y N(0;1). Найти распределение с.в.

ZX 2 Y 2 .

3.12.Случайное напряжение U распределено по нормальному закону с параметрами mu и σu . Напряжение U поступает на ограни-

читель, который оставляет его равным U, если U u0 и делает равным u0 , если U u0 :

72

Пример 1

Непрерывная с.в. Х распределена равномерно на участке от а до b

1/(b a) при x [a,b],

f (x) 0 при x [a,b].

Оценить выполнение неравенства (1) при 3 x .

Решение. Перенесём начало отсчёта в точку (a b) / 2, т.е.

ность попадания за пределы участка ( 3 x ,3 x ) равна нулю.

Упражнение. Проверить выполнение «правила 3 » для показательного и нормального законов распределения, а также для биномиального распределения.

Пример 2.

Анализ изделий, выпускаемых цехом, показал, что в среднем 75% изделий попадает в допустимый интервал. Оценить нижнюю границу вероятности того, что из 2000 деталей в поле допуска попадает от

1450 до1550 деталей.

Решение.

В данном случае можно считать, что распределение вероятностей для деталей подчиняется биномиальному закону: в каждом независимом испытании вероятность стандартной детали равна p = 0,75, n =

2000, k1 = 1450, k2 = 1550. Из этих данных находим np = 1500 = mk, npq = 375 = Dk. Поскольку допустимый интервал симметричен отно-

попарно независимы и имеют ограниченные дисперсии D( i ) c,

i 1,2,... . Тогда при любом 0 выполняется предельное соотношение

74

что эквивалентно теореме Бернулли, сформулированной ранее. Пример. Дисперсия каждой из данных независимых с.в. не пре-

вышает 5. Найти число этих величин, при котором вероятность отклонения их средней арифметической от средней арифметической их м.о. не менее чем на 0,1 превысит 0,9.

Решение. 0,1, c 5. Согласно формуле (3.3),

3.4.2. Центральная предельная теорема (ЦПТ)

ЦПТ устанавливает связь между законом распределения суммы с.в. и его предельной формой – нормальным законом распределения.

Наиболее часто используется простейшая форма теоремы. Теорема. Для всякой последовательности независимых одина-

ления центрированной и нормированной суммы этих с.в. при n стремится к функции распределения стандартной нормальной с.в.:

где M (Sn ) nm, (Sn ) n.

Пример. В предположении, что один шаг пешехода распределён равномерно в пределах от 70 до 80 см и размеры шагов независимы, оценить вероятность того, что за 1000 шагов пройденный пешеходом путь составит (750 ± 5) м.

Решение. Пусть i – величина i-го по счёту шага пешехода, п = 1, 2, …, 1000. Тогда путь S за 1000 шагов равен

Таким образом, событие, что пройденный путь за 1000 шагов составит (750 ±5) м, можно рассматривать как практически достоверное.

Задачи

3.13. При составлении статистического отчёта надо сложить 10000 чисел, каждое из которых округлено с точностью до 10 3 . Считая, что ошибки округления независимы и распределены равномерно в интервале ( 0,5 10 3;0,5 10 3 ) , оценить наименьший по длине промежуток, в котором с вероятностью 0,95 будет заключена суммарная ошибка.

76

3.14. Дискретная с.в. Х задана законом распределения

Вычислить вероятность события A { X M ( X ) 1,5}. Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышёва.

3.15.Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,975, утверждать, что относительная частота выпадения герба попадёт в интервал (0,4; 0,6)? Получить искомую оценку: а) используя неравенство Чебышёва (80); б) считая применимой интегральную теорему Муавра-Лапласа.

3.16.Среднее число вызовов за одну минуту на АТС равно

mX 20. Найти вероятности следующих событий: A {X 20},

B {10 X 30}.

3.17.Напряжение на выходах 40 каналов радиотехнического устройства есть независимые с.в. с математическими ожиданиями, равными 5 В, и дисперсиями, равными 10 В. Найти вероятность того, что напряжение на выходе устройства, суммирующего напряжение каналов: а) будет находиться в пределах от 140 В до 200 В; б) превысит

180 В.

3.18.Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что при подбрасывании 12 игральных костей сумма очков (с.в. Х) от-

клонится от математического ожидания меньше, чем на 15. С.в. Хi – число очков на i-й кости (i = 1, 2, …,12).

3.19.Каждую минуту в бункер, вмещающий не более чем N =150 деталей (независимо от других моментов времени), поступает случай-

ное число деталей, распределённое по пуассоновскому закону с параметром 2. Через каждый час все находящиеся в бункере детали перегружаются в тележку. В начальный момент бункер пуст. Оценить вероятность того, что за время Т =100 ч не произойдёт ни одного переполнения бункера.

3.20.На отрезке [0;1] случайным образом выбрано 100 чисел, точнее

рассматриваются 100 независимых средних X1, X 2 ,...X n , равномерно распределённых на отрезке [0;1]. Найти вероятность того, что их сумма заключена между 51 и 60, т.е. P 51 Xi 60 .

77

Раздел IV МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Математическая статистика (МС) – раздел математики, изучающий методы сбора, анализа и обработки статистических данных о массовых явлениях на основе теории вероятностей. Методы ТВ позволяют выявить свойства случайных событий и являются теоретическим обоснованием принятия решений.

Объектом исследования математической статистики являются массовые явления ( ) в предположении, что опыт (процесс) протекает в одних и тех же условиях.

МС решает задачи:

описательная – сбор и обработка результатов экспериментов; аналитическая – а) оценка неизвестных вероятностей, функций

распределения, числовых данных (параметров) распределения, б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или величине параметров; в) прогнозирование результатов деятельности; г) выявление взаимосвязи между явлениями.

4.1 Основные определения: генеральная совокупность, выборки и их характеристики

Практически любое событие можно описать количественным признаком. Например, мгновенное напряжение в сети, длительность телефонных разговоров, время работы прибора, время ожидания в очереди и т.д. Из-за многих действующих факторов эти признаки являются случайными величинами.

Генеральной совокупностью (ГС) называется вся совокупность однородных объектов, подлежащая изучению, относительно некоторого количественного или качественного признака Х. Считается, что случайная величина (с.в.) Х – статистический признак, для генеральной совокупности имеет определённую функцию распределения и соответствующие числовые характеристики, которые мы будем называть теоретическими. Другими словами, генеральная совокупность

нередко требует повреждение объекта. Поэтому свойства СВ Х изучаются на основе некоторого ограниченного множества данных, которое называется выборкой.

78

Выборка представляет собой совокупность случайно отобранных объектов из ГС. Число элементов выборки называется объёмом выборки. Значения элементов образуют вектор Х в п- мерном пространстве. При этом для каждой выборки получаются новые значения, т.е. элементы являются случайными величинами. А поскольку наблюдения независимы, то и элементы Хi взаимно независимы. К тому же все они одинаково распределены. Основное требование, предъявляемое к выборке – репрезентативность, т.е. объекты выборки должны как можно точнее отображать свойства признака ГС и не содержать систематических ошибок.

4.2 Вариационный и статистический ряды и их характеристики.

Результаты наблюдений представляют собой ряд чисел хi , который для дальнейшей обработки необходимо упорядочить. Операция расположения значений признака Х по возрастанию называется

ранжированием опытных данных.

Вариационным рядом называют совокупность всех элементов хi выборки, записанных в неубывающем порядке. Значения хi называются вариантами, а количество одинаковых элементов – частотами

k

пi вариантов. Очевидно, ni n – объём выборки. Разность

i 1

R xmax xmin , где xmax x1, xmin xk , называется размахом выборки. Статистическим рядом называют последовательность различных элементов выборки x1, x2 ,..., xk , записанных в возрастающем по-

рядке и соответствующих им частот, с которыми эти элементы содержатся в выборке. Статистический ряд можно изобразить в виде таблицы:

Графически статистический ряд представляется в виде полигона частот, по оси абсцисс которого откладываются значения хi , а по ординатам – абсолютные или относительные частоты.

79

Пример. В результате тестирования группы из 25 студентов по-

лучены следующие баллы: 4, 0, 3, 4, 1, 0, 3, 4, 1, 0, 4, 0, 0, 3, 1, 0, 1, 1,

3, 2, 3, 1, 2, 1, 2. В результате ранжирования получается следующая таблица:

Соответствующий полигон частот имеет вид (Рис. 4.1):

Выборочной функцией распределения в( ) называется накоплен-

ная относительная частота события X < x, полученная по данным конкретной выборки:

График функции распределения для рассмотренной выше выборки приведены на рисунке 4.2.

Очевидно, что эмпирическая функция распределения перейдёт в теоретическую функцию распределения при больших значениях п, как это следует из теоремы Бернулли для относительной частоты появления события, которая по вероятности стремится к постоянной вероятности этого события.

4.3 Числовые характеристики выборочных распределений

80