ПриклТеорияКолеб

15

q1 = −α1k1 sin(k1t + δ1).

Полагая, что в начальный момент t0 = 0 , и используя условия (6), получим систему двух уравнений

q10 = α1 cos δ1,

0 = −α1k1 sin δ1.

Второе из этих уравнений показывает, что можно принять δ1 = 0.Тогда из первого уравнения находим α1 = q10.Переходя к исходной переменной q,

запишем частное решение дифференциального уравнения на участке I:

q = α1 cos k1t − d, q = −k1α1 sin k1t.

Исключая из системы этих двух уравнений время, приходим к интегральной кривой, которая в данном случае совпадает с фазовой траекторией

Получили уравнение эллипса, центр которого смещен от начала координат на расстояние d влево вдоль оси q. Естественно, только часть эллипса, лежащая в зоне I, изображена как часть фазовой траектории (см. рис. 6).

Определим время движения t1 в зоне I, учитывая, что для т. А1 q=s/a. По уравнению движения запишем

s / a = α1 cos k1t1 − d,

откуда

являются начальными значениями для построения решения дифференциального уравнения движения на участке II. Этот переход от участка I к участку II и составляет суть метода припасовывания или сшивки решений.

Участок II (q < s / a).

Согласно (3), уравнение движения на этом участке имеет вид

при начальных условиях вида (8). Это уравнение следует решать так же, как и уравнение (5). Поэтому запишем его общее решение в виде (7):

q = α2 cos(k2t + δ2 ).

Для определения α2 и δ2 запишем систему уравнений

17

При решении задачи в соответствии с заданным вариантом использовать следующие числовые значения:

m1 = 4 кг, m2 = 2 кг, c = c1 =8 Н/см, c2 =12 Н/см, s=2 см, r=0,2 м, R=0,4 м, α = 20°, β = 20° (для рис. 3 и 22 β = 70°), d=0,1 м, b=0,2 м, l=0,3 м (для рис.

1 и 2 b=0,3 м, l=0,2 м). Радиусы цилиндров равны 0,1 м (рис. 8, 12, 13, 17, 18, 30) или 0,2 м (рис. 9, 23, 25, 28). Если на рисунке изображено одно подвижное тело, массу принять равной m1.

Пружины в положении равновесия сжаты на 2 см (рис. 3, 4, 9, 10, 11, 16, 21, 22, 29). На рис. 14 в изображенном положении пружина не напряжена и связь между телом и пружиной не удерживающая (т.е., при движении тела вверх пружина не растягивается).

Радиусы инерции вращающихся тел на рис. 8, 12, 17, 30 и катков на рис. 20, 21, 24, 29 принять равными 0,1 м. Радиус инерции тела на рис. 2 равен 0,25м. В остальных случаях стержни и цилиндры считать однородными.

Механизмы считать расположенными в горизонтальной плоскости. Начальные условия:

для рис. 1, 2, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 18, 20, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 30 Тип А: q0 = 0,15 рад, q0 = 0 ;

Тип Б: q0 = 0, q0 = 4 рад/с;

Тип В: q0 = 0,1 рад, q0 = 2 рад/с;

для рис. 3, 4, 6, 10, 11, 16, 17, 19, 21, 22, 27

Тип А: q0 = 0,05 м, q0 = 0 ;

Тип Б: q0 = 0, q0 = 0,4 м/с;

Тип В: q0 = 0,03 м, q0 = 0,2 м/с.

18

ЗАДАЧА 3

Исследование свободных и вынужденных колебаний механической системы с двумя степенями свободы

Условие задачи.

Механическая система с двумя степенями свободы состоит из нескольких тел с массами mi. На схемах (см. рисунки на с. 33–36) указаны радиусы колес Ri, коэффициенты жесткости пружин или валов ci. Кинетической энергией скручиваемых валов и потенциальной энергией сил тяжести пренебречь. Колеса и стержни – сплошные однородные тела. Необходимо:

1)составить уравнения движения механической системы;

2)определить частоты свободных колебаний;

3)найти формы главных колебаний системы;

4)найти закон движения механической системы, если известно, что в начальный момент времени тела 1 и 2 были отклонены от положения равновесия

на углы ϕ10 и ϕ20 (или смещены на расстояния x10 и x20 ), соответственно, и имели угловые скорости ϕ10 и ϕ20 (или линейные скорости x10 и x20 );

5)пренебрегая сопротивлением, исследовать вынужденные колебания сис-

19

Варианты условий для рис. 6, 12, 15, 18, 27 – 29 (для рис. 18: m3 = m2= m1)

20

Варианты условий для рис. 30

или силы F = F0 sin ωt, приложенных к телу 1 в плоскости его колебаний. Угловое (линейное) смещение тела 1 при M = M0 (F = F0) равно ϕ1стат

(x1стат).

Методические указания и пример решения задачи

Дано: m1 = 40 кг, m2 = 60 кг,

R1 = R; R2 = 1,2R, R = 0,4 м, c1 = 1 104 Н м/рад,

c2 = 3 104 Н м/рад, c = 6 104 Н/м, ϕ10 = 0, ϕ10 = 0,1 рад/с, ϕ20 = 0,01 рад, ϕ20 = 0, ϕ1стат = 0,03 рад.

Необходимо: исследовать свободные и вынужденные колебания систе-

мы.

Рис. 7

Решение.

3.1.Уравнения движения механической системы

Предположим, что в состоянии покоя системы (состоянии равновесия) пружина с коэффициентом жесткости c деформирована на величину λст, а валы с коэффициентами жесткости c1 и c2 закручены на углы ϕст1 и ϕст2 соответственно.

Так как в задаче рассматриваются малые колебания вблизи положения равновесия консервативной механической системы со стационарными связями, то кинетическая и потенциалная энергии системы записываются в форме

21

2×2 матрица обобщенных коэффициентов жесткости. Верхний индекс “Т” означает операцию транспонирования. В уравнениях (2) учтено, что

матрицы € и € являются симметричными, то есть m = m и c = c .

M C 12 21 12 21

Тогда систему уравнений Лагранжа (1) можно записать как систему линей-

€€

исоставление уравнений движения сводится к нахождению матриц M и C . В качестве обобщенных координат выберем: ϕ1 и ϕ2 − углы поворота колес 1

и2 от их равновесных положений соответственно (рис. 7). Сформируем век- тор-столбец обобщенных координат:

Кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии двух колес:

Сравнивая соотношения (2) и (6) для кинетической энергии системы, легко получить выражение для матрицы коэффициентов инерции:

В данном случае были учтены явные выражения для моментов инерции I1 и I2 колес, представляемых однородными дисками.

Если механическая система имеет более сложную структуру, следует воспользоваться кинематическими соотношениями, выразить ее кинетическую энергию через обобщенные скорости и привести к виду (6), что позволит найти приведенные моменты инерции или массы.

Потенциальную энергию системы вычислим как сумму

Π = Πтяж + Πупр,

где Πтяж — потенциальная энергия тел в поле сил тяжести; Πупр потенциальная энергия деформированных валов и пружины.

Так как при движении системы положение центров масс колес не изменяет-

ся, то принимаем Πтяж = 0.

Потенциальную энергию пружин и валов найдем, выбрав в качестве нулевого значение потенциальной энергии системы в положении покоя

22

=12 c1ϕ12 + 12 c2ϕ22 + 12 c(ϕ1R1 + ϕ2 R2 )2 +

+c1ϕст1ϕ1 + c2ϕст2ϕ2 + cλст(ϕ1R1 + ϕ2 R2 ).

Сучетом условий равновесия рассматриваемой системы, находящейся под действием потенциальных сил,