Высшая математика для 1 и 2 курса

9.2. Степенные ряды

Ряд вида

n=0

где an , n = 0, 1, 2, K – постоянные числа, называется степенным рядом.

Множество значений аргумента х, для которых степенной ряд (9.10) сходится, называется областью сходимости этого ряда.

При нахождении области сходимости степенного ряда используется понятие радиуса сходимости и интервала сходимости степенного ряда.

Величина R ³ 0 (где R – число или символ +∞) такая, что при всех х, удовлетворяющих неравенству x < R , ряд (9.10) сходится, и при

всех х, удовлетворяющих неравенству x > R , ряд (9.10) расходится,

называется радиусом сходимости степенного ряда (9.10).

Известно, что у всякого степенного ряда существует радиус сходимости.

Множество точек х, для которых x < R , называется интервалом

сходимости ряда (9.10).

Очевидно, что интервал сходимости есть открытый интервал (R, R) с центром в точке х = 0 .

На концах интервала сходимости, т. е. при x = ±R ряд, (9.10) может либо сходиться, либо расходиться.

Отметим, что у некоторых степенных рядов интервал сходимости

если стоящие в правых частях этих равенств, пределы существуют.

111

n

Задача 10. Найти область сходимости степенного ряда ∑ x .

n=1 n2n

Решение. Вычислим радиус сходимости степенного ряда по форму-

Следовательно, интервал сходимости данного ряда будет(−2; 2) . Это означает, что при x < 2 ряд сходится, а при x > 2 – расходится.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах интервала сходимости, т. е. в точках x1 = 2 и x2 = −2 .

Подставив в исходный степенной ряд x1 = 2 , получим числовой

степенной ряд в точке x1 = 2 расходится.

Подставив в исходный степенной ряд x2 = −2 , получим знакоче-

знаку Лейбница этот ряд сходится (см. задачу 9), следовательно, и степенной ряд в точке x2 = −2 сходится. Итак, областью сходимости

нашего степенного ряда является числовой промежуток [–2; 2). Замечание. Отметим, что степенной ряд вида

Радиус сходимости ряда (9.13) также вычисляется по формулам

(9.11) и (9.12).

Сходящиеся степенные ряды обладают рядом замечательных свойств. В частности, внутри интервала сходимости их можно почленно интегрировать и дифференцировать, при этом полученные степенные ряды будут иметь тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

112

9.3. Ряды Тейлора и Маклорена

Теорема. Если функция f (x) и ее производные всех порядков определены, непрерывны и ограничены на (a; b) , а точки х0 и х принад-

Поскольку основные элементарные функции ex , sin x , cos x удовлетворяют условиям сформулированной выше теоремы на всей числовой прямой, то при любом x R имеют место следующие разложения:

а для − 1 < x < 1

113

Приведенные разложения используются для приближенного вычисления определенных интегралов, для приближенного вычисления значений функций, для решения дифференциальных уравнений и т. д.

имеет вид (9.21), то подставляя в это разложение вместо х переменную х2, получим

ln(1 + x2 ) = x2 - x4 + x6 - x8 + K .

2 3 4

Используя это разложение и почленно интегрируя, получим:

Т. к. при вычислении интеграла мы получили знакочередующийся числовой ряд, то отбросив при вычислении его сумм все члены, начи-

первого отброшенного члена (согласно признаку сходимости Лейбни-

114

Задача 12. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y′ = x2 + y2 , и удовлетворяющего начальному условию y(0) = 1.

Решение. Запишем искомое решение у(х) дифференциального уравнения в виде степенного ряда Маклорена

производных в (9.23), получим искомое разложение

y(x) = 1 + x + 2 x2 + K = 1 + x + x2 + K. 2!

115

Данный двойной интеграл можно вычислить и по формуле (10.2), Спроектировав область D на ось Oy в отрезок [0;1], как показано на

рис. 10.3 б. Тогда

Замечание 1. Переход при вычислении двойного интеграла от расстановки пределов интегрирования по формуле (10.1) к расстановке пределов по формуле (10.2) называется изменением порядка интег-

рирования.

Замечание 2. Если область D не удовлетворяет вышеуказанным условиям, то ее разбивают на несколько областей, каждая из которых удовлетворяет указанным условиям.

В некоторых случаях вычисление двойного интеграла значительно упрощается, если перейти к полярной системе координат. При переходе от декартовых координат x и y к полярным r и ϕ по формулам

x = r cos ϕ и y = r sin ϕ двойной интеграл преобразуется по формуле

причем стоящий в правой части (10.3) интеграл также вычисляется сведением к повторному. Возможны следующие три случая.

1. Полюс находится вне области интегрирования. Область интегрирования D ограничена лучами ϕ = α и ϕ = β (α < β), граничными кривыми r = φ1 (ϕ) и r = φ 2 (ϕ), причем любой луч, выходящий из по-

люса и проходящий через область D, пересекает границу не более чем в двух точках (рис. 10.4). Тогда

2. Полюс находится на границе области, и область интегрирования D ограничена лучами ϕ = α и ϕ = β (α < β) (рис. 10.5). Тогда ин-

теграл (10.3) вычисляется по формуле

118

Границу области D и подынтегральную функцию удобнее выразить в полярных координатах, поэтому переходим к полярным координатам и вычисляем данный интеграл по формуле (10.4):

∫∫ x2 + y 2 dxdy = ∫∫ r 2 cos2 j + r 2 sin 2 j rdrdj = ∫∫r 2 drdj =

Замечание 4. Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла. В частности, двойной интеграл по области D от функции, тождественно равной единице равен площади области D:

10.2.Тройные интегралы, их вычисление в декартовой

ицилиндрической системах координат

Тройной интеграл определяется как конечный предел интегральной суммы от функции u = f (x; y; z) по трехмерной области V и обо-

значается ∫∫∫ f (x; y; z)dxdydz [2].

V

Если f (x; y; z) ≡ 1, то тройной интеграл равен объему области V .

Вычисление тройного интеграла сводится к повторному, а затем к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Если область V снизу ограничена поверхностью z = y1 (x; y), сверху – по-

120