Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный технологический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

высшая математика ч3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.03.2015

Размер:

551.72 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

10.1.2. Вычисление двойного интеграла

Предположим,

системы неравенств

что область	D (рис. 10.3) можно задать в виде
a ≤ x ≤ b,
1		2	(x).
y (x) ≤ y(x) ≤ y			(x).

Геометрически это означает, что если проводить вертикальные

прямые x = xi	( a < xi < b ) через внутренние точки области D , то они
пересекают границу области в точках M i		(точках «входа») и точках
Ni (точках	«выхода»), причем точки	M i принадлежат кривой

y = y1 (x) , а точки Ni	принадлежат кривой y = y2 (x) . Тогда
	b	y2 ( x)
∫∫ f (x; y)dxdy = ∫ dx		∫ f (x; y)dy .	(10.3)
D	a	y1 ( x)

Если же область D (рис. 10.4) можно задать в виде системы

c ≤ y ≤ d ,

неравенств то

x1 ( y) ≤ x( y) ≤ x2 ( y),

	d	x2	( y)
∫∫ f (x; y)dxdy = ∫ dy			∫ f (x; y)dx .	(10.4)
D	c	x1	( y)

					y
y		Ni			d
					d
y = y2 (x)						x = x2 ( y)
y = y2 (x)					x = x ( y)	x = x2 ( y)
		D			1	D
		D			M i	Ni
y = y1 (x)					M i	Ni
y = y1 (x)		M i			0
	a	M i	b		0	x
0	a	xi	b	x	c
		Рис. 10.3			Рис. 10.4

Интегралы, стоящие в правых частях равенств (10.3) и (10.4), называются повторными (или двукратными). Они отличаются друг от друга порядком интегрирования. Интеграл, содержащий функцию f (x; y) , называется внутренним интегралом, другой – внешним. При

вычислении повторных интегралов следует брать сначала внутренний интеграл, при этом переменная, не стоящая под знаком

дифференциала, считается постоянной. Затем вычисляется внешний интеграл. Каждый из них вычисляется по формуле Ньютона– Лейбница как определенный интеграл.

Области, не представимые в описанном выше виде, следует разбить на конечное число таких областей при помощи прямых, параллельных координатным осям.

10.1.3. Примеры решения задач

1 x2

Пример 1А. Вычислить повторный интеграл∫ dx ∫ xydy .

0 0

Решение. Сначала вычислим внутренний интеграл по формуле Ньютона– Лейбница. Его результат будет подынтегральной функцией для внешнего интеграла.

									2						1 x				2											1 x				2															x	2
									2										2															2															x	2
				1				x																																				1		y	2

				∫ dx ∫ xydy = ∫														∫ xydy						dx =						∫ x		∫ ydy dx = ∫ x																			dx =
				∫ dx ∫ xydy = ∫														∫ xydy						dx =						∫ x		∫ ydy dx = ∫ x																			dx =
				0				0							0 0															0 0														0		2		0
				0				0							0 0															0 0														0		2		0

1							4								1		x	5						1		1		5					1 x			6			1				1
1							4								1			5								1										6			1
			x
= ∫ x								- 0			dx = ∫									dx			=			∫ x			dx =												=				.
= ∫ x					2			- 0			dx = ∫						2			dx			=	2		∫ x			dx =			2 6									=				.
0					2										0		2							2		0						2 6							0			12
0															0											0													0								2			y
																																															2			y
				Пример 2А. Вычислить повторный интеграл ∫ dy∫ (x 2 + 2 y)dx .
																																															0			0
															2		y														2 y
				Решение.											∫ dy∫ (x							2	+	2 y)dx = ∫											∫ (x		2			+
				Решение.											∫ dy∫ (x								+	2 y)dx = ∫											∫ (x					+		2 y)dx dy =
															0		0													0					0
	2		x	3									y					2					3					2										1			2		3				2			2
	2			3									y					2					3																		2						2
= ∫														dy = ∫							y																				∫			dy + 2∫ y
																							+			2 y																y									dy	=
			3				+ 2 yx																+			2 y			- 0 dy =								3					y									dy	=
0			3									0						0				3															3				0						0
												0
		y 4				2 +				2 y 3				2
=	1	y 4								2 y 3				2	=	1			×16 +						2		×8 =				20	.
=			4								3				=				×16 +								×8 =					.
3			4				0				3			0	12									3						3
							0							0																																	∫∫(x + y)dxdy , где
				Пример 3А. Вычислить двойной интеграл																																											∫∫(x + y)dxdy , где
																																															D
область								D			–				параболический																сегмент,											ограниченный										параболой
y = x 2							и прямой y = x .

Решение. Сведем двойной интеграл к повторному. Изобразим

область интегрирования (рис. 10.5).

Область

можно

задать

виде

системы

неравенств

≤ x ≤ 1,

Тогда, используя формулу (10.3), можно записать

≤ y ≤ x.

∫∫(x + y)dxdy = ∫ dx ∫ (x + y)dy =

∫

= ∫

−

x 2

3 x

1 x

− x

= ∫

− x

−

dx =

2 3

−

2 5

Пример 4А. Изменить порядок интегрирования в повторном

интеграле ∫ dx ∫ f (x; y)dy .

Решение. По пределам интегрирования построим область D :

0 ≤ x ≤ 1,

x3 ≤ y ≤ x 2 . Строим кривые

y = x 2 ,

y = x3 , прямые x = 0 ,

x = 1 (рис. 10.6).

Область

можно

задать

виде

системы

неравенств

0 ≤ y ≤ 1,

∫ dx ∫ f (x; y)dy = ∫ dy ∫ f (x; y)dx .

По формуле (10.4)

≤ x( y) ≤ 3 y.

y = x2

y = x

y = x 2

y = x3

Рис. 10.5

Рис. 10.6

Пример 5А. Вычислить двойной интеграл

∫∫ dxdy ,

где D –

область, ограниченная линиями y = x 2 ,

y + x = 2 ,

y = 0 .

Решение. Построим область интегрирования D (рис. 10.7).

1) Если проводить вертикальные прямые через внутренние точки области D , то точки «входа» M1 и M 2 принадлежат одной линии, а

точки «выхода» двум линиям, поэтому для вычисления двойного интеграла область D нужно разбить на две области D1 и D2 и

исходный

интеграл

будет

равен

сумме

двух

интегралов:

∫∫ dxdy = ∫∫ dxdy + ∫∫ dxdy .

y = x2

N 2

y + x = 2

M 2 2

Рис. 10.7

Область D1 с помощью системы неравенств можно задать

следующим

образом:

0 ≤ x ≤ 1,

0 ≤ y ≤ x2 . Область

D2 :

1 ≤ x ≤ 2 ,

0 ≤ y ≤ 2 − x . Поэтому двойной интеграл по области

D будет равен

сумме двух повторных интегралов

2−x

∫∫ dxdy = ∫∫ dxdy + ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy + ∫ dx ∫ dy =

2x −

2) если проводить горизонтальные прямые, то область

D можно

записать

помощью одной

системы

неравенств

0 ≤ y ≤ 1,

y ≤ x ≤ 2 − y , и тогда по формуле (10.4)

				1			2− y		1						2− y					1
	∫∫ dxdy = ∫ dy ∫ dx = ∫											x							dy = ∫		(2 − y − y )dy =
	∫∫ dxdy = ∫ dy ∫ dx = ∫											x							dy = ∫		(2 − y − y )dy =
	D			0					0								y			0
								y
								y
		y	2		2 y	3 / 2		1		3	−		2	=		5
			2			3 / 2		1
=	2 y −			−					=									.
=	2 y −			−					=									.
		2		3					2			3		6
		2		3				0	2			3		6
								0

Таким образом, при вычислении двойного интеграла следует выбирать порядок интегрирования.

10.1.4. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Пусть в полярных координатах (ϕ; r)			область D задана в виде
системы неравенств
α ≤ ϕ ≤ β,

r (ϕ) ≤ r ≤ r (ϕ).
1	2
		Ni	r = r2 (ϕ)
	r = r1 (ϕ)		r = r2 (ϕ)
	r = r1 (ϕ)
		M i
		β
		α
				p
	0			p
		Рис. 10.8
Формула замены переменных в двойном интеграле при переходе
к полярным координатам имеет вид
∫∫ f (x; y)dxdy = ∫∫ f (r cos ϕ ; r sin ϕ)rdrdϕ =
D		D
β	r2 (ϕ)		(10.5)
= ∫ dϕ	∫ f (r cos ϕ ; r sin ϕ)rdr.

αr1 (ϕ)

Замечание. Между декартовыми координатами (x; y) точки M и ее полярными координатами (ϕ; r) существует связь (рис. 10.9). Пусть полярная ось p совпадает с положительной полуосью Ox , а

полюс полярной системы координат O совпадает с началом координат системы Oxy .

Из рис. 10.9 видно, что прямоугольные координаты x , y точки M выражаются через полярные координаты r , ϕ точки следующим

образом:

x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ .

Отметим также, что dxdy = rdrdϕ .

К полярным координатам особенно удобно переходить в тех случаях, когда область интегрирования круг или часть круга. Переход

к повторному интегралу (расстановка пределов) выполняется аналогично случаю прямоугольных координат.

Пример.

Вычислить ∫∫

x2 + y 2 dxdy ,

переходя к

полярным

координатам, если D –

первая четверть круга x2 + y 2 ≤ a2 .

Решение. Область D представлена на рис. 10.10.

Используем формулу (10.5) перехода к полярным координатам.

∫∫

dxdy =∫∫

rdϕdr = ∫∫r 2dϕdr =

x2 + y 2

r 2 cos2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ

π / 2

πa

∫

dϕ∫ r

dr =

∫

dϕ = ∫

dϕ =

π / 2

x2 + y 2 = a2

r = a

Рис. 10.9

Рис. 10.10

10.1.5. Задачи для самостоятельного решения

ln y

1. Вычислить повторные интегралы: а)

∫ dx ∫ dy ; б) ∫ dy ∫ e x dx .

Вычислить

∫∫

dxdy , где D

–

прямоугольник

0 ≤ x ≤ 2 ,

+ y 2

0 ≤ y ≤ 1.

∫∫ (x3 + y 3 )dxdy ,

Вычислить

где

–

область, ограниченная

линиями x − 2 y = 0 , x − y = 0 , x = 4 .

4. Вычислить ∫∫ ydxdy , где D – область, ограниченная линиями x = 0 ,

y = x , x + y = 2 .

5.	Перейти								к		полярным								координатам						в двойном			интеграле
∫∫ f (x; y)dxdy , где а)														D –		x 2 + y 2 ≤1 ; б)							D –	кольцо 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 .
D
																					dxdy , переходя
6.			Вычислить											∫∫		9 − x2 − y 2					dxdy , переходя						к	полярным
											x 2 + y 2 ≤9
координатам.
																					Б
									4		2			1
7.	Вычислить ∫ dx∫													1				dy .


									3		1 (x + y)2
									1				2 − y
8.	В интеграле ∫ dy													∫ f (x; y)dx изменить порядок интегрирования.
									0					y
9.	Вычислить ∫∫(x + y)dxdy , где D – область, ограниченная линиями
										D
x = 0 , y = x2 + 2x − 3 , 2 y = 3x .
																			dxdy , где
10. Вычислить										∫∫		4 − x2 − y 2							dxdy , где				D –		область, ограниченная
										D
линией x 2 + y 2 = 2x .

									a				a 2 − x 2			e x 2 + y 2 dy .
11. Вычислить ∫ dx														∫		e x 2 + y 2 dy .
									0					0
																		10.1.6. Ответы
																				A			2π
		2						1				2					752			11			2π	1
1. а)							; б)			. 2.				π . 3.					. 4.			. 5. а) ∫ dϕ∫ f (r cos ϕ ; r sin ϕ)rdr ;
				a		a


	3				2						3				5				12				0	0
	2π																						0	0
	2π		2
б)	∫ dϕ∫ f (r cos ϕ ; r sin ϕ)rdr . 6. 18π .
	0		1
																				Б
			25		1				x						2				2 − x					208			16 π		2
7.	ln				. 8. ∫ dx∫ f (x; y)dy + ∫ dx ∫ f (x; y)dy . 9.																					. 10.		−		.
			24		0				0						1				0					15			3 2		3

11.π (ea 2 − 1) . 4

10.2. Вычисление объемов тел и площадей плоских фигур

Справочный материал (простейшие поверхности и их уравнения)

1.Уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 .

2.Уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат:

x2 + y 2 + z 2 = R2 .

3.Уравнение параболоида вращения z = x2 + y 2 (рис. 10.11).

4.Уравнение конической поверхности вращения: z 2 = x2 + y 2

(рис. 10.12).

	0	y
0	y	y
	y
	x
x	x
x		Рис. 10.12
Рис. 10.11		Рис. 10.12
Рис. 10.11

5. Уравнение цилиндрической			поверхности с образующими,
параллельными оси Oz , и направляющей F (x; y) = 0 : F (x; y) = 0 .
Например,	функция	y = x 2	в пространстве	задает
цилиндрическую	поверхность	с направляющей параболой		y = x 2 ,

лежащей в плоскости Oxy , и образующими, параллельными оси Oz

(рис. 10.13).

Вычисление объемов тел и площадей плоских фигур

1.	Если D – ограниченная область	плоскости Oxy , то ее
площадь S вычисляется по формуле
	S = S (D) = ∫∫ dxdy .	(10.6)
	D
2.	Если V – цилиндрическое	тело с образующими,

параллельными оси Oz , ограниченное снизу областью D , а сверху поверхностью z = f (x; y) ³ 0 (рис. 10.2), то объем этого тела

вычисляется по формуле

V = ∫∫ f (x; y)dxdy .

(10.7)

3. Если V –

тело, ограниченное снизу поверхностью z = g(x; y) ,

сверху

– поверхностью z = f (x; y) ,

причем проекцией этих

поверхностей на

плоскость Oxy является область D , в которой

f (x; y) и g(x; y)

непрерывны ( f (x; y) ³ g(x; y) ), то объем этого тела

(рис. 10.14) вычисляется по формуле

V = ∫∫ ( f (x; y) − g(x; y))dxdy .

(10.8)

z = f (x; y)

z = g(x; y)

y = x2

Рис. 10.13

Рис. 10.14

Пример 1А. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = 0 , z = 2 - y , y = x 2 .

Решение. Тело, объем которого нужно вычислить, изображено на рис. 10.15. Поверхность y = x 2 – цилиндрическая (см. справочный материал), z = 2 - y – плоскость, параллельная оси Ox (так как в

уравнении отсутствует переменная x ) и пересекающая ось Oz в точке (0; 0; 2) , ось Oy в точке (0; 2; 0) , z = 0 – уравнение плоскости Oxy .

Тело симметрично относительно плоскости zOy , следовательно, можно вычислить объем половины тела и результат

удвоить. Область D –								проекция тела на плоскость xOy . По формуле
(10.7) имеем

													2	2
		V = ∫∫ (2 − y)dxdy = 2∫∫ (2 − y)dxdy = 2 ∫ dx ∫ (2 − y)dy =
				D							D		0	x2
											1
					y 2	2							4
	2				y 2	2			2		2	1	4		32 2
																.
= 2 ∫			2 y −				dx =	2 ∫		4 − 2 − 2x		− x	dx =			.
= 2 ∫			2 y −	2			dx =	2 ∫		4 − 2 − 2x		− x	dx =		15
0				2		x2		0				2			15
						x2

	z		y	y = x2
	2	B	2	A
		B		D1
	0	D	y
		2	y
x	y = x	2	0	2	x
		A
	Рис. 10.15			Рис. 10.16

Пример 2А. Найти площадь области D , ограниченной линиями x + y − 7 = 0 , xy = 6 .

Решение. Данная область,

ограниченная

прямой y = 7 − x и

гиперболой

y =

изображена

на

рис.

10.17. Решаем

систему

y = 7 − x,

уравнений

Отсюда

7 − x =

x 2 − 7x + 6 = 0 ,

x = 1,

x2 = 6 , y1 = 6 ,

y2 = 1. Тогда

A(1; 6) ,

B(6;1) –

точки

пересечения

прямой и гиперболы.

Рис. 10.17

Применяя формулу (10.6), находим площадь области D .

7− x

S = ∫∫ dxdy = ∫ dx ∫ dy = ∫ y

dx = ∫

7 − x −

dx =

− 6 ln 6 .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
26.03.2015433.8 Кб103shpory_syrye_2.docx
#
26.03.2015385.9 Кб50vyshka_3_semestr_vsya.docx
#
26.03.20152.48 Mб211Волк_Высшая математика.2010.pdf
#
26.03.201514.51 Кб18вопросы по вышке.docx
#
26.03.20151.46 Mб2234Высшая математика для 1 и 2 курса.pdf
#
26.03.2015551.72 Кб56высшая математика ч3.pdf
#
26.03.2015170.92 Кб39Высшая математика.docx
#
26.03.201520.41 Mб8высшая математика2002_copy.pdf
#
26.03.201517.78 Кб16Вышка. Вопросы к экзамену(3 семестр).docx
#
26.03.2015116.22 Кб15Вышка.doc
#
26.03.2015408.97 Кб12вышка.pdf