Дискретная математика - Лабораторная работа 6
.docЛабораторная работа №6
Метод математической индукции
Метод математической индукции – метод доказательства, основанный на применении принципа математической индукции
Натуральный ряд – числовая последовательность, элементами которой являются натуральные числа
Метод математической индукции является важным способом доказательства предложений (утверждений), зависящих от натурального аргумента.
Метод математической индукции состоит в следующем:
Предложение (утверждение) P(n), зависящее от натурального числа n, справедливо для любого натурального n если:
-
P(1) является истинным предложением (утверждением);
-
P(n) остается истинным предложением (утверждением), если n увеличить на единицу, то есть P(n + 1) - истинное предложение (утверждение).
Таким образом метод математической индукции предполагает два этапа:
-
Этап проверки: проверяется, истинно ли предложение (утверждение) P(1).
-
Этап доказательства: предполагается, что предложение P(n) истинно, и доказывается истинность предложения P(n + 1) (n увеличено на единицу).
Пример
.
При n = 1 равенство примет вид , 1=1, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место
.
Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть
истинно. Поскольку (используется предположение индукции)
Получим
то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.
Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.
Задание
Доказать равенства для всех натуральных n (Выполнить два задания)
12) 2+4+6+…+2n=n(n+1)
13) 2+10+24+…+(3n2-n)=n2(n+1)
14) 2+16+56+…+(3n-2)*2n=10+(3n-5)*2n+1
15) 5+45+325+…+(4n+1)*5n-1=n*5n
16) 12+32+52+…+(2n-1)2=
17) 1*2*3+2*3*4+3*4*5+…+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)
18)