praktikum_po_lineinoi_algebre

Математический портал

Math-Life www.math-life.com

Министерство образования Российской Федерации

Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М. В. Ломоносова

Кафедра высшей и прикладной математики

М.И. Скворцова, Г.С. Кротов

Практикум

по линейной алгебре

для студентов вечернего отделения

1-го курса

(Учебно-методическое пособие)

Москва, 2004 г.

УДК 512.8:516

ББК С42

Рецензенты: д.т.н., профессор Филиппов И.Г., Московский строительный университет; к.ф.-м.н., доцент Каролинская С.Н.,

Московский авиационный институт им. С. Орджоникидзе.

Скворцова М.И., Кротов Г.С., Практикум по линейной алгебре для студентов вечернего отделения 1-го курса, Учебно-

методическое пособие — М.: МИТХТ, 2004 г, 80 стр., рис. 9.

Пособие представляет собой конспекты 13 практических

занятий по курсу линейной алгебры для студентов вечернего отделения МИТХТ им. М. В. Ломоносова. Курс включает в себя

элементы теории матриц, векторной алгебры, аналитической геометрии, теории систем линейных уравнений.

Каждое занятие посвящено отдельной теме. Конспекты 11-и

занятий содержат краткое изложение соответствующей теории,

типовые примеры и задачи для самостоятельного решения (с

ответами). В конспектах двух занятий приведены образцы вариантов двух контрольных работ (с решениями), проводимых на этих занятиях.

Пособие предназначено для студентов вечернего отделе-

ния вузов химического профиля.

Утверждено Библиотечно-издательской комиссией МИТХТ в каче-

стве учебно-методического пособия

© МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2004 г.

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Занятие 1. Матрицы и операции с ними. Определитель матрицы…4

Занятие 2. Ранг и элементарные преобразования матрицы.

Обратная матрица…………………………………………………………10

Занятие 3. Решение систем линейных уравнений методом

Гаусса…..……………………………………………………………………17

Занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом Крамера и матричным методом. Решение матричных уравнений..22

Занятие 5. Контрольная работа №1 по теме "Матрицы, определители, системы линейных уравнений"……………………….27

Занятие 6. Вектора. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису………………………………………….31

Занятие 7. Линейная зависимость и независимость системы

векторов……………………………………………………………………..39

Занятие 8. Скалярное произведение векторов……………………..47

Занятие 9. Векторное и смешанное произведение векторов…….51

Занятие 10. Плоскость в пространстве………………………………..56

Занятие 11. Прямая в пространстве и на плоскости. Совместные задачи на прямую и плоскость…………………………………………..60

Занятие 12. Контрольная работа №2 на тему "Вектора. Прямая и плоскость в пространстве"……………………………………………….68

Занятие 13. Собственные числа и собственные вектора

матрицы……………………………………………………………………..73

Литература………………………………………………………………….80

4

Занятие 1.

Матрицы и операции с ними.

Определитель матрицы.

Определение. Матрица А размера mxn с элементами аij —

это прямоугольная таблица чисел из m строк и n столбцов:

где i — номер строки, j — номер столбца; i =1,…,m; j =1,…,n.

Терминология, используемая в теории матриц.

1) квадратная (прямоугольная) матрица: m = n (m≠n);

2) диагональные элементы матрицы: aii, i=1,…,n;

3)главную диагональ матрицы образуют диагональные элементы;

4)диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все aij=0, i≠j;

5)единичная матрица — это диагональная матрица, у которой

которой aij =1 для всех i и j);

6)верхняя треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы под главной диагональю равны нулю (аналогично определяется нижняя треугольная матрица);

5

7)матрица-столбец (строка) — содержит m строк и 1 столбец (1

строку и n столбцов).

Линейные операции над матрицами.

1) Сложение матриц. Даны A = (aij ) и B = (bij ) одного

размера. Определяем их сумму C = A +B , где С = (сij ), cij = aij + bij

(i =1,...,m; j =1,...,n) .

Умножение матриц.

Для двух матриц A и B таких, что число столбцов у A равно числу строк у B, определяется их произведение C = AЧB ( заметим,

что в общем случае, АЧВ № ВЧ А !). Объясним на примере, как умножаются матрицы.

Пример 2. Умножим матрицу-строку А на матрицу-столбец

В (длины — одинаковы!), получив матрицу, состоящую всего из одного элемента:

6

Элемент сij в матрице С получается путём умножения i-ой строки в

A на j-ый столбец в B (как это сделано в примере 2). Так, c11

получаем при умножении 1-й строки в A на 1-й столбец в B, c12 —

1-ой строки в A на 2-ой столбец в B и т.д.

Определение. Пусть дана матрица A = (aij ). Поменяем

местами строки и столбцы в A. Полученная таким образом матрица называется транспонированной к A и обозначается A* или AT .

Определители и их свойства.

Определение. Определитель (или детерминант)

D(А), которое ставится ей в соответствие по правилу:

7

Определение. Определитель (или детерминант) квадратной

матрицы 3-ого порядка — это число D(А), которое ставится ей в

соответствие по правилу:

это определитель Мij , получаемый из D(A) вычёркиванием в нём i-

ой строки и j-ого столбца. Алгебраическое дополнение элемента aij

в определителеD(A)— это число Aij = (-1)i+ j Mij .

Замечание. Используя введённые выше обозначения,

запишем

D(A) = a11 Ч A11 +a12 Ч A12 + a13 Ч A13.

Эта формула называется разложением определителя по 1-ой строке. Оказывается, что

D(A) = ai1 Ч Ai1 + ai2 Ч Ai2 + ai3 Ч Ai3 (i=2,3)

(формула разложения определителя по i-ой строке) или

D(A) = aj1 Ч Aj1 + a2j Ч A2j + a3j Ч A3j (j=1,2,3)

(формула разложения определителя по j-ому столбцу).

Отметим также, что аналогичные определения и формулы справедливы и для определителя матрицы А произвольного порядка.

Замечание. Матрицу записываем в круглых скобках, а

определитель матрицы в прямых вертикальных чёрточках. Другие возможные обозначения для определителя: D, А,det A.

8

Свойства определителей.

1) D(A) не меняется при транспонировании A; D(A) меняет знак при перестановке любых 2-х строк (столбцов);

2)если 2 строки (столбца) пропорциональны, то D(A) = 0;

3)D(A) не меняется, если к некоторой строке (столбцу)

прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число;

справедлива и для определителя верхнетреугольной матрицы любого порядка).

Замечание. Для вычисления D(A) надо преобразовать его так, чтобы в нём появилась строка (столбец), содержащая максимальное количество нулей, и затем разложить его по этой строке. Можно также преобразовать D(A) к верхнетреугольному виду и воспользоваться формулой 6. Для всех преобразований используются вышеприведённые свойства определителя.

9

Пример 5. Вычислить Δ:

Сначала умножили первую строку на "4" и вычли из 3-ей строки;

затем разложили определитель по 1-ому столбцу.

Пример 6. Вычислить Δ:

Сначала поменяли местами 1 и 2 строки (появился "-"), затем из 2-й

строки вычли 1-ую, умноженную на "2", а из 3-ей строки вычли 1-ую,

умноженную на "3"; затем разложили определитель по 1-ому столбцу.

Задачи для самостоятельного решения.

I. Перемножить матрицы:

II. Вычислить определитель тремя способами: 1) разложив его по любой строке; 2) разложив его по любому столбцу; 3)

преобразовав его к верхнетреугольному виду:

10

5) D = 2; 6) D = -2; 7) D = 29; 8) D = -1; 9) D = 0 .

Занятие 2.

Ранг и элементарные преобразования

матрицы. Обратная матрица.

Определения. 1) Минором k-ого порядка матрицы A

называется определитель, составленный из элементов матрицы A,

находящихся на пересечении произвольно выбранных k строк и k

столбцов; 2) рангом матрицы A (r(A)) называется наибольший порядок её минора, отличного от нуля; 3) трапециевидная матрица — это матрица, у которой при некотором числе r>1 все

11

Все миноры 4-го порядке в А равны нулю, так как все они содержат нулевую строку, а среди миноров 3-его порядка есть ненулевые, например, минор, образованный элементами,

стоящими на пересечении первых 3-х строк и первых 3-х столбцов.

Поэтому r(A)= 3 .

Элементарные преобразования (э. п.) матриц.

1)Умножение строки (столбца) на любое число, не равное нулю;

2)Перемена местами 2-х строк (столбцов);

3)Прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на любое число, отличное от нуля;

4)Вычёркивание одной из 2-х пропорциональных строк (столбцов)

или вычёркивание нулевых строк (столбцов);

5)Транспонирование.

Теорема. 1) Для трапециевидной матрицы A с r ненулевыми

строками r(A)=r ; 2) Всякую матрицу A можно привести при помощи э. п. к трапециевидной форме, где aii=1, i=1,…,r ; 3) r(A) не меняется при э. п.

Правило нахождения r(A).

Привести A к трапециевидной форме путём э. п. Тогда r(A)=r,

где r — число ненулевых строк у полученной матрицы.

12

Алгоритм приведения матрицы к трапециевидной форме.

1.Сделать а11=1 (используя э. п. 1), 2), 3) );

2.Получить нули в 1-м столбце под а11, при помощи 1-й строки

(используя э. п. 3) );

3.Сделать а22=1 (аналогично пункту 1);

4.Получить нули во 2-м столбце под а22, при помощи 2-й строки

(аналогично пункту 2);

5.И т.д.

Замечание. Переход от матрицы к матрице путём э. п.

обозначается знаками "→" или "~". Нельзя писать знак "=".

В нижеприведённых примерах 2—4 требуется найти r(A) путём э. п.

Пример 2.

Сначала поменяли местами 1 и 2 строки с целью получить в левом верхнем углу единицу; затем умножили 1-ую строку на "2" и

вычли из 2-ой, умножили 1-ую строку на "5" и вычли из 3-ей, и,

наконец, отбросили 3-ю строку, пропорциональную второй, и во 2-

ой строке поменяли знак.

Пример 3.

13

Сначала умножили 1-ую строку на "3" и вычли из 3-ей, затем разделили 2-ю строку на "4", далее умножили 2-ую строку на "2" и

прибавили к 3-ей, и, наконец, разделили 3-ю строку на "2".

Матрица, полученная в результате первого преобразования,

получена транспонированием исходной матрицы.

Обратная матрица

Определение. Пусть A = (aij ) — квадратная матрица

размера nxn. Обратной матрицей для A называется такая

матрица A-1, что AЧ A-1 = A-1 Ч A = E , где E — единичная матрица.

Теорема. Если D(A)№0, то для A существует единственная A-1.

Первый способ нахожденияA-1 (D(A) № 0):

1) вычислить D(A);

алгебраические дополнения элементов aij (i,j=1,…,n);

D(A)

15

Второй способ нахождения А-1:

Составить матрицу, состоящую из исходной матрицы А и

единичной матрицы Е, разделив их вертикальной чертой. При помощи э. п. строк (не столбцов !) этой составной матрицы получить вместо А матрицу Е. Тогда справа от вертикальной черты

получим матрицу А-1:

(А Е)® (Е А-1).

При нахождении А-1 рекомендуется сделать проверку: AЧ A-1 = E .

Пояснения:

(1) — разделили 1-ую строку на "2";

16

(2)— вычли 1-ую строку из 2-ой и 3-ей;