Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный областной университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Heat_conduction_problems

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.03.2015

Размер:

4.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

второго рода (заданы тепловые потоки q1 и q2, рис. 10), тогда

математическая формулировка граничных условий будет иметь

следующий вид:

x = 0 : − λ	∂T			= q	, t > 0;

		∂x	1		(16)

		∂T
x = L : − λ				= q2 , t > 0.
		∂x

Рис. 10. Геометрия задачи (граничные условия второго рода)

Проанализируем соотношения (16):

q1 > 0 на границеx = 0 происходитнагревматериала;

q1 < 0 на границеx = 0 происходитохлаждениематериала; q2 > 0 на границеx = L происходитохлаждениематериала; q2 < 0 на границеx = L происходитнагревматериала.

Проведем дискретизацию граничных условий II рода с погрешностью O(h) . Погрешность аппроксимации вида O(h) означает, что различия между точными значениями и полученными (приближенными) будут одного порядка с шагом по пространству h. Поскольку обычно h <1, то погрешность будет тем меньше, чем выше порядок аппроксимации. Например, погрешность аппроксимации вида O(h2 ) дает результаты более точные, т.к. h2 < h <1.

Поскольку мы будем использовать неявную разностную схему, то левое граничное условие необходимо для определения первых прогоночных коэффициентов α1 иβ1 из соотношения T1 = α1 T2 +β1 .

Итак,

− λ	∂T	= q ;
	∂T

	∂x	1
		x=0
		x=0

− λT2 h−T1 = q1; T1 = T2 + h λq1 .

Отсюда следует, что

α1 =1;

(17)

β1 = h λq1 .

А правое граничное условие используют для определения температуры TN .

Итак,

− λ

∂T

= q2 ;

∂x

x=L

− λ

TN −TN −1

= q2 ;

TN =TN −1 −

h q2

;

т.к. TN −1 = αN −1 TN +βN −1, то

TN = αN −1 TN +βN −1 −

h q2

;

TN =

λ βN −1 − h q2

(18)

λ (1 − αN −1 )

условий II рода с

Проведем дискретизацию

граничных

погрешностью O(h2 ) . Предположим, что на границе выполняется уравнение теплопроводности (3):

ρ с

∂T = λ

∂2T

или ∂T

= a

∂2T ,

(19)

∂t

∂x2

∂t

∂x2

где а – коэффициент температуропроводности материала.

Разложим функцию Т(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0

до

членов

второго

порядка

относительно

T n+1

=T n+1

+ h

∂T

n+1

+ h2

∂2T

n+1

. Используя

соотношение

(19)

∂x

x=0

∂x2

x=0

получим:

n+1

n+1 ;

T n+1 =T n+1 + h

∂T

∂x

x=0

2 a

∂t

x=0

∂T

n+1

T n+1

−T n+1

∂T

n+1

T n+1

−T n+1

T n+1

−T n

−

= −

∂x

2 a

∂t

2 a

x=0

T n+1 −T n+1

T n+1 +

T n

Тогда

−

= −

a τ

Или T n+1 =

2 a τ

T n+1

T n +

2 a τ h q

h2 + 2 a τ

λ (h2 + 2 a τ)

Таким образом,

2 a τ

α1 =

;

+ 2

(20)

a τ h q

β =

T n

+ 2

a τ)

Определим TN

используя правое граничное условие.

TNn−+11 =TNn+1 − h	∂T	n+1

	∂x	x=L

− qλ2 = ∂∂Tx

+ h2

∂2T

n+1

=TNn+1

− h

∂T

n+1

∂T

∂x2

∂x

2 a

∂t

x=L

n+1

T n+1

−T n+1

T n+1

−T n

N −1

x=L

n+1

;

x=L

Таким образом,

2 a τ λ T n+1

− 2 a τ λ T n+1

+ h2 λ T n+1

− h2 λ T n

+ 2 a τ h q

= 0,

N −1

т.к. TN −1 = αN −1 TN +βN −1 , то

TNn+1 =

2 a τ λ βN −1 − 2 a τ h q2 + h2 λ TNn

(21)

λ h2 + 2 a τ λ (1 − αN −1 )

Граничные условия третьего рода для задачи из пункта 2.1 (если

температуры

окружающей

среды

T e1

и T e2 и

коэффициенты

теплоотдачи κ1 и κ2 ) можно сформулировать следующим образом:

x = 0 : −λ

∂T

= κ (T e1 −T ),

t > 0, κ > 0;

∂x

x = L : λ

∂T

= κ2 (T e2

−T ), t > 0, κ2 > 0.

∂x

Проведем дискретизацию граничных условий III рода с

погрешностью O(h) .

Определим первые

прогоночные

коэффициенты α1 иβ1

из

соотношения T1 = α1 T2 + β1 .

Итак, − λ

∂T

= κ (T e1

−T

) −λ

T2 −T1

= κ

(T e1 −T ).

∂x

x=0

κ h

≡ Bi , тогда

Введем обозначение

T −T = Bi T e1 − Bi

;

T =

T +

Bi1

T e1;

1 + Bi

;

α1

1 + Bi1

λ + h κ1

(22)

Bi1

h κ1

β =

T e1

T e1.

1 + Bi1

λ + h κ1

А правое граничное условие используют для определения температуры TN .

Итак,


λ			∂T	= κ2 (T e2 −T		x=L );


			∂x
				x=L	= κ2 (T e2 −TN ).
				x=L
λ		TN −TN −1
λ
				h		x=L );
λ			∂T	= κ2 (T e2 −T


			∂x

				x=L	= κ2 (T e2 −TN );
				x=L
λ	TN −TN −1
λ
				h

TN (1 + Bi2 )=TN −1 + Bi2 T e2 ;

т.к. TN −1 = αN −1 TN +βN −1 , то

TN (1 + Bi2 )= αN −1 TN +βN −1 + Bi2 T e2 ;

		TN	=	β	N −1	+ Bi	2	T e2
		TN	=		N −1		2	.
				1 + Bi2 − αN −1
или TN =	λ βN −1 + h κ2 T e2		.					(23)
или TN =	h κ2	+ λ (1 − αN −1 )	.					(23)
	h κ2	+ λ (1 − αN −1 )

Проведем дискретизацию граничных условий III рода с погрешностью O(h2 ) . Предположим, что на границе выполняется уравнение теплопроводности (19). Далее по аналогии с аппроксимацией граничного условия II рода получим:

∂T

∂x

n+1

T n+1

−T n+1

T n+1 −T n

−

1 T n+1

−

T e1

, т.к.

x=0

T n+1

= α

T n+1

+β , то

2 a τ

;

α1

+ 2 a

τ (1+ Bi1 )

2 a τ Bi

T e1

β =

τ (1+ Bi1 )

+ 2 a τ (1

+ Bi1 )

+ 2 a

или

2 a τ λ

;

α1

λ h

+ 2 a τ (λ + h κ1 )

(24)

λ h2 T n

+ 2

a τ h κ T e1

β =

+ 2 a τ (λ + h κ1 )

λ h

Использование же правого граничного условия дает следующее соотношение:

n+1	=	h2	T n +	2 a τ (β + Bi		T e2 )	=
TN	=		N	N −1	2		=
			N	N −1	2
			h2 + 2	a τ (1+ Bi2 −αN −1 )			(25)
λ h2 T n + 2 a τ (λ β + h κ T e2 )							(25)
λ h2 T n + 2 a τ (λ β + h κ T e2 )

λh2 + 2 a τ (h κ2 +λ (1−αN −1 )) .

2.3.ПРИМЕРЫ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С РАЗЛИЧНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИN N −1 2

1.	Определим температурное поле в медной пластинке через 5, 10,
30 и 60 секунд. Толщина пластины		L = 0.3 м. Начальная температура
T	= 200 С. Медь имеет следующие	теплофизические характеристики
0

λ = 384 Вт/(м ºC), ρ = 8800 кг/м3, с = 381 Дж/(кг ºC). На границе x = 0

приложен тепловой поток q =107 Втм2 , а граница x = L подвержена воздействию внешней среды ( κ =100 Вт(м2 0 С), T e =300 0C ).

Математическая постановка задачи будет иметь вид:

ρc	∂T	= λ	∂2T	, 0 < x < L .
	∂t		∂x2

Начальные и граничные условия запишутся следующим образом:

t= 0 : T =T0 , 0 ≤ x ≤ L;

x= 0 : − λ∂∂Tx = q, t > 0;

x= L : λ∂∂Tx = κ(T e −T ), t > 0.

Блок-схема к рассматриваемой задаче имеет вид:

Ниже приведен листинг программы для решения рассматриваемой задачи (на языке программирования Pascal)

uses crt; const mf=500; type

vector=array[1..mf] of real;

var {раздел описания переменных, которые мы будем использовать в

программе}
i, j, N	: integer;
T, alfa, beta	: vector;
ai, bi, ci, fi	: real;
a, lamda, ro, c, h, tau	: real;
q, kapa, Te	: real;
T0, L, t_end, time	: real;
f, g	: text;
begin
clrscr;

{с клавиатуры вводим все необходимые входные параметры}

Writeln('Введите количество пространственных узлов, N'); Readln(N);

Writeln('Введите окончание по времени, t_end'); Readln(t_end);

Writeln('Введите толщину пластины, L'); Readln(L);

Writeln('Введите коэффициент теплопроводности материала пластины, lamda');

Readln(lamda);

Writeln('Введите плотность материала пластины, ro'); Readln(ro);

Writeln('Введите теплоемкость материала пластины, c'); Readln(c);

Writeln('Введите плотность теплового потока, q'); Readln(q);

Writeln('Введите коэффициент теплообмена, kapa'); Readln(kapa);

Writeln('Введите температуру внешней среды, Te'); Readln(Te);

Writeln('Введите начальную температуру, T0'); Readln(T0);

{определяем расчетный шаг сетки по пространственной координате} h:=L/(N-1);

{определяем коэффициент температуропроводности} a:=lamda/(ro*c);

{определяем расчетный шаг сетки по времени} tau:=t_end/100.0;

{определяем поле температуры в начальный момент времени} for i:= 1 to N do

T[i]:=T0;

{проводим интегрирование нестационарного уравнения теплопроводности}

time:=0;

while time<t_end do {используем цикл с предусловием} begin

{увеличиваем переменную времени на шаг τ} time:=time+tau;

{определяем начальные прогоночные коэффициенты на основе левого граничного условия, используя соотношения (20)} alfa[1]:=2.0*a*tau/(2.0*a*tau+sqr(h));

beta[1]:=(sqr(h)*T[1]+2.0*a*tau*h*q/lamda)/(2.0*a*tau+sqr(h));

{цикл с параметром для определения прогоночных коэффициентов по формуле (8)}

for i:= 2 to N-1 do begin

{ai, bi, ci, fi – коэффициенты канонического представления СЛАУ с трехдиагональной матрицей}

ai:=lamda/sqr(h);

bi:=2.0*lamda/sqr(h)+ro*c/tau;

ci:=lamda/sqr(h); fi:=-ro*c*T[i]/tau;

{alfa[i], beta[i] – прогоночные коэффициенты} alfa[i]:=ai/(bi-ci*alfa[i-1]); beta[i]:=(ci*beta[i-1]-fi)/(bi-ci*alfa[i-1]);

end;

{определяем значение температуры на правой границе, используя соотношение (25)}

T[N]:=(lamda*sqr(h)*T[N]+2.0*a*tau*(lamda*beta[N-1]+kapa*h*Te)) /(lamda*sqr(h)+2.0*a*tau*(lamda*(1-alfa[N-1])+kapa*h));

{используя соотношение (7) определяем неизвестное поле температуры}

for i:= N-1 downto 1 do

T[i]:=alfa[i]*T[i+1]+beta[i];

end; {цикл с предусловием окончен} {выводим результат в файл}

Assign(f,'res.txt');

Rewrite(f);

Writeln(f,'Толщина пластины L = ',L:6:4); Writeln(f,'Число узлов по координате N = ',N);

Writeln(f,'Коэффициент теплопроводности материала пластины lamda = ',lamda:6:4);

Writeln(f,'Плотность материала пластины ro = ',ro:6:4); Writeln(f,'Теплоемкость материала пластины с = ',c:6:4); Writeln(f,'Начальная температура T0 = ',T0:6:4); Writeln(f,'Плотность теплового потока q = ',q:6:4); Writeln(f,'Коэффициент теплообмена kapa = ',kapa:6:4); Writeln(f,'Температура внешней среды Te = ',Te:6:4); Writeln(f,'Результат получен с шагом по координате h = ',h:6:4); Writeln(f,'Результат получен с шагом по времени tau = ',tau:6:4); Writeln(f,'Температурное поле в момент времени t = ',t_end:6:4); close(f);

Assign(g,'tempr.txt');

Rewrite(g);

for i:=1 to N do

writeln(g,' ',h*(i-1):10:8,' ',T[i]:8:5); close(g);

end.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.03.2016139.78 Кб10Frantsuzskaya_revolyutsia_Prichiny_etapy_itogi.doc
#
19.11.2019638.98 Кб3gl_6.doc
#
17.04.2019712.7 Кб18gotovye_otvety_po_filosofii.doc
#
24.09.2019373.76 Кб8GP_OTVET .doc
#
08.03.2016143.36 Кб32Grazhdanskaya_voyna_v_SShA.doc
#
24.03.20154.71 Mб21Heat_conduction_problems.pdf
#
17.08.201979.36 Кб4HELPFUL HINTS.doc
#
14.04.2019280.58 Кб13history_of_psychology_answers_2008 (1).doc
#
24.08.20192.48 Mб25Hrestomatiya_po_filosofii_A.R._Abdullin_Ufa-200...doc
#
21.09.2019118.27 Кб0idioms.doc
#
08.03.2016124.46 Кб44ie_prarodiny_chistovik.docx