Дороговцев & Co - задачник

Ï1.

Нехай

¸1

ìiðà

Лебега

íà

R;

функцi¨

fn :

R

! R

i

gn

:

R

!

R;

n

n

¸

1;

¹ вимiрними

çà

Лебегом,

fn

n

f (mod ¸1) i gn

g (mod ¸1). Знайти такi границi:

¡¡¡!

¡¡¡!

!1

sin fn(x)

!1

1)

lim

d¸

(x);

n!1 Z

1 + x2

1

R

(x)

f2

e¡x

2

2)

lim

n

d¸1

(x);

1 + fn2(x)

n!1 Z

R

Z

3)

lim

e

x fn2(x) d¸ (x);

n!1

¡ ¡

1

[0;+1)

min(fn(x); 1)

4)

lim

d¸1(x);

1 + x2 + fn2

(x) + gn2(x)

n!1 Z

R

min(fn2(x); 3)

5)

lim

d¸1(x);

1 + x4 + fn2

(x) +

gn(x)

n!1 Z

j

j

R

n!1 Z

x

f2(x)

n

2

1

6)

¡j j ¡

n

n

lim

e

arctg(f (x) + g (x)) d¸ (x);

R

1

7)

lim

sin(fn2(x)

gn(x)) d¸1(x);

px + gn2(x)

¡

n!1 Z

[0;100]

8)

lim

1

¢

gn(x)

d¸1(x);

x3=4 + fn(x)

1 + gn2(x)

n!1 Z

j

[0;10]

j

9)

lim

Z

e¡x

fn(x) + gn(x)

d¸1(x);

px ¢

(1 + fn2(x))(1 + gn2

(x))

n!1

[0;+1)

10)

lim

Z

1

fn(x) sin(fn(x) ¡ gn(x))

d¸

(x):

n!1

px(1 + x2) ¢

1 + jfn(x)j

1

[0;+1)

Ï2.

Чи можна перейти до границi пiд знаком iнтеграла

fn d¸1; ÿêùî

äëÿ áóäü-ÿêèõ n

N i x

R :

R

2

2

R

3) fn(x) = n2e¡nx2 ;

1)

fn(x) = Â(n;n+1](x);

2)

fn(x) = n2Â

1

(x);

4) fn(x) =

1

;

1+(x¡n)

2

[0; n )

5)

fn(x) = (n ¡ n2x)Â[0; n1 )(x);

6)

fn(x) = (n ¡ n3x2)Â(¡n1 ; n1 )(x);

7)

f (x) = (n2

¡

n4x)Â

h0;

1

(x);

n

2

n2

8)

fn(x) = n (1 ¡ nx)Â[0; n1 )(x);

9)

fn(x) = n¡®Â[n;2n](x); ® 2 R;

10)

fn(x) = n®e¡nxÂ[0;+1)(x); ® 2 R:

Ï3. Знайти границi:

1)

lim

e

nx2 d¸ (x);

n!1[0R;1]

¡x2

1

2)

lim

e

n

d¸ (x);

n!1[0R;1]

¡n

x

1

3)

lim

sin

d¸ (x);

n!1 Z

1 + x2

1

nlim

R

e¡nx arctg x d¸1(x);

4)

+

)

!1[0;

R1

x2

1

5)

lim

e¡ n

d¸1(x);

1+x2

n

+

)

!1[0;

R1

x

1

6)

lim

n

e

n

1

d¸ (x);

n!1[0;+1)

³

¡

¡ ´

1+x4

1

7)

lim

R

e¡x

1 + sinn n1

d¸1(x);

n

+

)

n¡

2¢

8)

!1[0;

R1

4

1

d¸1(x);

lim

(1 + cos

x )(1 + x )¡

n!1R

9)

nlim

R n sin nx ¢ (1 + x4)¡1 d¸1(x);

!1R

10)

nlim

+

ne¡x

5

1 + nx

¡ 1

d¸1(x):

)

¡p

¢

!1[0;

R1

для довiльних x

R i n

N :

!1 R

Ï4. Нехай ¸F

мiра Лебега-Стiлть¹са на R: Знайти nlim

R

fn d¸F ; ÿêùî

2

2

F (x) =

fn(x) =

x ;

1)

81; 0

·

x < 1;

n

>

j j

0; ¡1 < x < 0;

<2;

1

x < +

;

p

>

2;

·

1

1;

:

¡

¡1

< x <

¡

2)

F (x) =

8[x];

1

x < 2;

fn(x) =

n

;

>

¡

·

·

1

j

j

j j

>

2

x < +

p

<2;

;

3)

F (x) =

85; 0

x < 1;

fn(x) = Â(

1 ; 1 )(x) +

n

;

>

·

¡n n

j j

:0; ¡1 < x < 0;

p

>

·

1

:0; ¡1 < x < 0;

<7;

1

x < +

;

>

·

1 + x

<

1

4)

F (x) =

8[x]; 0 x < 5;

fn(x) =

2n

;

>5; 5 · x < +1;

:

¡

6;

¡1

< x <

¡

5;

n

<

j

j

5)

F (x) =

8[x];

¡

5

·

x < 5;

fn(x) =

jxj

;

1 + x

n

>

:

5; 5 · x < +1;

6)

[2x]; f

(x) = sin2n ¼xÂ

(x);

F (x) = >

n

[0;100]

7)

F (x) = [2x]; fn(x) = 2¡jxj sin2n ¼x;

8)

F (x) = [2x]; fn(x) = 3¡jxj cos2n 2¼x;

10)

F (x) = [x x ]; fn(x) =¯ e¡x2

sin¯ 2n ¼x2:

j

j

¯

¯

9)

F (x) = [2x]; fn(x) =

cosn 1

Â

(0;+1)

(x);

x

Î1.

Нехай

T

½

R;

t0

гранична

точка

множини

T;

ff(t; ¢) j t 2 T g ½ L(A; ¸); A 2 F i виконуються умови:

1) 9g 2 L(A; ¸) 8t 2 T 8x 2 X : jf(t; x)j · g(x);

e

i

e

2)

9f : X ! R : f(t; ¢) ¡¡¡t t!0

f (mod ¸):

R

!

!

R

Довести, що

e

e

A f(t; x) d¸(x) ¡¡¡t t!0

Ñ1.

f 2 L(A; ¸)

A f(x) d¸(x):

Обчислити

1

lim

t!0 Z

px + j sin txjÂRnQ(x) d¸1(x);

[0;1]

äå ¸1 мiра Лебега на R:

[x]

2

Ñ2. Нехай g(t)

=

e¡tx

d¸1

(x); t

>

0: Довести, що

)

1 + [x2]

+

[0; R1

g 2 C((0; +1)):

R

íà

Довести,

ùî

äå

Ñ3.

Нехай

g(t)

=

R2

e¡jtj(x2 + y2)

([x]

+

[y]) d¸2(x; y);

t 2 Rnf0g;

2

ìiðà

Лебега