Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Череповецкий Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Гордобаева, Парыгина и др. Математика. Школа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

498.19 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

a2 - ab + b2

× a2 + ab + b2

3ab × (a + b) ×3ab × (a - b)

× (a - b) + b3 × (a - b)

a3 × (a + b) - b3 × (a + b)

(a2 - ab + b2 ) × (a2 + ab + b2 )

(3ab)2 × (a + b) × (a - b)

(ab)2 × (a3 + b3 ) × (a - b)

(a3 - b3 ) × (a + b)

(a2 - ab + b2 ) × (a2 + ab + b2 )

9 × (a + b) × (a - b)

- b2

(a + b) × (a2 - ab + b2 ) × (a - b) (a - b) × (a2 + ab + b2 ) × (a + b)

При a =

, b =

получим:

9 ×16

= 48 .

Задание 4. Упростите выражение и вычислите.

Вид

№

1 уровень

заданий

п/п

при x =

, y =

2x + y 2x - y y

Задания

5x + y

5x - y

x2 - 25 y2

для работы

при x = 5, y =

- 5xy

+ y

у доски

+ 5xy

9a2 -16b2 3b - 4a

3b + 4a

при a = -

, b =

- 3ab 4b

+ 3ab

Задания

a + b

a - b

,b =

для само-

при a

стоятель-

- b

a + b

ной работы

Задания

4xy

при

x = -

, y

для домаш-

- x

+ 2xy

+ y

ней работы

Продолжение

2 уровень

x + 4 2

при

4x - x

- 4x 16 - x

16 + 4x x -

x =

, y = -

Задания

(a + b)2

−1

при a =

, b =

для работы

у доски

a + b a

- n4 −1

- 2 ×

при

- n

m + n

n =

, m =

a2 - ba

- 2ab + b2

−1

Задания

при

+ ab

- ab

+ b

для само-

стоятель-

a =

1 , b = 1

ной работы

Задания

b - a

−1

для домаш-

при a =

,b =

+ ab

- ba

ней работы

+ ab

+ b

Тема 2

СТЕПЕНЬ ЧИСЛА

1. Степень с целым показателем. Степенью an действитель-

ного числа a с целым показателем n называется число, определяемое следующим образом:

1) a 0 = 1 , если a ¹ 0 ;

2)	an = a × a ×...× a , n Î N

	n сомножителей
3)	a− n =	1	, n Î N

		an

При этом число a называется основанием степени an , число n –

показателем степени.

Из определения степени an следует:

1) 50 = 1;			3) (-2) 2 = (-2) × (-2) = 4 ;
	1 0		4) 4−3 =	1	=	1	.

2)		= 1;	43		64

	3

Основные свойства степени с целым показателем

				1. an × am = an+m									4.	a		n		=		an

																				b		n
				2. (a ×b)n = an ×bn										b						b
				2. (a ×b)n = an ×bn									5. (an )m = anm
							аn						5. (an )m = anm
				3.			аn		= an−m
				3.		am			= an−m
						am

По свойствам степени следует:
1. 32 ×3 = 32+1 = 33 = 27 ;												4.	1 3	=	13			=	1		;

				2			2			2					2		3		8
2.	(3 × 4)			2	=		2	× 4		2	= 9 ×16	= 144 ;	2		2				8
2.	(3 × 4)				=		3	× 4			= 9 ×16	= 144 ;		= 32×3				= 36 = 729 .
		47										5. (33 )2		= 32×3				= 36 = 729 .
3.		47	= 47−5				= 42 =16;
3.	45		= 47−5				= 42 =16;
	45

Пример 1. Вычислите:

128

(6 × 2)8

68 × 28

28−4

16 8

= 2

69 × 24

69−8

Задание 1 (для устной работы).

а) Запишите в виде степени с целым показателем и основанием

3 следующие числа: 9, 1,		1	, 27, 243,	1	;
3 следующие числа: 9, 1,			, 27, 243,		;
		81		3
б) Вычислите:
1.	(22 )3 × 4−2 ;
2.	(32 )4 ×3−5 .

Пример 2. Вычислите:

	2		0	1		−1		2		1		2		3		5			2		1		6		5
((0,1)		)		+ ((	)		)		×		× ((2		)		: 2		) =1	+ 7		×		× (2		: 2		) =
((0,1)		)		+ ((	)		)		×	49	× ((2		)		: 2		) =1	+ 7		×	49	× (2		: 2		) =
				7						49											49

= 1 + 49 × 26−5 = 1 +1× 21 =1 + 2 = 3. 49

Задание 2. Вычислите.

Вид заданий	№		1 уровень															2 уровень
Вид заданий	п/п		1 уровень															2 уровень
	п/п
1	2					3															4
																			4 −2				3 3
		2		−2	×	4	×10				−5										×
				−2		4					−5										×
						5													3				4
	1
			2−3		×53 ×10−4
																				-	2	−3
																					2	−3
Задания для ра-

																					3
боты у доски				3		1				1			−2			1 −1					6 0				1	2
	2	9 ×3			×			× (				)					-			-		+					: 2


						81 3										3					7				2
					5				3		1					5					2						2
	3	(4 × 2				) : (2								)	(6 - 4 × (		)0 )−2 + (							)−1	- 9−1 × (			)−1
										16

																16					3						9

Продолжение

1	2										3																						4

	4	22 × 4 × (22 ) 4																		(2−1 + 3−1 )(2−1 + 3−1 ) +																						(2−1 × 20 )−4
		22 × 4 × (22 ) 4
							22 × 25
							22 × 25																																								23

		(1 / 2)3 × 2−2 × 8																				1			0																							2	1
	5																(2		2 )3	22 + 3 ×					- 2−2											× 4 + (-2)													:			×8
		(-2					3	)	2		×	16
							3		2
																						2																											2
	6		((-2)2 )3 × (-4)−2																	(	(0,1)2		)	0	+					1			−1					2 ×			1					× (			22 )3
	6									3							2				(0,1)2				+													2 ×								× (				5
		(-2)								3		(-2)					2																								49								2	5
		(-2)										(-2)																7													49								2

		1					−2		-				−3					−5							46 ×95 + 69 ×120
	7	(				)						4			: 4
	7	(				)						4			: 4										84 ×312 - 611
Задания для		4																							84 ×312 - 611
самостоя-		2 × 4 ×16 ×										1				−2		×	3									5					−2								−3				−1
тельной ра-	8											(		)					2					25 × (							)					× (-2								)
тельной ра-	8											(		)					2					25 × (							)					× (-2								)
боты												2																2
боты	9	4−6 ×44 ×(23 ×2−4)−1																					((5)−5 )−1 × (														1		)−2 ×10−5
																																					1

																																				2

		1					−2						−3					−4							2			1												2				−3
	10	(				)			+			5			: 5									3 ×										×		(81)					× 3
	10	(				)			+			5			: 5									3 ×										×		(81)					× 3
		5																							243

						2			2				5																															1			−1
Задания для	11		(3−				)−				×3−					× 27					36 ×9−2 ×54 - 9 ×125 ×
Задания для	11		(3−				)−				×3−					× 27					36 ×9−2 ×54 - 9 ×125 ×
домашней																																												5
домашней																																2																	1
работы	12			4−6 × 2562 × 24																	(9 ×3−2 + 4 × (											2			)−2 ) : (100 +														1		)
	12			4−6 × 2562 × 24																	(9 ×3−2 + 4 × (														)−2 ) : (100 +													12			)
																												5																				12
					2−2 ×53 ×10−4																		1						8									16 81
	13																										×									:					:
																										9		27										48					128
					2−4 ×52 ×10−5																					9		27										48					128

Контрольный пример

	1 уровень						2 уровень

1		+	1			5 0 −2			2	−1		−1		2	−1
					- 4 ×			+			- 9		×
	1		1	6


1 - 1 - 2−1			1 + 1 + 2−1
						16			3					9

2. Степень с рациональным показателем. Степенью действи-

тельного числа а (а > 0) с рациональным показателем																												p		(p –			целое
тельного числа а (а > 0) с рациональным показателем																												q		(p –			целое
																												q
число, q – натуральное число, q ³ 2 ) называется число
											p
													= ( q			) p = q			a p	.
											q
								a			q			a
Пример 3. Вычислите:
−	1			0			1			−2				−	2			1											2		3
−				0			1			−2				−				1											2		3
(0,125) 3 × (-3,5)					+	(-		)					+ 3 ×8 3 =									×1			+ (-4)					+			=
(0,125) 3 × (-3,5)					+	(-	4	)					+ 3 ×8 3 =								1	×1			+ (-4)					+		2	=
							4						((0,5)3 )3																		83
													((0,5)3 )3																		83
=		1	+16 +				3					= 2 +16 +					3	= 18 +					3	= 18		3	.
=			+16 +						2			= 2 +16 +						= 18 +						= 18			.
0,5									2				22					4							4
0,5						(23 )3							22					4							4
						(23 )3

Основные свойства степени с рациональным показателем

1. n

a ×b

= n

× n

= m n

mn am = n

2. n

b n b

Пример 4. Упростите:

342 ×12 4 × 342 ×12 4 = 34 × 32 ×12 22 = 642 × 62 × 62 = 642 × 2 × 2 =

= 6(22 )2 × 2 × 2 = 624 × 22 = 626 = 2.

Задание 3. Вычислите.
Вид за-	№		1 уровень												2 уровень
даний	п/п		1 уровень												2 уровень
даний	п/п
	1	4 81× 0,0001											7		30				+		3 +	10
	1	4 81× 0,0001									3 10 -10 3								+		3 +	10
											3 10 -10 3
	2		3	3 × 3	9			(2 8 + 3 5 - 7 2) × ( 72 + 20 - 4 2)
				4	16
	3		7 128 × 5 32						( 3 9 / 5 - 33 3 + 4 3 1 / 3) : (2 3 1 / 3)
	3			81 × 3 64					( 3 9 / 5 - 33 3 + 4 3 1 / 3) : (2 3 1 / 3)
Задания				81 × 3 64
Задания		3 256 × 5 -27
для рабо-	4	3 256 × 5 -27						(	4 +		7 -		4 -			7 ) × (				4 + 7 -			4 -	7)
для рабо-	4			1				(	4 +		7 -		4 -			7 ) × (				4 + 7 -			4 -	7)
ты у дос-			43 ×3−0,4
ки			1		1
			1		1					4		23 - 7 × 4								23 + 7 +
	5	543 + 484 -								4		23 - 7 × 4								23 + 7 +
	5
		- 4 243 - 33 2 + 4 3								+		9 +			17 ×				9 -		17
				1		2			2 2 + 3 3 - 2 5									-		5 - 2 3 + 2				-
	6	(0,001)− 3 - 2−2 × 643					-				3							-			4			-
	6	- 8−		4								- 3 2 - 2 3 + 4 5
		- 8−		3 + (90 )2 ×5								- 3 2 - 2 3 + 4 5
																		12
	7		3 24 × 729								18 + 3					8 + 3				32 -		50
Задания	8	3 0,9 × 3 -0,03									(4 +				6) ×(3				2 - 5 3)
для са-					17
мостоя-	9				17					(7		48 + 3					27 - 2				12) :		3
тельной	9		3 × 3 -4							(7		48 + 3					27 - 2				12) :		3
тельной					27
работы			82 ×33		625
		3	82 ×33		625					3	2 -		3	5) × (			3	4 +		3	10 +	3
	10	3		×	36				(														25)
	10			×					(														25)
			125
	11	5 75 ×35 :			625						6 4 - 2					3 × 3 1 +					3 × 3 4
Задания	12		3 ( 2 -1)6									1					1
Задания	12		3 ( 2 -1)6								403 + 1624 - 34 2 - 2 3 5
для до-
машней																					8
машней	13	3 8 -	37 × 3 8 +			37			(127 ×				2 4 8 + 4 2							32 )− 7 ×1024
работы
	14	1		+	1																4
	14	7 -		+	7 +	39						(7			6		6 + 4 216)3
		7 -	39		7 +	39
																								17

Контрольный пример

1 уровень

2 уровень

/ 14 -

180

245

1, 25

320 / 2

3 12 + 4

× 3 12 - 4

5 5 2 + 7 × 5 5 2 - 7

Тема 3

ЛОГАРИФМЫ

1. Тождественные преобразования логарифмических выражений

Логарифмом числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a ¹ 1) называется показатель степени, в которую надо возвести основание a , чтобы получилось число b , loga b = x , т.е. ax = b .

Из определения логарифма следует:

Так как a1 = а , то loga a = 1, (a ¹ 1, a > 0) .

Так как a0

=1, то loga 1 = 0, (a ¹ 1, a > 0) .

Основное логарифмическое тождество

aloga b = b (a > 0, a ¹ 1, b > 0)

Основные свойства логарифмов

loga bc = loga b + loga c, (a ¹ 1, b > 0, a > 0, c > 0) .

loga

= loga b - loga c , (a ¹1, a >0, b >0, c >0).

= p × loga b, (a ¹ 1, a > 0, b > 0) .

loga b p

log

g b =

log

b, (a ¹ 1, a > 0, b > 0, q ¹ 0) .

loga b =

logc b

, (a ¹ 1, c ¹ 1, a > 0, b > 0, c > 0) .

logc a

			В частности
loga b =	1	,	loga b × logb a = 1.


	logb a

Специальные обозначения

1.log10 a = lg a, (a > 0) – десятичный логарифм.

2.loge a = ln a, (a > 0) – натуральный логарифм.

Примеры:

1)log7 49 = 2 (по определению логарифма);

2)log 5 1= 0 (по определению логарифма);

3)2log2 7 = 7 (по основному логарифмическому тождеству);

4) log12 3 + log12 4 = log12 12 = 1 (по свойству 1);

5)	log3 75 - log3 25 = log3																				75	= log3 3 =1 (по свойству 2);
5)	log3 75 - log3 25 = log3																					= log3 3 =1 (по свойству 2);
				9													25
6)	log			9		= log				9 − log							8 = 2 − log									8 = 2 − log				23	= 2 − 3log		2 ( по
6)	log	3 8				= log			3	9 − log					3		8 = 2 − log								3	8 = 2 − log			3	23	= 2 − 3log	3	2 ( по
		3 8							3						3										3				3			3
свойствам 2 и 3);													−4
7)	log1 16 = log1											1					= -4 (по свойству 3);
7)	log1 16 = log1																= -4 (по свойству 3);
											2
		2								2	2
8)	log				16 = log						1 24			=				1		log				24 = 2 × 4 × log				2 = 8 (по свойствам 3


			2															1					2				2
			2							22													2				2
										22
и 4);																	2
и 4);
9)	log7		128				= log				2 128 = 7 (по свойству 5);
9)	log7 2						= log				2 128 = 7 (по свойству 5);
	log7 2
10)	log16 32 =							log2 32						=		5			(по свойству 5);
10)	log16 32 =							log2 16						=	4				(по свойству 5);
								log2 16							4
11)	log3 4 × log4 3 =1 (по свойству 5);

	−	1						1			1				1
12)	8 log3 2 = 8−log2 3 = (23 )log2 3								= 23log2 3			= 2log2 27						=			1			(по свойству 5);
	lg 2 + lg 3 =																				27
13)	lg 2 + lg 3 =					lg 6			= lg 6			= log36 6 = 1											(по свойствaм 1 и
	lg 3,6 +1				lg 3, 6 + lg10				lg 36												2
5);
14)	log3 12		-	log3 4		= (log3 3 × 4) × log3 36 - log3 4 × log3 108 =
14)	log36 3		-			= (log3 3 × 4) × log3 36 - log3 4 × log3 108 =
	log36 3		log108 3
		= (log3 3 + log3 4) × (log3 32 × 4) - log3 4 × (log3 4 ×33 ) =
	= (1 + log3 4) ×(					2 + log3 4) - log3 4 ×(log3 4 + log3 33 ) =
		= (1 + log3 4) × (2 + log3 4) - log3											4 ×(log3								4 + 3) =
примем (log3 4 = t ) = (1 + t ) ×(2 + t ) - t (t + 3)															= t 2						+ 3t + 2 - t 2 - 3t = 2.
Задание 1. Вычислите.
Вид заданий			№			1 уровень																2 уровень
Вид заданий			п/п			1 уровень																2 уровень
	1		2					3																	4
Задания для					log 8; log 81 ; log					5	1 ;		log		2		1 ; log							1	81; log	49	243;
Задания для					2		3			5	25				2	16								1		49
устной рабо-			1								25					16								3
устной рабо-			1		log1	1	)	log0,2 4						1 log3 0,25											1 log8 6
ты					log1	9 ; (	)															;
					3	5								9									16
			2		log2 7 − log2 63 + log2 36								2log7 32 − log7 256 − 2log7 14
			3		log	1 ; log1			1					lg 64
						7 7		5	5 5				lg 48 - lg 3
			4		log2 log5		8 5						40,5log4 9 - 0,25log2 25
					log	1																				log15 7
			5		log	3							5 × log3 25 × log5 81 + 15
			5		5	5 ; 9log3 5							5 × log3 25 × log5 81 + 15
Задания для					log7 6 , перейти к осно-
Задания для					log7 6 , перейти к осно-									- log				1	2	×		log		1	9 +4
работы у					ванию 3;													1						1
работы у					ванию 3;								64					3						4
доски			6		1	, перейти к ос-
						, перейти к ос-
					log8 3
					нованию 3
			7		log2 10 × lg16								log36 5 × log8 3 × log25 2 × log3 3 6
			8		log5 4×log6 5×log7 6×log8 7								4	log2 10 × lg a - 0,5											, если loga 64 = 3
			8		log5 4×log6 5×log7 6×log8 7								4												, если loga 64 = 3
			9			1		-	2				log2 120								−		log2 15
			9		114 log16 11 ;			9 log2 9					log7,5 2								−		log60 2
													log7,5 2										log60 2
20

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.03.2015149.5 Кб37ГЛАВА 18.doc
#
22.03.20151.69 Mб115ГЛАВА 19.doc
#
22.03.2015454.14 Кб123ГЛАВА 20.doc
#
22.03.2015201.73 Кб80ГЛАВА 21,заключение,литература.doc
#
14.11.2019388.1 Кб19ГЛИН.doc
#
22.03.2015498.19 Кб23Гордобаева, Парыгина и др. Математика. Школа.pdf
#
02.12.20181.35 Mб9Горелов И.doc
#
22.03.201549.24 Кб91ГОРМОНАЛЬНАЯ РЕГУЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ.docx Физиология.docx
#
22.03.2015243.58 Кб17ГОРНЫЕ ПОРОДЫ.docx
#
22.03.2015222.72 Кб58ГОРОД у Белого моря.doc
#
22.03.2015658.94 Кб13ГОСТ 21.201.doc