Строительная_Информатика (заочники)
.pdf
20.01.2013
Методы решения задачи Коши
121
20.01.2013
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
Задача Коши распространена во многих областях науки и техники, поэтому существует большое число приближенных методов ее решения. Методы делят на две группы:
Одношаговые методы (методы Эйлера и Рунге – Кутта).
Многошаговые методы (методы прогноза и коррекции).
122
20.01.2013
Пошаговые методы предусматривают получение последовательности приближенных значений yi для заданных дискретных значений аргумента xi из области решения. Значения xi задают, начиная с начального x0, с постоянным шагом h
xi = x0 + i∙h (i = 0,1, …).
В одношаговых методах значение yi+1 в последующей точке вычисляют через приближенное значение yi в одной предыдущей точке.
123
20.01.2013
В многошаговых методах для отыскания решения yi+1 в последующей точке используется информация о решении в нескольких предыдущих точках.
124
20.01.2013
Метод Эйлера
Рассмотрим решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого
порядка |
dy |
|
|
|
f ( x, y), |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
y( x0 ) y0 . |
||
(x0, y0) - начальная точка решения.
125
20.01.2013
Геометрически решение происходит следующим образом.
От точки x0 делаем шаг h и переходим к точке x1 = x0 + h. Положение новой точки y1 определяем по наклону кривой решения y (x) в точке x0 (через уравнение касательной).
126
20.01.2013
у' (x0) - тангенс угла наклона касательной в точке x0 вычисляем из дифференциального уравнения
127
20.01.2013
у' (x0) = f (x0 , y0).
Тогда у1 = у0 + h∙f (x0 , y0).
Строим аналогично касательную в точке (x1, y1) и для точки x2 получим
у2 = у1 + h∙f (x1 , y1).
Таким образом, истинная кривая решения y = y(x) приближенно представляется ломаной, составленной из отрезков касательных.
Для произвольной (i+1)-ой точки
получим уi+1 = уi + h∙f (xi , yi), i = 0, 1, ...
128
20.01.2013
Такую же формулу получим, используя разложение в ряд решения y (x) в окрестности точки xi по формуле Тейлора (при условии, что шаг h мал) y( xi h) y( xi ) hy ( xi ) 2!1 h2 y ( xi ) .
Пренебрегая в разложении членами второго порядка и выше, получим
уi+1 = уi + h∙y'i = уi + h∙f (xi, yi), i = 0, 1, ...
Это основная расчетная формула метода Эйлера.
129
20.01.2013
Так как в расчетной формуле отбрасывают члены, содержащие h во второй степени и более, то погрешность на каждом шаге метода пропорциональна h2. Метод Эйлера называют методом первого порядка точности на интервале решения.
130