DRUN

где a параметр.

Запишем уравнение в виде

(x2 + y2)(x dx + y dy) ¡ a(x dx ¡ y dy) = 0

или

(x2 + y2) d(x2 + y2) ¡ a d(x2 ¡ y2) = 0:

Выделяем полный дифференциал:

d((x2 + y2)2 ¡ 2a(x2 ¡ y2)) = 0:

Общее решение :

(x2 + y2)2 ¡ 2a(x2 ¡ y2) = C:

Пример 3. Решить уравнение

x2y(y dx + x dy) = 2y dx + x dy:

Задачи

21

Решить уравнения в полных дифференциалах.

1.e¡y dx ¡ (2y + xe¡y) dy = 0 .

2.xy dx + (y3 + ln x) dy = 0 .

3.(ychx + shy) dx + (xchy + shx) dy = 0 .

4.x(2x2 + y2) dx + y(x2 + 2y2) dy = 0 .

5.(1 + y2 sin 2x) dx ¡ 2y cos2 x dy = 0 .

6.2xy ln y dx + (x2 + y2py2 + 1) dy = 0 , m = m(y):

7.(3x + 2y + y2) dx + (x + 4xy + 5y2) dy = 0 , m = m(x + y2):

8.x dx + y dy + x(x dy ¡ y dx) = 0 , m = m(x2 + y2):

9.(x2 + y) dx ¡ x dy = 0 , m = m(x):

10.x dxdy = (3x2 cos y ¡ sin y) cos y , m = m(y):

11.y dx ¡ (x + x2 + y2) dy = 0 , m = m(x2 + y2):Решить уравнения с помощью интегрирующего множителя.

Решить уравнения методом выделения полных дифференциалов или сделав замену

15.(x2 + 1)(2x dx + cos y dy) = 2x sin y dx .

16.y dx ¡ (x3y + x) dy = 0 .

17.Для линейного уравнения y0 + p(x)y = f(x) найти интегрирующий множитель.

1.10Особые решения

Решение y = '(x) уравнения F (x; y; y0) = 0 называется особым, если через каждую его точку, кроме этого решения, проходит и другое решение, имеющее в этой точке туже касательную, что и решение y = '(x) , но не совпадающее с ним в сколь угодно малой окрестности этой точки. На особом решении не выполняются условия теорем единственности решения задачи Коши.

22

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция y = x является решением. Далее проверяем условие касания. Записываем систему

x = ¡1 + C + ex¡C;

1 = ex¡C:

Пусть x = x0: Система удовлетворяется при C = x0: Условие касания выполнено. Решение y = x особое.

Исключая C из системы уравнений для определения огибающей y + 1 ¡ C ¡ ex¡C = 0;

¡1 + ex¡C = 0;

получаем y = x:

Условия касания этой кривой с кривыми семейства из общего решения проверены. Кривая y = x является огибающей и тем самым особым решением рассматриваемого уравнения.

Задачи

Найти особые решения уравнений (если они существуют).

Найти особое решение дифференциального уравнения, если известно семейство решений этого уравнения:

24

1.11 Уравнения, не разрешенные относительно производных

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка в общем виде

Если из него можно выразить y0 через x и y; то

y0 = fi(x; y):

Уравнение (1.43) относительно y0 может иметь несколько решений, то решения каждого из полученных уравнений, разрешенных относительно производной, будут решениями исходного уравнения (1.43).

Пусть уравнение (1.43) разрешимо относительно функции y

Будем искать его решение в параметрической форме

y = y(p); x = x(p): p ¡ параметр:

Из (1.45) dy = pdx , и после подстановки в (1.47) , получаем дифференциальное уравнение первого порядка для определения функции x от параметра p:

Ответ записывается в форме

y = f(x(p; C); p);

x = x(p; C):

Пусть уравнение (1.43) разрешимо относительно x

x = g(y; y0)

25

Из (1.45) dx = dyp , и после подстановки в (1.49), получаем дифференциальное уравнение первого порядка для определения функции y от параметра p:

dyp = dgy dy + dgdpdp;

Последнее уравнение разрешимо относительно производной dydp : Его решение y = y(p; C) дает недостающую зависимость переменной y от параметра p .

Ответ записывается в форме

y= y(p; C); x = g(y(p; C); p):

Пример 1. Решить уравнение y = 2x + y0 ¡ 2 ln y0 . Вводим параметр p = y0 . Тогда

dy = p dx:

Далее

dy = 2dx + dp ¡ 2dpp ; pdx = 2dx + dp ¡ 2dpp ;

(p ¡ 2)(dx ¡ dpp ) = 0:

Пусть

dx ¡ dpp = 0:

Отсюда

x = ln jpj + C:

Подставив найденное x в (1.50), получаем

y = p + 2C:

Пусть p ¡ 2 = 0: Тогда

p = 2; y = 2x + 2 ¡ 2 ln 2;

Ответ.

x = ln p + C; y = p + 2C: y = 2x + 2 ¡ 2 ln 2:

Замечание. В равенстве p = 2 нельзя заменить p на y0 и интегрировать, что приводит к y = 2x + C .

26

1.11.1Уравнение Лагранжа

Частным случаем уравнения (1.44) является уравнение Лагранжа

Получилось линейное уравнение. Его общее решение выражается в квадратурах. Отдельно необходимо исследовать случай

p ¡ '(p) = 0:

Если

p0 ¡ '(p0) = 0;

то

y = x'(p0) + Ã(p0)

решение.

1.11.2Уравнение Клеро

Частным случаем уравнения Лагранжа является уравнение Клеро

y = xy0 + Ã(y0):

Имеем

y = xp + Ã(p);

pdx = xdp + pdx + Ã0(p)dp;

(x + Ã0(p))dp = 0:

Отсюда

x + Ã0(p); или dp = 0:

В первом случае

x = ¡Ã0(p):

Во втором случае

dp = 0 ! p = C; y = Cx + Ã(C):

Окончательно решение уравнения Клеро имеет вид

x = ¡Ã0(p); y = ¡Ã0(p)p + Ã(p); y = Cx + Ã(C);

Замечание. Решение

y = Cx + Ã(C)

является особым решением уравнения Клеро.

27

Задачи

Решить уравнения.

Найти все решения данных уравнений и изобразить интегральные кривые.

Решить уравнения методом введения параметра.

37.2y02(y ¡ xy0) = 1 .

38.Найти кривую, каждая касательная к которой образует с осями координат треугольник площади 2a2 .

39.Найти кривую, каждая касательная к которой отсекает на осях координат такие отрезки, что сумма величин, обратных квадратам длин этих отрезков, равна 1 .

28

38.xy = §a2 . 39. x2 + y2 = 1 .

1.12Дифференциальные уравнения второго и высших порядков

1.12.1Задача Коши

Рассмотрим дифференциальное уравнение n -го порядка в общем виде

или в виде, разрешенным относительно старшей производной

Его общее решение имеет вид

©(x; y; C1; C2; : : : ; Cn) = 0;

в неявной форме, или

y= '(x; C1; C2; : : : ; Cn)

вявной форме. C1; C2; : : : ; Cn произвольные постоянные.

Постановка задачи Коши. Требуется найти решение уравнения (1.51) или (1.52), удовлетворяющее начальным условиям

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения (1.52).

Если функция f(x; y; y0; :::; y(n¡1)) и ее частные производные первого порядка по аргументам y; y0; :::; y(n¡1) непрерывны в некоторой области -; содержащей значения x0; y0; :::; y0(n¡1); то существует единственное решение задачи Коши для уравнения

y(n) = f(x; y; y0; :::; y(n¡1)):

29

Для решения задачи Коши вначале находим общее решение. Удовлетворяя начальным условиям (1.53), определяем постоянные C1; C2; : : : ; Cn:

Замечание. Уравнение F (x; y0; y0; y00) = 0 является дифференциальным уравнением второго порядка. Если y = '(x; C1; C2) его общее, то решение задачи Коши

½ y(x0) = y0; y0(x0) = y00 ;

сводится к нахождению констант C1 и C2 из системы уравнений

½ y0 = '(x0; C1; C2) y00 = '0(x0; C1; C2):

Задачи

1.Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости x , y пересе-

каться в некоторой точке ( x0 , y0 ) а) для уравнения y0 = x + y2 ? б) для уравнения y00 = x + y2 ?

2.Могут ли графики двух решений данного уравнения на плоскости x , y касаться

друг друга в некоторой точке ( x0 , y0 ) а) для уравнения y0 = x + y2 ?

б) для уравнения y00 = x + y2 ? в) для уравнения y000 = x + y2 ?

3.Сколько существует решений уравнения y(n) = x + y2 , удовлетворяющих одновре-

менно двум условиям: y(0) = 1 , y0(0) = 2 ? Рассмотреть отдельно случаи n = 1 , 2 ,

3 .

4. Сколько решений уравнения y(n) = f(x; y) ( f и fy0 непрерывны на всей плоскости

своих решений две функции: y1 = x , y2 = x + x4 ?

6. При каких n уравнение y(n) = f(x; y; y0; : : : ; y(n¡1)) с непрерывно дифференцируемой функцией f может иметь среди своих решений две функции: y1 = x , y2 = sin x ?

7.Методом последовательных приближений найти точное решение задачи Коши dxdy = x + y , y(0) = 1 .

8.На отрезке [1; 2] построить три первых члена последовательности приближений решения задачи Коши y0 = x + y2; y(0) = 2 и оценить погрешность.

9.На отрезке [¡1; 1] построить три первых члена последовательности приближений решения задачи Коши y0 = x + y2; y(0) = 3 и оценить погрешность.

Ответы

1. а) Нет. б) Да. 2. а) Нет. б) Нет. в) Да. 3. В случае n = 1 нет решений, при n = 2 одно решение, при n = 3 бесконечно много решений. 4. В случае n = 1 нет решений, если tg® =6 f(x0; y0) , и одно решение, если tg® = f(x0; y0) ; в случае n = 2 одно решение, а при n ¸ 3 бесконечно много. 5. n ¸ 5 . 6. n ¸ 4 . 7. y(x) = 2ex ¡ x ¡ 1 .

1.12.2Интегрирование некоторых типов дифференциальных уравнени

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго и высших порядков, допускающих понижение порядка.

30