Variant_15
.pdf1. Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе трех человек?
Решение:
3 |
= |
15! |
|
= |
15 ∙ 14 ∙ 13 |
= 5 ∙ 7 ∙ 13 = 455 |
|
|
|
||||
15 |
|
(15 − 3)! 3! |
6 |
|
||
|
|
|
Ответ: 455
2. Буквенный замок содержит на общей оси 5 дисков, каждый из которых разделен на 6 секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв.
Решение:
Для решения задача применим формулу классической вероятности:
( ) = , где − кочичество всех вариантов, − количество
подходящих вариантов= {событие, что из наугад установленная комбинация откроет замок}= 1= 65 = 7776
1( ) = 7776 ≈ 0,000129
Ответ: 0,000129
3. Два бомбардировщика преодолевают зону ПВО. Вероятность того, что будет сбит первый бомбардировщик, равна 0,7, второй – 0,8. Найти вероятность: а) уничтожения одного бомбардировщика; б) поражения двух бомбардировщиков; в) промахов Решение:
= {бомбардировщик сбит − м ПВО}= {бомбардировщик не сбит − м ПВО}( 1) = 0,7; ( 2) = 0,8
( 1) = 1 − ( 1) = 0,3; ( 2) = 1 − ( 2) = 0,2;
а) уничтожения одного бомбардировщика;
= {событие, что уничтожен один бомбардировщик}
= 1 2 + 1 2 ( ) = ( 1 2 + 1 2) = ( 1) ( 2) + ( 1) ( 2) = = 0,7 ∙ 0,2 + 0,3 ∙ 0,8 = 0,38
б) поражения двух бомбардировщиков;
= {событие, что сбиты два бомбардировщика}
= 1 2 ( ) = ( 1 2) = ( 1) ( 2) = 0,7 ∙ 0,8 = 0,56
в) промахов
= 1 2 ( ) = ( 1 2) = ( 1) ( 2) = 0,3 ∙ 0,2 = 0,06 Ответ: а) 0,38; б) 0,56; в) 0,06
4. На сборку поступают детали с трех конвейеров. Первый дает 25 %, второй – 30 и третий – 45 % деталей, поступающих на сборку. С первого конвейера в среднем поступает 2 % брака, со второго – 3, с третьего – 1 %. Найти вероятность того, что: а) на сборку поступила бракованная деталь; б) поступившая на сборку бракованная деталь – со второго конвейера.
Решение:
= { событие, что деталь поступила на сборку с − го конвейера}
( 1) = 0,25; ( 2) = 0,3; ( 3) = 0,45= { событие, что деталь бракованная}
| = {событие, что деталь бракованная, если она поступила с − го конвейера}
( | 1) = 0,02; ( | 2) = 0,03; ( | 3) = 0,01
а) на сборку поступила бракованная деталь; используем формулу полной вероятности:
3
( ) = ∑ ( ) ( | ) = 0,25 ∙ 0,02 + 0,3 ∙ 0,03 + 0,45 ∙ 0,01 = 0,0185
=1
б) поступившая на сборку бракованная деталь – со второго конвейера.
Для вычисления данной вероятности применим формулу Байеса:
2| = {деталь поступила с второго конвейера, если она бракованная}
( | ) = |
( 2) ( | 2) |
= |
0,3 ∙ 0,03 |
= |
0,009 |
= |
90 |
= |
18 |
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
( ) |
0,0185 |
|
0,0185 |
185 |
37 |
||||
|
|
Ответ: а) 0,0185; б) 1837 5. Оптовая база обслуживает 6 магазинов. Вероятность получения заявки базой
на данный день для каждого из магазинов равна 0,6. Найти вероятность того, что в этот день будет: а) пять заявок; б) не менее пяти заявок; в) не более пяти заявок.
Решение: для решения задачи применим формулу Бернули:
( ) = −
В нашем случае n=6, = 0,6; = 1 − = 1 − 0,6 = 0,4, тогда
а) пять заявок;
6( = 5) = 650,650,46−5 = 6 ∙ 0,07776 ∙ 0,4 = 0,186624
б) не менее пяти заявок;
6( ≥ 5) = 6( = 5) + 6( = 6) = 650,650,46−5 + 660,660,46−6 = = 0,186624 + 0,046656 = 0,23328
в) не более пяти заявок
6( ≤ 5) = 1 − 6( = 6) = 1 − 660,660,46−6 = 1 − 0,046656 = 0,953344 Ответ: а) 0,186624; б) 0,23328; в) 0,953344
6. Найти закон распределения указанной дискретной СВ X и ее функцию распределения F (x). Вычислить математическое ожидание M (X ), дисперсию
D (X ) и среднее квадратичное отклонение (x). Построить график функции распределения F (x).
Вероятность отказа прибора за время испытания на надежность равна 0,2; СВ X – число приборов, отказавших в работе, среди пяти испытываемых.
Решение:
= 0,2; = 1 − = 0,8; = 5
Составим закон распределения:
Случайная величина Х может принимать значения: X={0,1,2,3,4,5} Вычислим соответствующие вероятности:
( = 0) = 500,200,85−0 = 0,32768( = 1) = 510,210,85−1 = 0,4096
( = 2) = 520,220,85−2 = 10 ∙ 0,04 ∙ 0,512 = 0,2048( = 3) = 530,230,85−3 = 10 ∙ 0,008 ∙ 0,64 = 0,0512( = 4) = 540,240,85−4 = 0,0064( = 5) = 550,250,85−5 = 0,00032
Запишем закон распределения:
|
0 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,32768 |
0,4096 |
|
0,2048 |
0,0512 |
0,0064 |
|
0,00032 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем функцию распределения |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0; ≤ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 + 0,32768; 0 < ≤ 1 |
|
||||
|
|
|
|
0 + 0,32768 + 0,4096; 1 < ≤ 2 |
|
|||||
( ) = |
|
0 + 0,32768 + 0,4096 + 0,2048; 2 < ≤ 3 |
= |
|||||||
|
|
0 + 0,32768 + 0,4096 + 0,2048 + 0,0512; 3 < ≤ 4 |
|
0 + 0,32768 + 0,4096 + 0,2048 + 0,0512 + 0,0064; 4 < ≤ 5 {0 + 0,32768 + 0,4096 + 0,2048 + 0,0512 + 0,0064 + 0,00032; > 5
0; ≤ 0 0,32768; 0 < ≤ 1 0,73728; 1 < ≤ 2
=0,94208; 2 < ≤ 3 0,99328; 3 < ≤ 4 0,99968; 4 < ≤ 5
{1; > 5
Вычислим математическое ожидание:
5
( ) = ∑ = 0 ∙ 0,32768 + 1 ∙ 0,4096 + 2 ∙ 0,2048 + 3 ∙ 0,0512 +
=0
+4 ∙ 0,0064 + 5 ∙ 0,00032 = 1
Вычислим дисперсию:
( ) = ( 2) − 2( )
3
( 2) = ∑ 2 = 02 ∙ 0,32768 + 12 ∙ 0,4096 + 22 ∙ 0,2048 + 32 ∙ 0,0512 +
=0
+42 ∙ 0,0064 + 52 ∙ 0,00032 = 1,8( ) = 1,8 − 12 = 0,8
Вычислим среднее квадратическое отклонение:
( ) = √ ( ) = √0,8 = 2 √5
Строим график функции распределения:
7. Дана функция распределения F (x) СВ X . Найти плотность распределения вероятностей p(x), математическое ожидание M (X ), дисперсию D (X ) и
вероятность попадания СВ X на отрезок a;b . Построить графики функций
F (x) и p(x).
0, где < 0
( ) = {151 ( 2 + 2 ), где 0 ≤ ≤ 3 ; = 0; = 2 1, где > 3
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определим плотность распределения вероятностей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0′, где < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, где < 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
( ) = ′( ) = {( |
1 |
( 2 + 2 ))′, где 0 ≤ ≤ 3 |
= { |
2 + 2 |
, где 0 ≤ ≤ 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1′, где > 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, где > 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вычислим математическое ожидание M (X ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
( ) = ∫ |
|
( ) = ∫ 2 + 2 = ∫ |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
+ |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
+ 2 = 3 |
|
|3 = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
0 |
|
15 |
|
0 |
|
15 |
|
|
|
|
15 |
|
0 |
|
|
||||||||||||||||
18 + 9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
|
|
= |
|
= 1,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
15 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вычислим дисперсию D (X ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
( ) = ( 2) − 2( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
3 |
2 2 + 2 |
3 2 3 |
+ 2 2 |
|
2 4 |
+ |
2 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
3 |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
) = ∫ |
|
|
( ) = ∫ |
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
| |
= |
|||||||||||||
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
15 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ 18 |
|
|
117 |
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
2 |
|
= |
= |
= 3,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
15 |
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( ) = 3,9 − 1,82 = 3,9 − 3,24 = 0,66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Вычислим вероятность попадания СВ X на отрезок [0;2] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(0 ≤ ≤ 2) = (2) − (0) = |
1 |
(22 |
+ 4) − 0 = |
|
12 |
= 0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Строим графики функций F (x) и p(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется:
а) записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда; б) найти размах варьирования и разбить его на 5 интервалов; в) построить полигон частот, гистограмму относительных
частот и график эмпирической функции распределения; г) найти числовые характеристики выборки хв, Dв;
д) найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности = 0,9 .
0,035 |
0,031 |
0,046 |
0,023 |
0,053 |
0,023 |
0,045 |
0,026 |
0,037 |
0,042 |
0,046 |
0,033 |
0,038 |
0,053 |
0,035 |
0,029 |
0,046 |
0,023 |
0,038 |
0,043 |
0,05 |
0,025 |
0,037 |
0,041 |
0,029 |
Решение:
а) записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;
|
0,023 |
0,025 |
0,026 |
0,029 |
0,031 |
0,033 |
0,035 |
0,037 |
0,038 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,041 |
0,042 |
0,043 |
0,045 |
0,046 |
0,05 |
0,053 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
1 |
2 |
|
|
|
б) найти размах варьирования и разбить его на 5 интервалов;
= 0,053 − 0,023 = 0,03
0,03
= 5 = 5 = 0,006
[ |
; ] |
0,023-0,029 |
0,029-0,035 |
0,035-0,041 |
0,041-0,047 |
0,047-0,053 |
|||
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0,026 |
0,032 |
0,038 |
0,044 |
0,05 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
6 |
4 |
5,5 |
6,5 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0,24 |
0,16 |
0,22 |
0,26 |
0,12 |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Полигон частот:
Гистограмму относительных частот:
в) построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;
Запишем эмпирическую функцию:
|
|
0; ≤ 0,026 |
|
|
|
|
0,24; 0,026 < ≤ 0,032 |
|
|
( ) = |
0,24 + 0,16; 0,032 < ≤ 0,038 |
= |
||
0,24 + 0,16 + 0,22; 0,038 < ≤ 0,044 |
||||
|
|
|
||
|
|
0,24 + 0,16 + 0,22 + 0,26; 0,044 < ≤ 0,05 |
|
|
|
|
{ 0,24 + 0,16 + 0,22 + 0,26 + 0,12; > 0,05 |
|
|
|
|
0; ≤ 0,026 |
|
|
|
0,24; 0,026 < ≤ 0,032 |
|
||
= |
0,4; 0,032 < ≤ 0,038 |
|
||
0,62; 0,038 < ≤ 0,044 |
|
|||
|
0,88; 0,044 < ≤ 0,05 |
|
||
|
{ |
1; > 0,05 |
|
г) найти числовые характеристики выборки хв, Dв;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,026 |
0,032 |
0,038 |
0,044 |
0,05 |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
0,24 |
0,16 |
0,22 |
0,26 |
0,12 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0,00624 |
0,00512 |
0,00836 |
0,01144 |
0,006 |
0,03716 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0,000162 |
0,000164 |
0,000318 |
0,000503 |
0,0003 |
0,001447 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= ∑ |
|
= 0,03716 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1
5
|
= ∑ |
|
|
2 |
|
− 2 |
= 0,001447 − 0,037162 = 0,0000662544 |
|||||||||
|
||||||||||||||||
в |
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
д) найти доверительные интервалы для математического ожидания и |
|||||||||||||||
среднего квадратичного отклонения при надежности = 0,9 . |
||||||||||||||||
Найдем доверительный интервал для математического ожидания |
||||||||||||||||
− |
|
в |
< < + |
в |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в |
|
√ |
|
|
|
в |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
в |
|
|
|
||||||||||
|
= (0,1; 24) = 1,71; |
= √ |
= √ |
0,0000662544 |
≈ 0,0017 |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
− 1в |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,03716 − 1,71 0,0017 < < 0,03716 + 1,71 0,0017 √24 √24
0,03716 − 0,01424 < < 0,03716 + 0,01424
0,03546 < < 0,03886
Найдем доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
в |
|
< < |
в |
|
|
|
|
||
1− |
|
1+ |
|
|
|
|
|
||
; |
|
; |
|
||||||
2 |
|
2 |
|
||||||
0,05;25 = 37,65; 0,95;25 = 14,61 |
|
||||||||
25 ∙ 0,00172 |
< < |
25 ∙ 0,00172 |
0,0000019 < < 0,0000049 |
||||||
37,65 |
14,61 |
|
|||||||
|
|
|
|
|