ПК РИДА СОЛОМОНА
.docxМИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
“Московский технический университет связи и информатики”
(МТУСИ)
Кафедра РТС
Лабораторная работа №3
По дисциплине
Помехоустойчивое кодирование
“Исследование процессов кодирования и декодирования Кодов
Рида-Соломона”
Выполнил:
Епифанов Г. Ю
Проверила:
Минаева О.Н.
Цель работы:
1. Получение практических навыков по формированию поля Галуа для построения кодов Рида-Соломона, изучение алгоритмов формирования кодовых слов.
2. Изучение процессов декодирования кодов Рида-Соломона, алгоритма обнаружения и исправления ошибок в кодовых словах.
Исходные данные:
Исправляемых ошибок в блоке t=2
Степень образующего полинома поля m=3
Полином поля: x3+x+1
Полином кода: g(x)=(x-a1) (x-a2) (x-a3) (x-a4)
Код (7,3)
a0 a0= (1,0,0) =1
a1 a1= (0,1,0)
переход
а2 a2= (0,0,1)
a3 1+a= (1,0,0) +(0,1,0) = (1,1,0)
a4 a+a2= (0,1,1)
a5 a2+a+1= (0,0,1) +(0,1,0) +(1,0,0) = (1,1,1)
a6 a5+aa2+a+1+aa2+1= (1,0,1)
a7 a0= (1,0,0)
Таблица сложения Таблица перемножения
a3
=a+1 -ax=ax (a-x)-1=a-x+7
+ |
1 |
a |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
1 |
0 |
a3 |
a6 |
a |
a5 |
a4 |
a2 |
a |
a3 |
0 |
a4 |
1 |
a2 |
a6 |
a5 |
a2 |
a6 |
a4 |
0 |
a5 |
a |
a3 |
1 |
a3 |
a |
1 |
a5 |
0 |
a6 |
a2 |
a4 |
a4 |
a5 |
a2 |
a |
a6 |
0 |
1 |
a3 |
a5 |
a4 |
a6 |
a3 |
a2 |
1 |
0 |
a |
a6 |
a2 |
a5 |
1 |
a4 |
a3 |
a |
0 |
* |
1 |
a |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
1 |
1 |
a |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a |
a |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
1 |
a2 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
1 |
a |
a3 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
1 |
a |
a2 |
a4 |
a4 |
a5 |
a6 |
1 |
a |
a2 |
a3 |
a5 |
a5 |
a6 |
1 |
a |
a2 |
a3 |
a4 |
a6 |
a6 |
1 |
a |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
Порождающий полином кода PC
если r = 4 => deg [g(x)] = r = 4
xn-1=(x-1) (x-a) (x-a2) …(x-an-1)
n=pq-1
g(x)=(x-a) (x-a2) (x-a3) (x-a4)
Степени a растут на 1 =>
Требование кода Рида-Соломона
Раскроем множитель, воспользовались таблицами сложения и умножения получим:
g (x)= a3+ax+x2+a3x3+x4
g (x)=> g= (a3, a,1, a3,1,0,0)
3x3 7x3
(…) (…) (…). (…) (…) (…) (…) (…) (…) (…)
кодер
h (x)= = =(x-1) (x-a5) (x-a6) = a4+a2x+a3x2+x3
h = (a4, a2, a3, 1, 0,0,0) h(x) q (x)0
hreverse= (0, 0, 0, 1, a3, a2, a4)
g hreverse=1a3+a71=0
Кодирование
s= (A(1), A(a), A(a2), A(a3), A(a4), A(a5), A(a6)) - разрешенное кодовое слово
Фактически, g(x) не требуется, если для s поставить в соответствия
s(x), то s(x)/g(x) без остатка
b0 A1 A2
A=(1, 1, 1)- информационный вектор
xi = 1+x+x2
A(1) = 1+1+1=1
A(1) = 1+a+ a2 = a5
A(a2) = 1+ a2 + a4 = a3
A(a3) = 1+ a3 + a6 = a5
A(a4) = 1+ a4 + a = a6
A(a5) = a6
A(a6) = a3
S = (1, a5, a3, a5, a6, a6, a3)
Проверим:
s (x) h (x) = 0
s0 s1 s2 s4 s5 s6
s= ( 1, a5, a3, a5, a6, a3)
s (x) h0: a4 a9-7 a7-2 a9-7 a10-7 a10-7 a7-7 = a4 a2 1 a2 a3 a3 1
s (x) h1x1 : a5 a2 1 a5 1 a a
s (x) h2x2 : a2 a6 a3 a a6 a a2
s (x) h3x3 : a6 a6 a3 1 a5 a3 a5
II II II II II II II
s (x) h(x) : 0 0 0 0 0 0 0 --> соответствует РС коду
Если s(x) делится на g(x) без остатка, то s(x)-разрешенное кодовое слово
a3 a6 a6 a5 a3 a5 1 1 a3 1 a a3 a6 a6 a3 a4 a6 a3 0 a4
a4 1 a4 a5 1
a4 a7=1a4 a5 a7=1
0=> разрешающий полином
1
0 0 a3
a 1 a3 0
1 0 a6
a6
1 a2 0
0 1 a5
a4
1
a4
g(x) xg(x) x2g(x)
Gцикл = Gсист=
1
1 1 1 1 1 1 1
a a2 a3
a4
a5
a6 1
a2
(a3)2
(a3)3
(a3)4
(a3)5
(a3)6 1
a3
(a3)2
(a3)3
(a3)4
(a3)5
(a3)6
H= =
001
001 001 001 001 001 001
001
010 100 011 110 111 101
001
100 110 101 010 011 111
001
011 101 100 111 010 110
H=
Сопровождающие матрицы для g(x)= x4+x3a2+x2a5+xa5+a6
1
0 0 0
1 1 1
1 0
1
1 1 1
0 1 0
0 1
1
0 1 0
0 1 0
1 0
1
0 0 0
1 0 0
0 1
E= F0= F2 = F5= F6 =
SE = [a0, a1, a2]; SF2 = [(a0+ a2), (a1+ a2), a1]
SF5 = [(a0+ a1), a0, (a0+ a1+a2)]; SF6 = [a0, a2, (a0+ a1)]
Вычисление синдромов
Si = r(I), где i = b… b+2+-1, b=0 или b=1
I – корни порождающего полинома g(x)
r(x) = r(x)+ (x) = x2 + 5x4
S(0) = r(1) = (1)2 + 5(1)4 = 6
S(1) = r() = ()2 + 5()4 = 5
S(2) = r(2) = (2)2 + 5(2)4 =
S(3) = r(3) = (3)2 + 5(3)4 =
Схема
Результаты работы схемы
Текст на вх код. уст-ва: Текст на вых код. уст-ва:
Текст на выходе декодера:
Зависимости вероятности ошибки с исправлением и без исправления ошибок, от отношения сигнал/шум
Москва 2024