- •Статистическое усреднение и моментные функции случайного процесса. Начальные и центральные моментные функции. Многомерные моментные функции.
- •Классификация случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина для непрерывных случайных процессов. Спектральная плотность мощности случайного процесса. Физический смысл.
- •Белый и квазибелый шум. Ковариационная функция белого шума. Тепловой шум. Ковариационная функция случайного процесса с постоянной в ограниченной полосе спектральной плотностью мощности.
- •8.Нормальный случайный процесс. Многомерная плотность распределения в общем виде. Матрица ковариации. Случай некоррелированных сечений. Некоррелированность и независимость. Одномерный случай.
- •Двумерная плотность вероятности нормального случайного процесса, подробный вывод. Коэффициент корреляции, физический смысл. Случай некоррелированных сечений.
- •1) Условная плотность распределения нормального случайного процесса. Условное математическое ожидание, условная дисперсия.
- •2) Изменение формы графика плотности распределения в зависимости от степени корреляции случайного процесса в двух сечениях. Некоррелированный случай. Случай абсолютной корреляции.
- •А) Линейные преобразования, линейная система
- •Б) Мх и ковариация
Понятие случайного процесса. Ансамбль реализаций. Понятие сечения случайного процесса. Функция распределения и плотность вероятности в заданном сечении случайного процесса, их свойства.
Случайный процесс – это функция, которая в любой момент времени t принимает значения, являющиеся случайной величиной. Пример – тепловой шум, процесс случайный, т.к. его параметры неизвестны. СП описывается своими реализациями, или выборками. Совокупность реализаций образует ансамбль
2. Одномерные и многомерные функция и плотность распределения. Свойства. Условие независимости случайного процесса в двух и нескольких сечениях.
1) Одномерная ФПВ
ФПВ(функция плотности вероятности) – предел отношения вероятности того что случайная величина примет значение в интервале к величине этого интервала, при -> 0
График ФПВ
x1, измеряются в вольтах , тогда как ФПВ измеряется в
Условие нормировки ФПВ
Площадь под каждой ФПВ равна единице
Вероятность того, что значение случайного процесса попадёт в интервале от до
2) Одномерная ФРВ
ФРВ(функция распределения вероятности) – это вероятность того, что случайная величина не превзойдет некоторых значений x.
ФПВ – это производная ФРВ по x.
Свойства:
ФРВ не бывает отрицательным. ФРВ безмерная величина.
Если x2 x1, то F(x2) F(x1)
График ФРВ
3) Многомерные распределения
4. Условие независимости случайного процесса в двух и нескольких сечениях.
3) Условная плотность распределения. Факторизация многомерной функции распределения через
условные плотности распределения. Условие независимости. Марковские случайные процессы.
Условная плотность распределения:
Условной плотностью распределения называется закон распределения одной величины при условии принятия второй величиной каких-либо значений. Например, имеем 2 величины X и Y. Найти необходимые функции возможно через их совместную ФПВ. Найдём ФПВ и ФРВ для величины X, при условии принятия величиной Y определённых значений:
Для нахождения условного ФРВ нужно использовать ту же формулу, только для совместной ФПВ и ФПВ той величины, условие которой будет учитываться нужно взять интеграл:
Также, исходя из формул, представленных выше, можно сделать вывод, что зная условные ФПВ и ФРВ величин X и Y и те же функции для величин, которые принимаются за условия, можно восстановить совместную плотность распределения:
Факторизация многомерных функций через условные распределения:
Вернёмся к предыдущему пункту и рассмотрим формулы (3) и (4). Из них можно вывести формулы для факторизации совместных ФПВ и ФРВ. Итак, имеем для ФПВ:
Далее, получив ФПВ, можем проинтегрировать полученную функцию и из неё получить факторизованную ФРВ:
Условие независимости:
Условие независимости СП характеризуется тем, что между сечениями этих процессов отсутствует корреляция. Для стационарных процессов, это условие может быть сформулировано как:
Стационарный процесс можно считать независимым, если между любыми двумя его сечениями нет корреляции, то есть, она равна 0.
Для нестационарных процессов ситуация сложнее:
Нестационарный процесс считается независимым, если корреляция между всеми его сечениями равна 0.
Также, чтобы 2 процесса (или величины) были независимы, необходимо и достаточно, чтобы их совместная функция распределения вероятностей представляла собой произведение оных для каждой их этих величин. То есть:
Для ФПВ всё аналогично.
Марковские процессы.
Марковские процессы – процессы, определяющие одномерной плотностью распределения и двумерной условной плотностью распределения (плотностью перехода). Для лучшего понимания:
Имеем несколько сечений случайного процесса:
Согласно правилу умножения вероятностей, можно записать:
Для СП, предыдущее значение которого слабо связано с предыдущим имеем:
Случайные процессы, для которых равенство верно для любых значений n называются марковскими. В соответствии с определением, многократно подставляя результат в основную формулу, имеем:
Статистическое усреднение и моментные функции случайного процесса. Начальные и центральные моментные функции. Многомерные моментные функции.
количество.
Статистическое усреднение, другими словами, среднее арифметическое – это число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их
Функции корреляции и ковариации и их свойства. Коэффициент корреляции. Физический смысл коэффициента корреляции. Диаграмма рассеяния. Независимость и некоррелированность случайного процесса в двух сечениях.
Функции корреляции и ковариации и их свойства. Коэффициент корреляции. Физический смысл коэффициента корреляции. Диаграмма рассеяния. Независимость и некоррелированность случайного процесса в двух сечениях.
Среди множества функций, описывающих изменение СП во времени, особого внимания заслуживает корреляционная функция (КФ), являющаяся вторым смешанным центральным моментом:
Коэф корреляции - степень линейной зависимости 2-х величин. Он равен нулю при отсутствии зависимости.
Физический смысл и диаграмма рассеяния:
Свойства:
Равенство нулю для статистически независимых значений СП. Это следует из
Симметричность КФ.
Ограниченность КФ.
Положительная определенность. Для КФ она заключается в том, что для любой детерминированной вещественной функции g(t) имеет место неравенство
Понятие стационарности СП - означает независимость характеристик СП от выбора начала отсчетов времени.
2 СП называются некоррелированными, если КФ=0. Из независимости следует некоррелированность, но обратное не всегда.
Функция ковариации
свойства ( эти взяты из оти, а так свойства такие же, как и у корреляции)
Классификация случайных процессов. Теорема Винера-Хинчина для непрерывных случайных процессов. Спектральная плотность мощности случайного процесса. Физический смысл.
По лекции Лобыча классификация СП такая:
Случайные процессы делятся на стационарные и нестационарные, в свою очередь стационарные сп делятся на стационарные в узком смысле и на стационарные в широком смысле. Также существуют Эргодические случайные процессы.
Для стационарного процесса плотность вероятности не изменяется при изменение начала отсчёта времени.
Все одномерные нач и центр моменты любого порядка в стац процессе являются константами.
Все двумерные нач и центр моменты стац процесса зависят только от расстояний между выбранными сечениями.
К не стационарным процессам относятся все процессы, которые не удовлетворяют условиям стационарности.
Эргодические – процессы, для которых по одной лишь реализации можно судить о всех свойства процесса.
Белый и квазибелый шум. Ковариационная функция белого шума. Тепловой шум. Ковариационная функция случайного процесса с постоянной в ограниченной полосе спектральной плотностью мощности.
Если спектральная плотность мощности постоянна во всей области частот, то такой сигнал называют белым шумом.
Белый шум одна из идеализированных моделей случайного сигнала с большой энергетической полосой, занимаемой спектральной плотностью мощности такого шума.
Квазибелый шум – это шум с равномерным не зависящим от частоты распределением спектральной мощности в определённом диапазоне пространственных частот.
Слева спектральная плотность, справа корреляционная функция
Тепловой шум возникает в результате хаотического теплового движения электронов в проводнике. Каждый электрон, двигаясь по своей траектории, создает на концах проводника некоторое очень маленькое напряжение. Поскольку в любом проводнике число электронов чрезвычайно велико, все они вместе создают шумовое напряжение с нормальным законом распределения, энергетический спектр которого может быть вычислен по формуле Найквиста'.
к = 1,38 • 10 Дж/К — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура, К; R — сопротивление проводника. Ом.
Формула справедлива во всем диапазоне радиочастот вплоть до частоты 10 Гц, т.е. во всем диапазоне используемых в радиотехнике частот, кроме оптического диапазона, тепловой шум можно считать белым.
Дисперсию теплового шума можно найти, умножив энергетический спектр на полосу частот, в которой действует шум: