Добавил:

karavashkinaviydetzamenya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Основы теории информации

Файл:

LEKTsIYa_6

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.04.2024

Размер:

824.18 Кб

Скачать

☆

ЛЕКЦИЯ № 6.

4. НЕПРЕРЫВНЫЙ ИСТОЧНИК ИНФОРМАЦИИ (НИ).

Непрерывный (аналоговый) источник выдает непрерывный сигнал x(t) , который является некоторой реализацией случайного процесса (t) .

4.1. Теорема отсчетов для детерминированных функций.

Если спектр функции x(t)

заключен в интервале частот Fв f Fв , то она

может быть представлена в виде:

sin( (2Fвt k))

x(t) x(

)

(4.1)

(2F t k)

Здесь

) xk - отсчеты функции x(t) , взятые через интервал времени

2Fв

- верхняя частота спектра. Замечание: lim

sin x

2Fв

x 0

Доказательство. Пусть S( j ) - спектр функции x(t) ,

2 f . Известно, что

сигнал связан со своим спектром парой преобразований Фурье

S( j ) x(t)e j t dt

x(t)

S( j )e j t d

2 Fв , то можно записать:

Так как S( j ) 0 при

2 Fв

x(t)

S( j )e j t d

(*)

2 Fв

Далее, в моменты времени tk

, k 0, 1, 2....... получим

2Fв

2 Fв

x(tk )

S( j )e

в d

(**)

2 Fв

Разложим функцию S( ) на интервале частот [ 2 Fв ; 2 Fв ] в ряд Фурье:

S( j ) k e

2Fв

(***)

2 Fв

j 2F

S( j )e

(****)

4 F

2 Fв

Из (**) и (****) следует, что

x( tk ) . Тогда с учетом этого подставим

2Fв

(***)

в (*):

2 Fв

x(t)

x( tk )e

2Fв e j t d .

2 Fв k

2Fв

Меняя знак перед

в аргументе

x( )

и показателе экспоненты, получим

2 Fв

j (t

)

x(t)

2Fв e j t d x(

2Fв d .

x(tk )e

)

2 Fв k

2 Fв

j (t

)

Возьмем интеграл

в d :

2 Fв

2 j sin( (2F t k))

2sin( (2F t k))

j (t 2F

)

j 2 Fв (t

2F )

j 2 Fв (t

2F )

)

2Fв

2Fв j(t

)

j(2Fвt k)

(2Fвt k)

2 Fв

2Fв

Тогда окончательно имеем результат

2 sin( (2Fвt k))

sin( (2Fвt k))

x(t) x(

)

(2F t k)

Теорема доказана.

Теорема Котельникова. Функцию с финитным (конечным) спектром,

можно восстановить по ее отсчетам, взятым через интервал времени

t	1	.

	2Fв

Из формулы (4.1) следует, что чтобы восстановить сигнал x(t) по его отсчетам,

надо совершить свертку отсчетов xk	с функцией	sin( (2Fвt k))		. Из теории
		(2Fвt	k)

линейных цепей известно, что выход линейной системы определяется сверткой входного сигнала с импульсной характеристикой цепи. Поэтому,

если на вход линейной системы с импульсной характеристикой

sin( (2Fвt k))

(2Fвt k)

подать xk , то на ее выходе будет сигнал x(t) . Этим требованиям соответствует

идеальный фильтр низких частот (ИФНЧ), у которого амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) имеет вид:

K				2 F ,
K	0	,		2 F ,
	0			в
K ( )			2 Fв .
0,			2 Fв .

Тогда импульсная характеристика ИФНЧ равна

h(t) sin( 2 Fвt) .

2 Fвt

Нули функции h(t) находятся в точках t tk, t 1 .

2Fв

K( )

K 0

2 Fв

0.8

0.6

0.4

h(t)

0.2

-0.2

3 t	t	t	3 t
	2 t		2 t

-0.4
-2	-1.5	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5	2
				t,				-3
								x 10

Обобщение теоремы отсчетов.

Теорема отсчетов применима

1) если отсчеты взяты через интервал времени t 21Fв , т.е. частота дискретизации fd 2Fв ,

2) к непрерывным случайным стационарным процессам с ограниченной по частоте спектральной плотностью мощности (СПМ) Gx ( ) .

4.2. Ошибки в теории дискретизации и восстановлении непрерывных функций.

1. Ошибка за счет округления.

При

цифровой

записи

сигнала

вместо

отсчетов xk

запоминаются

их

приближенные значения

которая называется

xk . Тогда появляется ошибка,

ошибкой квантования

xk .

В этом случае восстановленный

сигнал

имеет вид (см. (4.1)):

sin( (2Fвt k ))

(t) xk

(2Fвt k)

а ошибка восстановления определяется как

sin( (2Fвt k))

e1 (t) x1 (t) x(t) k

(2Fвt k)

Найдем энергию ошибки e1 (t) .

sin( (2Fвt k))

sin

( (2Fвt k))

W1 e1 (t)dt (

)

dt k

dt ,

(2F t k)

( (2F t k))2

т.к.

случайные величины k

независимые.

Введем

замену

переменной

(2Fвt k ) z , тогда dz 2 Fв dt . Далее

sin 2 ( (2F t k))

sin 2 (z)

( (2F t k))2

2 F

z 2

Подставляя значение вычисленного интеграла в выражения для энергии ошибки, получим

	1
W1		k2 .
	2F

	в k

Мощность (дисперсия) ошибки восстановления равна 12 2FвW1 .

Тогда приближенную оценку ошибки восстановления можно записать следующим образом:



e1	12	k2	(4.2)
e1	12	k2	(4.2)
		k

2. Ошибка за счет отбрасывания членов ряда.

При вычислении

значений

x(t)

реально используется усеченный ряд

Котельникова:

sin( (2Fвt k))

x2 (t) xk

(2Fвt k)

k N

sin( (2Fвt k))

x(t) xk

При этом возникает ошибка

e2 (t) x2

(t)

(2Fвt k)

k N

Справедлива оценка

sin( 2 Fвt)

(4.3)

e2 (t)

2 Fв

2Fв

3. Ошибка, вызванная усечением спектра сигнала.

Если спектр S( j ) или Gx ( )

сигнала занимает полосу частот [ F0 ; F0 ], шаг

дискретизации t

, где F

, то возникает ошибка усечения спектр e (t)

2Fв

. В этом случае справедлива оценка:

e3 (t)

(F0 Fв )

max

S( j )

(4.4)

2 Fв 2 F0

или дисперсия ошибки определяется как

Gx ( )d

(4.5)

2 Fв

при F0 .

Gx ( )

0 Fв

4. Ошибка стробирования.

На практике выборки значений x(t)									берутся не точно в моменты времени
tk	k	, в моменты	tk		k		k , где			k - ошибка стробирования. Тогда
	2Fв				2Fв
восстановленный сигнал имеет вид:
		ˆ					k		sin( (2Fвt k))
		ˆ		x(			k	k )	sin( (2Fвt k))		.
		x4 (t)
		x4 (t)				2F				(2F t k)
				k		2F				(2F t k)
				k			в			в

Так как ошибка k мала, то функцию x( ) можно разложить в ряд Тейлора и ограничиться первым приближением:

k ) x(

) x' (

) k ,

2Fв

где x' (

) -

первая производная функции x( )

в точке

. Обозначим

2Fв

k x' (

) k .

Тогда

ошибка

восстановления

определяется

следующим

2Fв

образом:

sin( (2Fвt k))

e4 (t) x4 (t) x(t)

(2Fвt k)

и справедлива оценка

(4.6)

5.Ошибка, вызвана не идеальностью характеристик восстанавливающего фильтра нижних частот.

Если вместо ИФНЧ взять RC фильтр, у которого импульсная характеристика имеет вид h(t) RC1 e RCt , то получим следующую картину:

xˆ5 (t)

Чем выше частота дискретизации и чем ближе характеристики фильтра к характеристикам ИФНЧ, тем меньше ошибка восстановления.

4.3. Формирование ИКМ сигнала.

ИКМ сигнал – сигнал импульсно-кодовой модуляции.

НИ

x(t)

Дискре-

Кванто-

Кодер

101…0

тизатор

ватель

источ-

ника

АЦП

k 0,1,2,..... - дискретное время.

Характеристика типового равномерного квантователя.

h , В

u , В

2 X m

2 ; 2 ] .

l 0,1,...7 ,

hl - уровни квантования ul - пороги. Разность между соседними уровнями называется шагом квантования hl hl 1 . Для равномерного квантователя const . Здесь рассмотрен квантователь с 8 уровнями.

X m - полномасштабный уровень АЦП, его значение, как правило, колеблется от 1 до 10 В. Значение квантованного отсчета (сигнала на выходе

квантователя) равно ближайшему уровню квантования, т.е.,						если ul xk ul 1 ,
то	~	hl . Пример: пусть	u2 xk u3 , тогда	~	h2 . (См.	характеристику
	xk			xk

квантователя). Шаг квантователя зависит от полномасштабного уровня АЦП и количества уровней квантования:

	2 X m	(4.7)
	N

Ошибка (шум) квантования k	при малых является стационарным

случайным процессом с равномерной плотностью распределения вероятности на интервале [

w (x)

					x
		0
	2	0		2
Дисперсия шума квантования равна

	2		w (x)dx		2	(4.8)
x			w (x)dx			(4.8)
	2	2
					12
	2
Если имеется N уровней	квантования, то каждый квантованный отсчет
кодируется
K log 2	N (бит/отсчет), если N 2b ,					(4.9 а)
K log 2 N 1 (бит/отсчет), если N 2b .						(4.9 б)

Здесь - выделение целой части из значения log 2 N . Замечание: кодируется либо само значение квантованного отсчета, либо номер уровня квантования, которому равен квантованный отсчет.

xk дискретизация сигнала, tk k t, xk x(tk )

квантование сигнала с шагом , N 4 .

ИКМ

2 , x1

01, x2 h3 11,

1 1 1

1 0

0 1

10,

h2 10, x5 h1 01 .

(кодируется номер уровня квантователя.)

Достоинства ИКМ сигнала.

1)ИКМ сигналсигнал цифровой. Он позволяет реализовать достоинства цифровой аппаратуры, такие как большая степень интеграции, унификации, стандартизации, меньше объем аппаратуры, больше точность и стабильность параметров по сравнению с аналоговой техникой.

2)Имеет хорошую помехоустойчивость, т.е. его можно восстановить по искаженному принятому сигналу, используя аппарат принятия статистических решений (выносится решение о приходе «0» или «1»). Это сделать проще, нежели постоянно оценивать значения аналогового сигнала в текущем времени.

K бит.

Недостатки ИКМ.

1) Ширина спектра ИКМ сигнала FИКМ

аналогового сигнала. За время t 1

2Fв

больше ширины спектра Fв исходного нужно передать комбинацию из

Тогда	длительность одного бита			T t				1	. Ширина спектра ИКМ
Тогда	длительность одного бита			T t					. Ширина спектра ИКМ
				б	K		K 2Fв
					K		K 2Fв
F	1	2KF . Обычно	K 6 9 , тогда F					в 12-18 раз больше ширины
F		2KF . Обычно	K 6 9 , тогда F					в 12-18 раз больше ширины
ИКМ		в				ИКМ
	Tб

спектра исходного сигнала.

2) При процедуре квантования в представление сигнала вносится ошибка:

~	k .
xk xk

Соседние файлы в предмете Основы теории информации

#
22.04.2024874.13 Кб0LEKTsIYa_11.pdf
#
22.04.2024655.35 Кб0LEKTsIYa_2.pdf
#
22.04.2024581.52 Кб0LEKTsIYa_3.pdf
#
22.04.2024582.9 Кб0LEKTsIYa_4.pdf
#
22.04.2024559.38 Кб0LEKTsIYa_5.pdf
#
22.04.2024824.18 Кб0LEKTsIYa_6.pdf
#
22.04.2024653.05 Кб0LEKTsIYa_7.pdf
#
22.04.2024615.51 Кб0LEKTsIYa_8.pdf
#
22.04.2024681.75 Кб0LEKTsIYa_9.pdf