Добавил:

AlexKon Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

Математические методы теории сигналов и систем

Файл:

Практика 6 / Практика6(kad)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.04.2024

Размер:

631.22 Кб

Скачать

☆

Необходиморассчитатьпрактическуюширинуспетра сигнала x(t)при следующихданных

γ := 0.95 Скоростьизменения Vm:= 4 volt sec период T := 2 sec сдвиг t0 := 1 sec

Математическая модельсигнала

Условия для графика

t := -1.5 T,-1.5 T + 500T ..2 T

volt	x(t)

		- 4	- 2

x(t) := Vm (t + t0) if -T < t < 0 Vm (t - t0) if 0 < t < T [Vm (t - 3t0)] if T < t < 2 T 0 otherwise

4 2

- 2

- 4

		sec
Математическая модельсигналадля		x(t) :=	[Vm (t - t0)] if 0 < t < T
Математическая модельсигналадля		x(t) :=	[Vm (t - t0)] if 0 < t < T
одногопериода			0 otherwise
			0 otherwise
Размерность	R := 1

Периодический сигналотносится кмощностнымпоэтомунадорассматриватьего среднююзапериодT

Полная средняя мощность	2	T				2		16
P :=	Vm		(t - t0)			2	dt	16
После решения интеграла	T R	0						3
После решения интеграла	Vm2
	Vm2		3				3		16
P :=	3T R t0			- (t0	-		T)		3	P = 5.333

После пользования разложениемФурье получимследующие комплексные кэфф


C0 := 0	C(k) := j		T Vm		(k > 0)
			2 k π
Условие для выбора практической шириныспектра						При	nc:= 5
	2		nc
	γ P C0R +	2	(	C(k)		)2
		2
		R
		R
			k = 1

	Решениеграфически при					nc:= 1..15			2	nc
							Pγ(nc) :=		C0R	+ R2 ( C(k) )2
										k = 1
		6								12
										12
		5									γ P
		5
watt	Pγ(nc)
watt
		4
		3 0				5			10		15
							nc
		По графикувидно			nc:= 12
		Тогдачастота среза			ωc := nc 2 π = 37.699			или		fc := nc 1 = 6	Гц
						T		или		T
						T				T
____________________________________________________________________________
Необходиморассчитатьпрактическуюширинуспектраимпульсаx(t)соследданными
Амплитуда			Um:= 0.4	volt	длительность		τ:= 2	sec	T	γ := 0.9
Условия для графика									T
Условия для графика				T := 2 τ		t := -1.2 T,-1.2 T			+ 500 ..1.2 T
				T := 2 τ		t := -1.2 T,-1.2 T			+ 500 ..1.2 T
Математическая модельсигнала						x(t) :=	Um if	-τ t	τ
								2	2
							0 otherwise
						- τ		τ
						2	0.8	2
	volt	x(t)					0.6
		x(t)					0.4


							0.2
			- 4			- 2	0		2	4
							t
							sec

Полная энергия импульса

E := Um2

= 0.32

E :=

dt 0.32

или

Спектральная функция

sin

ω τ

симметричногосигнала

Fx(ω) :=

2 Um

По равенствуПарсеваля энергия сигнала:

ωc

4 Um2

ωc

(

)

или

Eγ(ωc) :=

π R

Fx(ω)

dω

Eγ(ωc) :=

sin 2 ω τ dω

π R

Введемопределениефункции

Si(x) :=

sin(z)

интегральногосинусадля выражения

Приведения интегралактабулированномувиду

ω:= 1

Eγ(ωc) :=

2 Um2

cos(ωc τ) - 1

+ τ Si(ωc τ)

π R

ωc

После введения безразмерной переменной

W :=

ωc τ

2 Um2

cos(π W) - 1

Eγ(W) :=

π W

+ τ Si(π W)

π R

Зависимостьпри

W := 0,0.02..3

γ(W) := Eγ(W)

0.9

0.8

γ(W)

0.6

0.4

0.2

Изграфика видно

γ := 0.9

W := 2

ωc :=

πW

или

fc :=

Следовательно частота среза

Тогдаэнергия отброшеннойвысокочастотнойчасти спектра

E := (1 - γ) E 0.032

Среднеквадратичная погрешнотьзасчетограничения спетра

σ:=

E R 0.12649110640673517328

Относительная среднеквадратичная погрешноть

σотн:=

E 100 31.62277660168379332

_____________________________________________________________________________

Найтипрактическуюширинусигналаприследующихданных

γ := 0.95

μ := 50

volt sec

α:= 10 sec

T :=

t 0

R := 1

Математическая модельсигнала

u(t) :=

μ t e- α t if t

otherwise

t :=

-1.0 T,-1.0 T +

400 ..1.0 T

volt

1.5

u(t)

0.5

- 1

- 0.5

0.5

sec

∞

- α t

- j ω t

Интегральное преобразование Фурье

Fu(ω) :=

μ t e

(10 + ω i)

-μ

Fu(ω) :=

Спектральная функция

(-2 j ω α + ω2 - α2)

Энергетическийспектр

( Fu(ω)

2500

10201

Частотноепредставления сигнала на основании

равенстваПарсеваля

		∞
	1
E(α) :=
E(α) :=
	π R

μ2	dω		1	μ2	5
(ω2 + α2)2		Eu :=
	или		4 R	α3	8

Энергия сигнала спектр которого ограничен

∞

(α2

+ ωc2)+ α ωc

atan ωc

Eγ(ωc) :=

dω

или

π R

(ω2

+ α2)

Eγ(ωc) :=

(2 π R)

(α

+ ωc

)

Уравнение для расчета практическойшириныспектраограниченного частотой среза ω

atan ωc (α2 + ωc2)+ α ωc

4 R α3

(2 π R)

α3 (α2 + ωc2)

Начальноеприближение

ωc := 1

Given

γ Eu = Eγ(ωc)

ωп := Find(ωc)

определение корня уравнения

ωп = 18.374

практическая ширина спектра

fc :=

ωп

fc = 2.924

частотасреза спектра сигнала

2 π

_______________________________________________________________________________

Найтипрактическуюдлительностьэкспоненциального импульса сосследданными

Амплитуда

Um:= 1

Кэффзатухания

α:= 0.1

γ := 0.95

T := 50

R := 1

t := -0.4 T,-0.4 T +

Математическая модельсигнала

500 ..0.4 T

E(t) :=

Um e- α t

t 0

otherwise

0.8

volt

E(t)

0.6

0.4

0.2

sec

Находимпрактическуюдлительностьизследующего условия

γ E

Um2 (e- α t)2dt

R 0

После взятия интеграла

0.2 tdt

e- 2 α tdt

∞

Um2 (e- α t)2dt 5.0

Полная энергия экспоненциальногоимпульса

После интегрирования

2 1

R 0

E :=

2R Um α

E = 5

Получаемуравнение

1 γ Um2

Um2

-1

R α

= R 2 α exp(-2 α tm) +

2 α

где

-1

ln(-γ + 1)

Кореньуравнения

После решения относительноtmполучаемпрактическуюдлительнось

tm := -

ln(1 - γ)

tm = 14.979

2 α

Энергия отброшенной частисигнала

E := (1 - γ) E

E = 0.25

Отностительная среднеквадратичная погрешность

σотн:= E

σотн 100 = 22.361

______________________________________________________________________________

1Задача

Необходимонайтипрактическуюширинуспетра при следданных

Амплитуда Um:= 1

Кэффзатухания

α:= 0.1

γ := 0.95

T := 50

Матмодельсигнала

volt	E(t)
	E(t)

- 40

E(t) := Um e- α t if		t := -0.4 T,-0.4 T +	T	..0.4 T
E(t) := Um e- α t if	t 0	t := -0.4 T,-0.4 T +	500	..0.4 T
0 otherwise
	1
	0.8
	0.6
	0.4
	0.2
- 20	0	20	40
	t

sec

Полная энергия импульсногосигнала:		∞
Полная энергия импульсногосигнала:	E :=	E(t)2dt = 5
	0

Спектральная функция примет вид

∞

- α t

- j ω t

Fu(ω) :=

Um e

dt assume,Um > 0

,α > 0 (1.0i) ω + 0.1

Eγ(ωc) :=

ωc

(

Fu(ω)

)

dω

По равенствуПарсеваля делаемследующуюзамену

Given ωc := 1

γ E = Eγ(ωc)

ωс := Find(ωc) = 1.271

_________________________________________________________________________________

2Задача Найтипрактическуюширигуспектраприследданных	γ := 0.95
Скоростьизменения Vm:= 4 длительность τ:= 1

Матмодельсигнала

volt	U(t)
	U(t)

U(t) :=	Vm	t -	τ	if 0	t τ	t := -1.2 T,-1.2 T +	τ	..1.2 T
							τ
							500
			2				500
			2
	0 otherwise
				2

- 2

sec

Введемобозначения

ωc := 1

A(ωc) := 4 cos(τ ωc) + cos(τ ωc) τ2 ωc2

A(ωc) := cos(τ ωc) (τ2 ωc2 + 4)

B(ωc) := Si(τ ωc) τ3 ωc3 + 4 sin(τ ωc) τ ωc

C(ωc) := 4 + 3 τ2 ωc2

Given

A(ωc) + B(

ωc) - C(ωc)

12 R

[6 (R π)]

ωc

ωс := Find(ωc) = 37.94

ωс

6.0383918910226224327 = 6.038

2 π

________________________________________________________________________________

3Задача

Найтипрактическуюширинуспектраприследданных

γ := 0.95

U:= 1.5

τ:= 1 T := 2τ

t := -1.2 T,-1.2 T +

..3T

x(t) :=

τ t

500

-Um if -3τ t -τ

- τ

τ t

3τ

-Um

volt

3τ

5τ

x(t)

- 2

-Um

5τ

6τ

- Um

- 1

- 2

Um if -

5τ

-3τ

sec

Полная энергия импульса

E :=

Um dt 1

E := Um

= 1

- τ

Спектральная функция

Fx(ω) := 2 Um

sin 2

ω τ

2 sin 2

На основании равенства Парсеваля энергия

ωc

(

)

Eγ(ωc) :=

π R

Fx(ω)

dω

ωc

sin(z)

Eγ(ωc) :=

4 Um

dω

Si(x) :=

sin

ω τ

π R

ω2

Eγ(ωc) :=

2 Um2

cos(ωc τ) - 1

+ τ Si(ωc τ)

π R

ωc

ωc := 1

W :=

ωc τ

W :=

0,0.02..10

2 Um2

cos(π W) - 1

Eγ(W) :=

π R

π W

τ Si(π W)

γ(W) :=

Eγ(W)

0.95

0.8

0.6

γ(W)

0.4

0.2

W := 7

ωc :=

W π

= 21.991

fc :=

ωc

= 3.5

2 π

nc:= 5

Соседние файлы в папке Практика 6

#
19.04.2024631.22 Кб0Практика6(kad).pdf
#
19.04.2024499.06 Кб0Практика6(kad).xmcd