учебники / osnovy-informacionnyh-tehnologiy

Основные правовые акты, регламентирующие защиту информа-

У

корпоративной информации должны обеспечивать выполнение

ции в Республике Беларусь:

следующих задач:

Постановление

Совета

Министров

Республики Беларусь

− защиту от проникновения в компьютерную сеть и утечки ин-

от 26 мая 2009 г. № 675 «О некоторых вопросах защиты информа-

А

формации из сети по каналам связи;

ции»

утверждает:

Положение о порядке защиты информации

− разграничение потоков информации между сегментами сети;

Г

в государственных информационных системах, а также информа-

−

защиту наиболее критичныхТресурсов сети от вмешательства

ционных системах,

содержащих информацию,

распространение

в нормальный процесс функционирования;

и (или) предоставление которой ограничено; Положение о порядке

− защиту важных рабочих мест и ресурсов от несанкциониро-

аттестации систем защиты информации; Положение о порядке про-

ванного доступа;

ведения государственной экспертизы средств защиты информации.

− криптографическую защиту наиболее важных информацион-

Закон «Об информации, информатизации и защите информа-

ных ресурсов.

ции» 10.11.2008 г. № 455-3 регулирует общественные отношения,

Работа с сервисами сети Интернет существенно увеличивает

возникающие при поиске, получении, передаче, сборе, обработке,

й

накоплении,

хранении, распространении

и (или)

предоставлении

диапазон угроз информации, обрабатываемой в корпорации.

информации,

а также пользовании информацией;

создании и ис-

Для поддержания режима информационной безопасности в ком-

Б

пользовании информационных технологий, информационных сис-

пьютерных сетях особенно важны программно-технические меры

средства. Ключевыми механизмами являются: идентификация

тем и информационных сетей, формировании информационных ре-

р

аутентификация; управление доступом; технологии обнаружения

сурсов; организации и обеспечении защиты информации.

атак; протоколирование и регистрация; криптография и сетевая за-

Технический регламент Республики Беларусь «Информаци-

щита; экранирование.

онные технологии. Средства защиты информации. Информаци-

Использование в корпоративных сетях межсетевых экранов пре-

онная безопасность» (ТР 2013/027/BY) принят постановлением

и

Совета Министров Республики Беларусь 15.05.2013 г. № 375,

дотвращает возможность нарушения пользователями установлен-

ных администраторами правил безопасности информации, позволя-

«распространяется на выпускаемые в обращение средства за-

ет решать ряд задач:

щиты

информации

независимо от страны происхождения,

за

−

безопасное взаимодействие пользователей и информацион-

исключением средств шифрованной, других видов

й

ных

ресурсов, расположенных в экстранет- и интранет-сетях,

связи

и криптографических

средств защиты

государс венных

с внешними сетями;

секретов»; устанавливает требования к средствам защ

о

ы

н-

− создание технологически единого комплекса мер защиты для

з

формации в целях сохранения жизни и здоровья человекат, му-

распределенных и сегментированных локальных сетей подразделе-

щества, а также предупреждения действий, вводящ х в заблуж-

ний предприятия;

дение

потребителей

о

относ

тельно

(пользователей)

−

построение иерархической системы защиты, предоставляю-

безопасности и качества средств защиты инф рмации.

щей адекватные средства обеспечения безопасности для различных

п

специальн

по степени закрытости сегментов корпоративной сети.

5.7. Обеспечение безопасности в к м ьютерных сетях

Для защиты информации, передаваемой по открытым каналам

е

связи, поддерживающим протоколы TCP/IP, существует ряд про-

Информационный ресурс кор оративного уровня особенно уяз-

граммных продуктов, предназначенных для построения VPN на ос-

вим и требует качеств нной и над жной защиты,

так как информа-

нове международных стандартов IPSec. Виртуальные сети создают-

ционная структура разнородна и состоит из распределенных сис-

Р

ся чаще всего на базе арендуемых и коммутируемых каналов связи

тем, технологий, баз и банков данных.

Мероприятия по защите

241

242

У

в сетях общего пользования

(сеть Интернет). Для небольших

Т

жизненного цикла цифровых ключей и сертификатов (генерация, рас-

и средних компаний они являются хорошей альтернативой изоли-

пределение, отзыв и пр.). Несмотря на существующие международные

рованным корпоративным сетям, так как обладают преимущества-

стандарты, определяющие функционирование системы PKI и способст-

ми: высокая гарантированная надежность, изменяемая топология,

А

вующие ее взаимодействию сразличными средствами защиты инфор-

простота конфигурирования и масштабирования, контроль всех со-

мации, к сожалению, некаждое средство информационной защиты, да-

бытий и действий в сети, относительно невысокая стоимость арен-

Г

же если его производитель декларирует соответствие стандартам,

ды каналов и коммуникационного оборудования.

можетработатьслюбойсистемойPKI.

Системы шифрования с открытым криптографическим интер-

Наиболее критичными с точки зрения безопасности ресурсами

фейсом реализуют различные криптоалгоритмы. Это дает возмож-

в корпоративных сетях являются серверы. Основным способом

ность использовать продукты в любой стране мира в соответствии с

вмешательства в нормальный процесс их функционирования явля-

принятыми национальными стандартами. В настоящее время ин-

ется проведение атак с использованием уязвимых мест сетевого ап-

формационные продукты, предназначенные для шифрования в кор-

паратного и программного обеспечения. Основная задача – свое-

поративных сетях, устанавливаются только на тех рабочих местах,

й

временное обнаружение атаки и противодействие ей.

на которых хранится очень важная информация.

Защита важных рабочих мест и ресурсов от несанкционирован-

Наличие разнообразных модификаций (для клиентских,

серверных

и

ногоБдоступа как средство обеспечения информационной безопас-

платформ, сети масштаба офиса, генерации ключевой информации) по-

ности в компьютерных сетях проводится с помощью дополнитель-

зволяет подбирать оптимальное по стоимости и надежности решение

р

ных средств защиты: криптографических, регламентирования

свозможностьюпостепенногонаращиваниямощностисистемызащиты.

протоколирования действий пользователей, разграничения прав

В связи с постоянными изменениями сети важно своевременное

пользователей по доступу к локальным ресурсам.

выявление новых уязвимых мест, угроз и атак на информационные

Одним из важнейших методов повышения безопасности сетей

о

является использование средств, предусмотренных в стандартных

ресурсы и внесение изменений в соответствующие настройки ин-

формационного комплекса и его подсистем, и в том числе в п д-

протоколах их построения (модель OSI). Обязательно применение

входят

следующих методов: организация доменов безопасности на уровне

систему защиты. Для этого рабочее место администратора системы

должно быть укомплектовано специализированными программны-

транспортной сети и на уровне сервиса электронной почты; регист-

ми средствами обследования сетей и выявления уязвимых мест (на-

рация попыток пользователей установления соединений вне задан-

личия «дыр») для проведения атак «извне» и «снаружи», а

акже

ных доменов безопасности; протокольная аутентификация устанав-

комплексной оценки степени защищенности от атак наруш

елей.

ливаемых соединений; определение доступного сервиса для

Например, в состав продуктов ЭЛВИС+, Net Pro VPN

наи-

каждого конкретного абонента и др.

более мощные среди обширного семейства коммерческ х пакетов

Проблема защиты информации сети Интернет сегодня самая ак-

продукты компании

Internet

го

туальная и в ней выделяются две категории: общая безопасность и

Security Systems (Internet Scanner

и System Security Scanner), а также пр дукты к мпаниииCisco: сис-

надежность финансовых операций. Безопасность сети можно обес-

тема обнаружения

несанкционир ванн

д ступа

NetRanger

печивать на различных уровнях сетевого взаимодействия (рис. 5.6,

и сканер уязвимости системы

безопасн

табл. 5.3) с использованием различных протоколов защиты.

сти NetSonar.з

Поддержка процесса идентификации и аутентификации пользовате-

В качестве протокола сетевого уровня в настоящее времяисполь-

интеграции

существующих приложений и

зуется протокол IPv6, который обеспечивает расширенное адресное

лей и реализация механизма

всех компонент подсист мы б зо асности осуществляется на основе

пространство; улучшенные возможности маршрутизации; управле-

технологии построения инфраструктуры открытых ключей (Public Key

ние доставкой информации; средства обеспечения безопасности, ис-

Р

пользующие алгоритмы аутентификации и шифрования.

Infrastruture – PKI). Основными функциями PKI являются поддержка

243

244

У

При-

Т

Окончание табл. 5.3

SET

PGP

кладной

HTTP

уровень

Стандарт

Функция

Применение

Secure Wide Area

Шифрование

Виртуальные

FTP

SMTP

Сеансо-

Networks (S/WAN)

одноранговых

частные сети

HTTP

FTP

SMTP

SSL

HTTP-S

S/HTTP

HTTP

FTP

SMTP

вый

Абрандмауэрами

уровень

соединений между

Транс-

и маршрутизаторами

TCP

TCP

TCP

портный

уровень

Secure Electronic

Защита транзакций

Smart-карты, серверы

Сетевой

Transaction (SET)

с кредитными

транзакций,

AH ESP

IP

IP

Г

картами

электроннаякоммерция

уровень

й

Спецификация IPsec, входящая в стандарт IPv6, предусматри-

Метод 1

Метод 2

Метод 3

и

Б

вает стандартный способ шифрования трафика на сетевом уровне

Рис. 5.6. Методы защиты данных в сетях

IP и обеспечивает защиту на основе сквозного шифрования (шиф-

рует каждый проходящий по каналу пакет независимо от прило-

жения, что позволяет создавать в сети Интернет виртуальные ча-

Таблица 5.3

стные сети). IPsec использует различные методы обеспечения

комплексной информационной безопасности (применение цифро-

Протоколы защиты данных в сети Интернет

т

р

вой подписи с использованием открытого ключа; алгоритм шиф-

рования, подобный DES, для шифрования передаваемых данных;

Стандарт

Функция

Применение

о

использование хэш-алгоритма для определения подлинности па-

Secure HTTP

Защита транзакций в сети

Браузеры, web-серверы,

кетов и др.)

(S-HTTP)

приложен я для се

Преимущества применения IPsec на сетевом уровне: поддержка

Интернет

отличных от TCP протоколов; поддержка виртуальных сетей в не-

з

защищенных сетях; более надежная защита от анализа трафика;

Secure

Защита пакетов данных

Брау еры, web-серверы,

защита от атак типа «отказ в обслуживании» и др.

Sockets

для

Ядро IPSec составляют три протокола: протокол аутентифи-

Layer (SSL)

на сетевом уровне

п

Интернетсети

кации (Authenti-cation Header – АН), который гарантирует цело-

стность и аутентичность данных; протокол шифрования

(Encapsulation Sectirity Payload – ESP), который шифрует переда-

Secure

Защита вложений

П чт вые программы

MIME

сообщения

с оддержкой

ваемые данные, гарантируя конфиденциальность, может также

приложения

поддерживать аутентификацию и целостность данных; протокол

(S/MIME)

в электронные

на различных платформах

шифрования ицифровой

обмена ключами (Internet Key Exchange – IKE), где решает вспо-

од исиRSA

Р

могательную задачу автоматического предоставления конечным

245

246

У

точкам канала секретных ключей, необходимых для работы про-

Т

6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

токолов аутентификации и шифрования данных.

И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Протокол IPsec создавался в рамках разработок средств защи-

А

щенной передачи пакетов в сети Интернет-2.

6.1. Математические модели и численные методы

Г

Контрольные вопросы

решения задач в различных предметных областях

1. Перечислитеосновные методы и средства защиты информации.

В современном мире математика все больше и больше становит-

2. Дайте определения кодирования и декодирования.

ся одним из важных инструментов познания человеком окружаю-

3. Как осуществляется защита от несанкционированного доступа

щего мира. Математика является основным методом теоретическо-

к данным?

го исследования и практическим орудием в естествознании и тех-

4. Охарактеризуйте классы безопасности компьютерных систем.

нике, без математики совершенно невозможно проводить серьез-

й

5. Сформулируйте определение электронной цифровой подписи.

ные научные и инженерные расчеты. Недаром родоначальник

немецкой классической философии Иммануил Кант (1742–1804 гг.)

и

утверждалБ, что «в каждой отдельной естественной науке можно

на ти собственно науку лишь постольку, поскольку в ней можно

на ти математику». Математика, как наука, возникла в связи с не-

обходимостью решения практических задач: измерений на мест-

ности, навигации и т. д. Вследствие этого математика всегда была

о

ч сленной математикой, ее целью являлось получение решения за-

р

дач в виде числа. Создание ЭВМ дало новый толчок развитию ма-

т

тематики, появились новые дисциплины «математическая экономи-

ка», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д.

Возникло понятие «математическое моделирование». Слово «мо-

и

дель» происходит от латинского modus (копия, образ, очертание).

Моделирование – это замещение некоторого объекта А (оригинала)

з

другим объектом Б (моделью).

Математическая модель – это упрощенное описание реально-

сти с помощью математических понятий. Математическое моде-

лирование – процесс построения и изучения математических мо-

делей реальных процессов и явлений, т. е. метод исследования

п

объектов и процессов реального мира с помощью их приближен-

ных описаний на языке математики – математических моделей.

е

о

Крупнейшие ученые прошлого сочетали в своих трудах как по-

строение математического описания явлений природы (матема-

тические модели), так и его исследования. Анализ усложненных

Р

моделей требовал создания новых, как правило, численных ме-

тодов решения задач.

247

248

У

Основоположником отечественного математического моделиро-

Т

астрофизических явлений). Широкое применение ЭВМ в математи-

вания справедливо считают академика А. А. Самарского. Он выра-

ческом моделировании, разработанная теория и значительные прак-

зил

методологию математического

моделирования

знаменитой

тические результаты позволяют говорить о вычислительном экспе-

триадой «модель – алгоритм – программа».

А

рименте как о новой технологии и методологии научных и прак-

I этап. Модель. Выбирается или строится модель исследуемого

тических исследований. Серьезное внедрение вычислительного

объекта, которая в математической форме отражает его важнейшие

Г

эксперимента в инженерную деятельность еще не очень широко,

свойства. Обычно математические модели реальных процессов дос-

но там, где оно происходит реально (в авиационной и космической

таточно сложны и включают в себя системы нелинейных функцио-

промышленности) его плоды весьма весомы. Отметим некоторые

нально-дифференциальных уравнений. Ядром математической мо-

достоинства вычислительного эксперимента по сравнению с натур-

дели, как правило, являются уравнения с частными производными.

ным. Вычислительный эксперимент, как правило, дешевле физиче-

Для получения предварительных знаний об объекте построенная

ского. В этот эксперимент можно легко и безопасно вмешиваться.

модель

исследуется

традиционными

аналитическими

средствами

Его можно повторить еще раз, если это необходимо, и прервать

прикладной математики.

й

в любой момент. В ходе этого эксперимента можно смоделировать

II этап. Алгоритм. Выбирается или разрабатывается вычисли-

условия, которые нельзя создать в лаборатории. В ряде случаев

тельный

алгоритм

для реализации

построенной

модели

и

проведениеБнатурного эксперимента затруднено,

а иногда

на компьютере, который не должен искажать основные свойства

и невозможно. Часто

проведение

полномасштабного

натурного

модели, должен быть адаптирующимся к особенностям решаемых

р

эксперимента сопряжено с губительными или непредсказуемыми

задач и используемым вычислительным

средствам.

Проводится

последствиями (ядерная война, поворот сибирских рек) или с опас-

изучение построенной математической модели методами вычисли-

ностью для жизни или здоровья людей. Нередко требуется иссле-

тельной математики.

про

дование и прогнозирование катастрофических явлений (авария

III этап. Программа. Создается программное обеспечение для

ядерного реактора АЭС, глобальное потепление или похолодание

реализации модели и алгоритма на компьютере. Создаваемый

-

климата, цунами, землетрясение). В этих случаях вычислительный

граммный продукт должен учитывать важнейшую специфику ма-

эксперимент может стать основным средством исследования. С его

тематического моделирования, связанную необходимос ью исп ль-

помощью оказывается возможным прогнозировать свойства новых,

зования

набора математических

моделей

и

многовариан н

с ью

еще не созданных конструкций и материалов на стадии их проекти-

расчетов. В результате исследователь получает в

руки

рования. В то же время нужно помнить, что применимость резуль-

универсаль-

ный, гибкий и недорогой инструмент, который сначала о лаж ва-

татов вычислительного эксперимента ограничена рамками приня-

ется, тестируется и калибруется на решении набора пробныхтзадач.

той математической модели. В отличие от натурных исследований

Затем проводится широкомасштабное исследован е математ че-

вычислительный эксперимент позволяет накапливать результаты,

го

кол че-

полученные при исследовании какого-либо круга задач, а затем

ской модели для получения необходимых качественных

ственных свойств и характеристик исследуем

бъекта. Предло-

эффективно применять их к решению задач в других областях. На-

женная методология получила

свое развитие в виде технологии

пример, уравнение

нелинейной

теплопроводности

описывает

п

не только тепловые процессы, но и диффузии вещества, движения

«вычислительного эксперимента». Вычислительныйзэксперимент –

это

информационная

технология,

редназначенная для

изучения

грунтовых вод, фильтрации газа в пористых средах.

Изменяется

е

только физический смысл величин, входящих в это уравнение. По-

явлений окружающего мира, когда натурный эксперимент оказыва-

ется либо невозможен (наприм р,

ри изучении здоровья человека),

сле проведения первого этапа вычислительного эксперимента мо-

либо слишком опасен (наприм р,

ри изучении экологических яв-

жет возникнуть необходимость в уточнении модели.

На втором

лений),

Р

этапе учитываются дополнительные эффекты и связи в изучаемом

либо слишком дорог и слож н (например, при изучении

249

250

У

явлении, либо возникает необходимость пренебречь некоторыми

Т

численный метод решения алгебраических уравнений, а Эйлер –

закономерностями и связями. Затем этот процесс повторяют до тех

численный метод решения обыкновенных дифференциальных урав-

пор, пока не убеждаются, что модель адекватна изучаемому объек-

нений. Классическим примером применения численных методов

ту. Обычно в процессе математического моделирования и вычисли-

А

является открытие планеты Нептун, а так же планеты Уран, сле-

тельного эксперимента участвуют помимо профессиональных ма-

дующей за Сатурном, который много веков считался самой

тематиков и программистов специалисты в конкретной предметной

Г

из далеких планет. К 40-м годам XIX в. точные наблюдения показа-

области (биологии, химии, медицине и др.). Первый серьезный вы-

ли, что Уран едва заметно уклоняется от того пути, по которому он

числительный эксперимент был проведен в СССР в 1968 г. группой

должен следовать с учетом возмущений со стороны всех известных

ученых под руководством академиков А. Н. Тихонова и А. А. Са-

планет. Леверье (во Франции) и Адамс (в Англии) высказали пред-

марского. Это было открытие, так называемого, эффекта Т-слоя

положение, что если возмущения со стороны известных планет

(температурного токового

слоя

в плазме,

которая

образуется

не объясняют отклонение в движении Урана, значит на него дейст-

в МГД-генераторах) – явления,

которого на самом

деле никто

вует притяжение еще неизвестного тела. Они почти одновременно

не наблюдал. И только через несколько лет Т-слой был зарегистри-

й

рассчитали, где за Ураном должно быть неизвестное тело, произ-

рован в экспериментальных физических лабораториях и техноло-

водящее своим притяжением эти отклонения. Они вычислили орби-

гам и инженерам окончательно стал ясен принцип работы МГД-

и

ту неизвестнойБпланеты, ее массу и указали место на небе, где

генератора с Т-слоем. В последние годы ряд Нобелевских премий

в данное время она должна была находиться. Эта планета и была

по химии, медицине, экономике, физике элементарных частиц были

р

на дена в телескоп на указанном ими месте в 1846 г. Ее назвали

присуждены работам, методологическую основу которых составля-

Нептуном. Для расчета траектории Нептуна Леверье понадобилось

ло именно математическое моделирование. Математические моде-

полгода. Численное решение прикладных задач всегда интересова-

ли для описания изучаемых явлений в механике, физике и других

ло математиков. Разработкой численных методов занимались круп-

о

нейшие ученые своего времени: Ньютон, Эйлер, Лобачевский, Га-

точных науках естествознания использовались достаточно давно.

3 – 4 тысячи лет назад решали задачи прикладной математики, свя-

усс, Эрмит, Чебышев и др. Численные методы, разработанные ими,

занные с вычислением площадей и объемов, расчетами

простейших

носят их имена. Развитие численных методов способствовало по-

механизмов, т. е. с несложными

задачами

арифметики, алгебры

стоянному расширению сферы применения математики в других

и геометрии. Вычислительными средствами служили собс венные

научных дисциплинах и прикладных разработках. Появление ЭВМ

пальцы, а затем – счеты. Большинство вычислений выполнялось

дало мощный импульс еще более широкому внедрению численных

точно, без округлений. В XVII в. Исаак Ньютон полнос ью оп сал

методов в практику научных и технических расчетов. Скорость вы-

закономерности движения планет вокруг Солнца, решал задачи

полнения вычислительных операций выросла в миллионы раз, что

геодезии, проводил расчеты механических конструкц й. Задачи

позволило решить широкий круг математических задач, бывших до

мотором. В это время были разработаныалгоритмы численных ме-

математики, исследующий широкий круг вопросов, связанных

сводились к обыкновенным дифференциальным уравнен ям, л бо

этого практически не решаемыми. Разработка и исследование вы-

к алгебраическим системам с большим числ м неиивестных, вы-

числительных алгоритмов, их применение к решению конкретных

числения проводились с достаточно выс к й т чн стью до восьми

задач составляет содержание огромного раздела современной ма-

исп

тематики – вычислительной математики. Вычислительная матема-

значащих цифр. При вычислениях

льз валисьзтаблицы элемен-

тарных функций, арифмометр, логарифмическая линейка; к концу

тика как самостоятельная математическая дисциплина сформиро-

этого периода появились

не

валась в начале XX в. Ее определяют в широком смысле как раздел

лохие клавишные машины с электро-

тодов, которые до сих пор занимают очетное место в арсенале вы-

с использованием ЭВМ. В узком смысле вычислительную мате-

Р

матику определяют как теорию численных методов и алгоритмов

числительной математики. Так Ньютон предложил эффективный

251

252

У

решения поставленных математических задач. Современные ком-

Т

но связана с его корректностью. Пусть исходная математическая

пьютерно-ориентированные численные методы должны удовлетво-

задача поставлена корректно, т. е. ее решение существует, единст-

рять многообразным и

зачастую противоречивым

требованиям.

венно и непрерывно зависит от входных данных. Тогда дискретная

Обычно построение численного метода для заданной математиче-

А

модель этой задачи должна быть построена так, чтобы свойство

ской модели разбивается на два этапа: дискретизацию исходной

корректности сохранялось. Следовательно, в понятие корректности

математической задачи и разработку вычислительного алгоритма,

Г

численного метода включаются свойства однозначной разрешимо-

позволяющего отыскать решение дискретной задачи. Выделяют две

сти соответствующей системы уравнений и ее устойчивости.

группы требований к численным методам. Первая группа связана

Под устойчивостью понимается непрерывная зависимость от вход-

с адекватностью дискретной модели исходной математической за-

ных данных. Вторая группа требований, предъявляемых к числен-

даче, вторая – с реализуемостью численного метода на имеющейся

ным методам, связана с возможностью реализации данной дискрет-

вычислительной технике. К первой группе относятся такие требо-

ной модели на данном компьютере, т. е. с возможностью получить

вания, как сходимость численного метода, выполнение дискретных

численное решение за приемлемое время. Обычно сложные вычис-

аналогов законов сохранения, качественно правильное поведение

й

возникающие

при

исследовании физических

лительные задачи,

решения дискретной задачи. Предположим, что дискретная модель

и технических проблем, разбиваются на ряд элементарных. Многие

математической задачи представляет собой систему большого чис-

и

элементарныеБзадачи являются несложными, они хорошо изучены,

ла алгебраических уравнений. Обычно, чем точнее мы хотим полу-

для них уже разработаны методы численного решения и имеются

чить решение, тем больше уравнений приходится брать. Говорят,

р

стандартные программы решения. Целью данной главы является зна-

что численный метод сходится, если при неограниченном увеличе-

комство с методологией построения и исследования основных чис-

нии числа уравнений решение дискретной задачи стремится к ре-

ленных методов алгебры и математического анализа и проблемами,

шению исходной задачи. Поскольку реальный компьютер может

возникающими при численномрешении задач.

оперировать лишь с конечным числом уравнений, на практике

схо

Построение модели объекта, явления начинается с выделения его

-

димость, как правило, не достигается. Следовательно, очень важно

наиболее существенных черт и свойств и описания их спомощью ма-

уметь оценивать погрешность метода в зависимости от числа урав-

тематических соотношений. Затем, после создания математической

нений, составляющих дискретную модель. По этой же причине с а-

модели, ее исследуют математическими методами, т. е. решают сфор-

раются строить дискретную модель так, чтобы она

-

мулированную математическую задачу.

правильно

Построение математической модели является одним из наиболее

ражала качественное поведение решения исходной задачи даже

при сравнительно небольшом числе уравнений. При д скре зац и

сложных и ответственных этапов исследования объекта. Матема-

выполнялись аналоги таких законов с храненияразностным. Разностные схе-

точность определяется степенью соответствия, адекватности моде-

задач математической физики приходят к

тсхемам,

тическая модель никогда не бывает тождественна рассматрива-

представляющим собой системы линейных или нел нейных алгеб-

емому объекту, не передает всех его свойств и особенностей. Она

том

основывается на

упрощении,

идеализации

и является приб-

раических уравнений. Дифференциальные уравнен я математ че-

ской физики являются следствиями интегральных

аконов сохране-

лизительным описанием объекта. Поэтому результаты, получаемые

ния. Поэтому естественно требовать, чт бы для

ностной схемы

на основе этой модели, имеют всегда приближенный характер. Их

п

называются консерва-

ли и объекта. Вопрос о точности является важнейшим в прикладной

мы, удовлетворяющие этому треб ванию,

рвативные

же числе уравнений

математике. Однако он не является чисто математическим вопро-

тивными. Оказалось, что при одном и

в дискретной задаче конс

разностные схемы более пра-

сом и не может быть решен математическими методами. Основ-

вильно отражают повед ние р ш ния исходной разностной задачи,

ным критерием истины является эксперимент, т.е. сопоставле-

Р

ние результатов,

получаемых

на

основе

математической

чем неконсервативные сх мы. Сходимость численного метода тес-

253

254

модели, с рассматриваемым объектом. Только практика позволяет

Однако

как

показывает

У

получаемые

практика,

результаты,

сравнить различные гипотетические модели и выбрать из них наи-

на основе этой модели, оказываются справедливыми лишь при ма-

более простую и достоверную, указать области применимости раз-

лых начальных скоростях движения тела v < 30 м/с. С увеличением

личных моделей и направление их совершенствования. Рассмотрим

скорости

v0 дальность полета становится меньше величины, да-

развитие модели на примере известной задачи баллистики об опре-

ваемой формулой (6.1).

делении траектории тела, выпущенного с начальной скоростью ν0

Г

Такое расхождение экспериментаТс расчетной формулой (6.1) го-

под углом α0 к горизонту. Предположим, что скорость ν0 и даль-

ворит о неточности модели Галилея, не учитывающей сопротивле-

ность полета тела небольшие. Тогда для данной задачи будет спра-

ние воздуха.

ведлива математическая модель Галилея, основанная на следующих

Б

Дальнейшее уточнениеАмодели баллистической задачи в части

допущениях:

учета сопротивления воздуха было сделано Ньютоном. Это позво-

− Земля – инерциальная система;

лило с достаточной точностью рассчитывать траектории движения

− ускорение свободного падения g = const;

пушечных ядер, выстреливаемых со значительными начальными

− Земля – плоское тело;

скоростями.