Вопросы-диктант 2 семестр Захарова
.pdf1.Определение векторного пространства
2.Определение линейной комбинации
3.Определение линейной зависимости и независимости
4.Определение базиса и ранга
5.Критерий линейной зависимости
6.Теорема о количестве векторов в базисе
7.Теорема о разложении вектора по базису
8.Матрица перехода от базиса к базису. Определение.
9.Определение подпространства
10.Лемма о том, когда подмножество является подпространством
11.Определения суммы и прямой суммы подпространств
12.Лемма о дополнении любого ЛНЗ множества до базиса
13.Теорема о размерностях суммы и пересечения
14.Определения ранга матрицы по строкам, по столбцам, по минорам. Теорема об равенстве рангов.
15.Теорема о связи определителя и ранга.
16.Теорема о задании подпространства с помощью СЛУ, связи ранга СЛУ и размерности полученного подпространства.
17.Теорема Кронекера-Капелли.
18.Определение линейного преобразования и линейного оператора.
19.Ядро, образ линейного преобразования. Определения.
20.Вырожденные и невырожденные линейные преобразования. Определения.
21.Теорема о размерностях ядра и образа.
22.Матрица линейного оператора. Определение.
23.Инвариантные подпространства.
24.Собственные числа и собственные векторы. Характеристический многочлен.
25.Теорема о векторах от разных собственных чисел.
26.Жорданова форма матрицы. Определение.
27.Теорема о жордановой форме.
28.Нильпотентные преобразования. Определение. Индекс нильпотентности.
29.Теорема о жордановой форме нильпотентного оператора.
30.Лемма Фиттинга.
31.Теорема Гамильтона-Кэли.
32.Скалярное произведение. Определение.
33.Определение унитарного и евклидова пространства.
34.Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника.
35.Ортогональные вектора.
36.Угол между векторами.
37.Теорема Пифагора для многомерного унитарного пространства. Теорема о сумме углов в треугольнике.
38.Ортогональные и ортонормированные системы векторов.
39.Процесс ортогонализации и теорема о существовании о/н базиса.
40.Ортогональные дополнения. Определение.
41.Ортогональная проекция вектора на подпространство.
42.Линейные многообразия. Определение.
43.Сопряженные преобразования. Матрица сопряженного преобразования.
44.Самосопряженные преобразования. Матрица, жорданова форма.
45.Ортогональные и унитарные преобразования. Матрица, жорданова форма.
46.Билинейные формы. Определение.
47.Матрица билинейной формы.
48.Квадратичные формы. Определение.
49.Алгоритм Лагранжа.
50.Теорема инерции.
51.Критерий Сильвестера.
52.Определение движения.
53.Базовые движения (поворот, параллельный перенос, осевая симметрия, скользящая симметрия).
54.Теорема о том, что каждое движение определяется 3 (4) точками.
55.Теорема о том, что каждое движение раскладывается в композицию симметрий.
56.Теорема Шаля для плоскости.
57.Эллипс. Определение. Каноническое уравнение. Координаты фокусов.
58.Парабола. Определение. Каноническое уравнение. Координаты фокуса и уравнение директрисы.
59.Гипербола. Определение. Каноническое уравнение. Координаты фокусов, уравнение асимптот.
60.Эксцентриситет и директриса. Определение.
61.Теорема о том, что кривая с директрисой - КВП.
62.Эксцентриситет и директриса эллипса, гиперболы, окружности.
63.Фокальное свойство кривых второго порядка.
64.Поверхности второго порядка. Определение.
65.Эллипсоид. Уравнение и эскиз графика.
66.Гиперболоиды. Уравнения и эскизы графиков.
67.Параболоиды. Уравнения и эскизы графиков.
68.Конус. Уравнение и эскиз графика.
69.Цилиндрические поверхности.
70.Распадающиеся плоскости.