4 курс / Лучевая диагностика / Физика_ядерной_медицины_Часть_1_Климанов_В_А_

для процессинга цифровых изображений. Свертка двух функций – это математическая операция двух функций h(x) и f(x), порождающая третью функцию g(x), которая может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных, например, после операций осреднения или сглаживания. Свертка h(x) и f(x) записывается как h f (символ звездочки). Для непрерывных функций она определяется как интеграл от произведения двух функций после того, как одна реверсируется и смещается. По существу, это особый вид интегрального преобразования:

Операция свертки иллюстрируется на рис. 5.8 для двух функций, заданных в виде прямоугольных импульсов разной длительности.

Рис. 5.8. Пример свертки двух непрерывных функций h(x) и f(x). Более темным цветом показана площадь, равная интегралу (5.9) при разных значениях x (адаптировано из [4])

221

Одномерная дискретная свертка двух дискретных функций h(i) и f(i) длиной N определяется как

i N / 2

С точки зрения вычислительного процесса более легким и быстрым способом расчета свертки двух функций является использование теоремы свертки. В этой теореме доказывается, что свертка двух функций эквивалентна перемножению их преобразований Фурье в частотном пространстве. Таким образом, уравнение свертки (5.9) можно выразить в виде

3.4. Дискретные преобразования Фурье

Для преобразования дискретной формы изображения в частотной пространство традиционно применяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ, англ. DFT). Двумерное прямое и обратное дискретные преобразования Фурье для выборки N × N пикселей изображения [f(m,n)] записываются следующим образом:

где k и l – координаты в двумерном частотном домене; m и n – координаты в двумерном пространственном домене.

На практике со второй половины прошлого века большинство расчетов в прямом и обратном преобразовании Фурье выполняется с помощью высокоэффективного метода – "быстрого преобразования Фурье".

222

3.5. Графическое изображение дискретного преобразования Фурье

Для лучшего понимания ДПФ рассмотрим графическую иллюстрацию этого процесса, показанную на рис. 5.9. Для простоты проанализируем одномерный сигнал. На левой стороне рис. 5.9 представлены графики функций в пространственном домене и на правой стороне – в частотном домене.

Рис. 5.9. Графическая иллюстрация дискретного преобразования Фурье [4]

На рис. 5.9,А и 5.9,В показаны графики сигнала f(x) и его непрерывного преобразованием Фурье F(u). Процесс выборки, как это следует из уравнения (5.5), выполняется умножением f(x) на бесконечную импульсную последовательность с интервалом между импульсами равном x (рис. 5.9,С). Преобразование этой последова-

223

тельности также является бесконечной последовательностью с частотным интервалом равном 1/(Δx) (рис. 5.9,D). Выборочная функция f(n·Δx) показана на рис. рис. 5.9,E.

Из теоремы свертки известно, что перемножение в одном домене эквивалентно свертке в другом домене. Таким образом, преобразование Фурье f(n·Δx) есть просто функция F(u) (рис. 5.9,B), свернутая с бесконечной последовательность импульсов (рис. 5.9,D). Как можно видеть из рис. рис. 5.9,F, выборка функции порождает репликацию ее преобразования Фурье с периодом 1/(2Δx), и дополнительно наблюдается небольшой эффект наложения, так как репликации более высоких частот имеет тенденцию свертки в частотный диапазон исходной трансформации F(u).

Согласно теореме свертки, если f(x) не имеет частотного ограничения (т.е. F(u) ≠ 0 для |u| > uc), то возникнет погрешности наложения. Эффект наложения можно уменьшить с помощью сужения интервала выборки (Δx). Дискретная функция, показанная на рис. 5.9,Е, является бесконечно длинной последовательностью. Для представления в цифровом компьютере требуется конечное число выборочных значений. Таким образом, необходимо усечение или оконное представление бесконечной последовательности. Этот шаг очень существенен в процессе выборки и выражается графически через перемножение f(n·Δx) (рис. 5.9,Е) с прямоугольным импульсом шириной, равной полю обзора камеры FOV (рис. 5.9,G). Усеченная выборочная последовательность f(i) показана на рис. 5.9,I. Преобразование Фурье прямоугольного импульса представляет синусоидальну функцию (sin u) / u (рис. 5.8,H).

Из теоремы свертки следует, что перемножение в пространственном домене эквивалентно свертке в частотном домене. Поэтому существенное усечение, которое было реализовано прямоугольным импульсом шириной, равной FOV, эквивалентно свертке выборочной частотной трансформанты с синусоидальней функцией, показанной на рис. 5.8,H. По этой причине частотная трансформация f(i) содержит небольшие пульсации, видимые на рис. 5.9.J. Дискретное преобразование Фурье выполняется выборкой функции, показанной на рис. 5.9.J, с интервалом выборки 1/ FOV в частотном

диапазоне u 1/(2 x). Этот анализ наглядно выявил два эффекта, которые вызывает дискретное преобразование Фурье в отличие

224

от непрерывного преобразования Фурье, а именно, частотное наложение и усечение.

3.6. Модель процесса визуализации

При анализе систем получения изображений бывает полезно сформировать модель процесса визуализации. Эту модель можно упростить, приняв допущения, что система визуализации линейна и обладает инвариантностью относительно сдвига (т.е. влияние размытия (нечеткости) изображения гамма-камеры является одинаковым во всех частях изображения). Дополнительно, предположим, что статистические вариации или шум в изображении входят в процесс набора изображения аддитивно. Т.е. модель предполагает, что флуктуации, обусловленные шумом, включаются в изображение после того, как завершится процесс размытия изображения, связанный с физическими особенностями камеры. В результате этих упрощающих допущений процесс формирования изображения математически можно выразить в виде следующей модели:

где ** означает дискретный двумерный оператор свертки; g(i,j) – размытие, измеренного изображения; h(i,j) – функция PSF системы изображения, которая характеризует размытие изображения в пространственной позиции (i,j); f(i,j) – идеальное изображение объекта (без размытия проекции распределения р/н внутри пациента).

Так как PSF системы изображения зависит от расстояния источник – детектор и от геометрии источника, h(i,j) (и H(u,v)) обычно моделируются для среднего расстояния источник-детектор и средней глубины источника в пациенте. Используя теорему свертки, данную модель процесса формирования изображения можно также выразить в частотном домене в виде:

где H, F, N обозначают двумерное преобразование Фурье соответствующих функций; u,v – координаты в частотном пространстве.

225

4. Фильтрация цифрового изображения

Цифровой фильтр является математической операцией, совершаемой над сигналом (или изображением), в которой выборочно ослабляются или усиливаются различные частоты этого сигнала. Фильтрация может быть применена как в пространственном домене в виде свертки функции фильтра с сигналом, так и в частотном домене через трансформацию Фурье функций фильтра и сигнала, их перемножением и последующем расчетом обратного преобразования Фурье результата перемножении. В этом разделе рассматриваются некоторые виды цифровых фильтров и обсуждаются методы фильтрации, наиболее часто применяемые к сцинтиграммам в ЯМ. За основу изложения взята обзорная работа [4].

4.1. Линейная и нелинейная фильтрация

Изображения, полученные через процессинг с линейными фильтрами, представляют линейную комбинацию значений в различных пространственных позициях нефильтрованного изображения. В этом разделе обсуждаются, главным образом, линейные фильтры, хотя на практике используется и некоторое количество нелинейных фильтров. Как пример, можно привести медианную фильтрацию, заменяющую значение в каждом пикселе изображения медианным значением группы пикселей, окружающих конкретный пиксель. Разработан также ряд мощных нелинейных методов фильтрации, авторы которых пробуют смоделировать стохастическую природу измеряемых изображений [3, 5, 6].

4.2. Стационарные и нестационарные фильтры

В стационарных цифровых фильтрах делаются допущения, что случайный шум и размытие системой являются инвариантными в пределах изображения. Другими словами, фильтры не подстраиваются под локальные вариации в отношении сигнал/шум в разных местах изображения. Эти допущения, строго говоря, не соответствуют реальной ситуации, так как размытие системой (PSF) зависит от геометрии источника и пуассоновское распределение шума ме-

226

няется в пределах изображения. Тем не менее данные допущения, как правило, делаются, потому что реализация стационарных фильтров проще с вычислительной точки зрения. Применение нестационарных фильтров является более сложной задачей, однако они имеют преимущество в отношении учета локальных характеристик изображения. В качестве примера приведем фильтр, который подавляет шум в низкочастотном диапазоне и усиливает в высокочастотном.

4.3. Низкочастотные фильтры и восстанавливающие фильтры

Низкочастотные фильтры (иногда называемые сглаживающими фильтрами) используются для уменьшения статистических флуктуаций сигнала или изображения. Этот вид фильтрации может быть применен как в пространственном, так и в частотном доменах. В пространственном домене низкочастотная фильтрация выполняется с помощью свертки функции фильтра с сигналом. На рис. 5.10 показан пример применения пятиточечного биноминоминального сглаживающего фильтра к одномерной последовательности данных. Центр фильтра передвигается от элемента к элементу в ряде данных. Фильтрованное значение каждого элементы генерируется как одна девятая (обратная к сумме 1-2-4-2-1) от взвешенной суммы значений фильтра, умноженных на последовательность данных.

Рис.5.10. Пример применения биноминального сглаживающего фильтра [4]

227

В рассматриваемом примере краевые точки рассчитываются "обертыванием" фильтра вокруг противоположной стороны последовательности. В случае двумерного пространственного домена низкочастотный фильтр применяется аналогичным образом. Как правило, тогда используется девятиточечная биноминальная функция размытия, имеющая следующие значения:

1 2 1

2 4 2

1 2 1

Рис.5.11. Зависимость амплитуды фильтра Баттеруорта четвертого порядка от частоты для граничных частот, равных 0,1, 0,25 и 0,45, умноженных на частоту Найквиста [4]

В частотном домене низкочастотный фильтр не трогает низкие частоты изображения и в то же время ослабляет высокие частоты. Амплитуда частотного домена низкочастотного фильтра никогда не превышает 1,0 и уменьшается с увеличением частоты.

228

дем называть объектным изображением. Фильтр реконструкции представляет математическую операцию, выполняемую с измеренным (зарегистрированным) изображением для получения объектного изображения. Восстановительная фильтрация отличается от низкочастотной фильтрации тем, что она не только подавляет шум, но также уменьшает эффекты искажения, связанные с системным размытием (они вызываются как особенностями отклика камеры, так и рассеянием излучения).

Одно из решений проблемы реконструкции изображения состоит в применении обратного фильтра в виде:

где F – оценка преобразования Фурье объектного изображения; MTF – модуляционная передаточная функция.

Уравнение (5.16) известно как определение обратного фильтра, так как преобразование Фурье измеренного изображения умножается на обратную величину модуляционной передаточной функ-

ции). Оценка истинного изображения объекта f (i, j) может быть

отсюда рассчитана через операцию обратного преобразования Фурье. Однако эта операция имеет тенденцию к излишнему усилению шума в изображении. С другой стороны, известно [7], что высокочастотным компонентом изображения является по преимуществу шум, поэтому желательно ослабить этот компонент изображения. Таким образом, в частотном домене за восстановительным фильтром должна следовать инверсия передаточной функции в диапазоне низких частот, где мощность сигнала выше, чем мощность шума, и затем спадать до нуля в области высоких частот, где преобладает шум.

Частота, при которой фильтр должен приостановить обращение MTF и начать cпадание к нулю (пороговая частота), зависит от относительного количества шума в изображении. Следовательно, при увеличении шума в изображении пороговая частота фильтра должна понижаться, тем самым отфильтровывая больше шума. На рис. 5.13 даны графики обратного MTF фильтра и семейства фильтров реконструкции Метца (см. ниже), оптимизированных для различных уровней шума.

230