4 курс / Лучевая диагностика / Дозиметрическое_планирование_лучевой_терапии_Часть_1_Дистанционная

где Ti, ρi и ηi – терма, массовая плотность и относительная объемная плотность электронов на сегменте i.

Волновая первичная энергия линии с учетом всех сегментов определяется рекурсивно:

где ri=0 должно находиться вне поля облучения и соответственно

Rmnp (ri=0 ) = 0 .

По существу, уравнения (20) и (23) являются сверткой кусочнопостоянного источника с кусочно-масштабируемым экспоненциальным ядром.

Волновая энергия рассеянных фотонов рассчитывается аналогично. Но экспоненциальные факторы для рассеянной дозы можно аккуратно аппроксимировать двумя членами разложения в ряд, т.е:

(24)

Поглощенная доза рассчитывается аналогично тому, как это сделано в уравнении (21), но применение алгоритма “Разложение на конусы” приводит к замене массового элемента

ρlmn rl2 Ωmn dr в (21) на ρi d 2u dr .

Таким образом, полная доза в точке r определяется как сумма первичных и рассеянных доз по всем дискретным направлениям распространения волновой энергии:

Геометрическая иллюстрация сетки, состоящей из 3х3х3 ячеек и 26 конусных направлений, приводится на рис. 5.10.

Как видно из выражений (22) и (24), “нечисловой фактор” d 2u , находящийся в знаменателе выражения (26), сокращается. Рекурсивная форма уравнений (23) и (24) делает их очень удобными для численной реализации на компьютерах. Время, требуемое для расчета 3-мерного дозового распределения в этом алгоритме, пропорционально M·N 3, где M – число конусных направлений. Это время

171

на порядки меньше времени, требуемого для прямого численного интегрировании выражения (4).

Экспериментальная проверка метода дала хорошие результаты. Особенно следует отметить, что по сравнению с другими методами данный метод значительно точнее рассчитывает дозы при наличии негомогенностей.

5.Метод тонкого луча

5.1.Общая постановка

Величина дозы в произвольной точке в декартовой системе координат на основе модели тонкого луча определяется с помощью интегрирования по площади поля облучения S следующим выражением:

где ΨE (x′, y′, z′ = 0) – энергетический флюенс на поверхности об-

лучаемого объекта.

При записи уравнения (26) предполагалось, что пучок падающего излучения является мононаправленным. Реальная расходимость пучков учитывается в большинстве случаев с помощью закона обратных квадратов. Подобное приближение не приводит к значимым погрешностям в практических задачах. Исключение представляют задачи расчета доз для больших размеров полей. В этом случае на уменьшение точности расчета может повлиять зависимость ядра ТЛ от угла падения при косых углах падения.

172

В настоящее время в системах дозиметрического планирования применяются различные модификации алгоритма ТЛ. Условно их можно разделить на две группы: численное представление ядра ТЛ и аналитическая аппроксимация ядра ТЛ. Рассмотрим подробнее последнюю.

5.2. Аналитическая аппроксимация ядра тонкого луча в воде

Наиболее удачную аналитическую аппроксимацию ядра ТЛ предложили авторы работы [27] для тормозного излучения в диапазоне 4 MВ÷18 MВ. Она имеет следующий вид:

где Az, Bz, az и bz – эмпирические параметры, зависящие для данного спектра тормозного пучка только от глубины z. Формула (29) удобна тем, что позволяет свести расчет дозы в модели ТЛ от двойного интегрирования в соответствии с (26) к сумме интегралов Зиверта (см.далее 5.3).

Подбор эмпирических параметров проводился в работе [27] методом наименьших квадратов, минимизируя разность между расчетом по формуле (29) и результатами расчета ядра ТЛ методом Монте-Карло. В самой публикации [27] приводятся значения параметров для 5MВ, 8MВ и 18MВ тормозного излучения. Результаты, полученные в [27] для 18 MВ представлены в табл. 5.1.

Как видно из табл. 5.1, величина b >> a. Это получилось не случайно. Авторы [27] попытались выполнить аппроксимацию таким образом, чтобы первый член в формуле (29) был близок к первичной дозе, а второй член к дозе от рассеянного излучения. Сравнение с результатами расчета методом Монте-Карло показало, что в этом случае для глубин z<10 см первичная доза первым членом переоценивается, а доза от рассеянного излучения вторым членом, наоборот, недооценивается.

Другая, также достаточно удобная аналитическая аппроксимация ядра ТЛ, была предложена в работах [53,54] в виде:

174

где Ci и σi – эмпирические параметры, значения которых опреде-

лялись методом наименьших квадратов, минимизируя разность между результатами расчета по формуле (30) и методом МонтеКарло; I(z) – площадь под дозовым распределением по переменной r на глубине z, нормированная на один фотон, т.е:

Значения I(z) и параметров Ci и σi, полученные в работах [53,54] приводятся в приложении.

Таблица 5.1

Значения эмпирических параметров формулы (29) для 18 MВ пучка

Привлекательность дозового ядра ТЛ в форме (30) заключается в том, что при расчете дозы от полей прямоугольной формы, используя данную форму ядра, результат получается в виде суперпозиции функции ошибок (erf (x)).

К сожалению, авторы работы [53] не провели всесторонний анализ погрешностей, возникающих при расчете ядра ТЛ по формуле (29), и погрешностей расчета дозы при планировании облучения, используя эту аппроксимацию.

Наиболее точная аналитическая аппроксимация дозового ядра ТЛ была предложена в работе [55]. Отметим две важных особенности этой аппроксимации:

1) авторы предложили отдельные выражения для компонента ядра ТЛ, связанного с первичной дозой (Кр), и компонента, связанного с дозой от рассеянных фотонов (Кs);

175

2) предложенные формулы с погрешностью меньше 5% описывают дозовые ядра для моноэнергетических тонких лучей в диапазоне энергий фотонов от 0,1 до 24 МэВ.

Предложенная в работе [55] аппроксимация имеет следующий вид:

где Bi, bi, ci, ki – эмпирические параметры, значения которых подбирались методом наименьших квадратов, минимизируя отклонения от результатов расчетов методом Монте-Карло, также выполненных в работе [50]; rp и rs – эмпирические параметры, близкие по значению к пробегу первичных электронов в воде. Значения всех эмпирических коэффициентов для источника 60Со приводятся в приложении.

5.3. Алгоритм тонкого луча на основе аналитической аппроксимации ядра ТЛ

5.3.1. Разложение дозы на отдельные компоненты

Как отмечалось выше в литературе, имеется не один вариант расчета дозы, использующий модель тонкого луча. Но исторически первым и до сих пор наиболее проработанным является метод, предложенный в работе [27]. Отметим важные особенности этого метода.

1. Доза в точке детектирования представляется в виде суммы отдельных компонент:

где Dp – доза, создаваемая первичным фотонным излучением;

Ds – доза, создаваемая фотонами, рассеянными в облучаемом объеме;

176

Dзч – доза от заряженных частиц, образующихся при взаимодействии первичных фотонов с веществом конструкционных материалов головки облучателя и воздуха;

Dзф – доза от фотонов, рассеянных в головке облучателя или прошедших через коллимационные пластины.

2.Поле излучения произвольной формы разбивается на отдельные прямоугольные треугольники.

3.При расчете дозы от отдельного треугольного элемента используется аналитическая аппроксимация (29) ядра ТЛ.

4.Учет негомогенности среды делается в одномерном приближении “прямо вперед”.

5.3.2. Методика триангуляции поля излучения

Рассмотрим методику триангуляции на примере нерегулярного поля, представленного на рис. 5.11,а в виде полигона. Доза в точке Р от такого полигона после его триангуляции равна:

Далее доза от поля в виде треугольника произвольной формы (три степени свободы) представляется в виде суперпозиции полей от прямоугольных треугольников (две степени свободы). Пример показан на рис. 5.11,б, где доза в точке Р от треугольника PAF равна:

5.3.3.Расчет дозы в гомогенной среде

Впредположении, что пучок является нерасходящимся с однородным энергетическим флюенсом по площади каждой треугольной секции, получаем следующее выражение для дозы на глубине z

вгомогенном слое:

где ki = ±1 в зависимости от знака скалярного произведения векторов от расчетной точки до вершин i-го треугольника;

177

Ψi – энергетический флюенс в пределах i-го треугольника;

θi и Li – угол и высота треугольника, соответственно (рис. 5.11);

K тл(z,r) – ядро ТЛ, отнесенное к поглощению энергии на еди-

ρ

ницу массы (т.е. дозовое ядро) элементарного объема вблизи точки

(z, r).

Выражение (39) интегрируется по переменной r, если ядро выражено в аналитической форме (29). В результате для первичной дозы уравнение имеет вид:

Второй член в формуле (40) известен как интеграл Зиверта первого рода. Его значения могут быть предварительно достаточно просто определены численно и введены в память компьютера в виде двумерных таблиц для набора глубин по z.

Аналогичное выражение с заменой параметров А, а на B, b получается для дозы от рассеянного излучения.

Если предположение о постоянстве энергетического флюенса в пределах i-го треугольника не выполняется, то в уравнение для до-

зы от рассеянного излучения вместо Ψi следует включить Ψi :

Авторы [27] утверждают, что в типичном случае достаточно четырех точек, равномерно выбранных по площади треугольника.

При расчете дозы от первичного излучения эта замена не очень актуальна вследствие быстрого уменьшения с увеличением расстояния вкладов в первичную дозу от элементов площади треугольного поля.

178

Спроектированное на глубину z (рис. 5.13) нормализованное распределение имеет вид:

Коллиматор

Z

2σz

.

Рис. 5.13. К модели расширенного гауссовского источника.

Так как сворачивание (42) с первым членом ядра (29) нельзя провести аналитически, в работе [27] были выполнены численные расчеты, результаты которых аппроксимировались аналитически следующим выражением:

180