4 курс / Лучевая диагностика / Введение_в_комп_рентг_и_нейтронную_томографию
.pdf60 |
Глава 4 |
|
|
Система выдает (генерирует) в реальном режиме времени трехмерные цветные изображения исследуемых объектов с высоким разрешением. Возможность сканирования ноутбуков в их сумках, фото- и видеокамер в футлярах, мобильных средств связи в чехлах и т.п. ускоряет процесс проведения досмотра. Специальное устройство автоматического возврата лотков экономит рабочее время и силы обслуживающего персонала.
По своим функциональным и техническим характеристикам Cobra превосходит традиционные рентгенотелевизионные интроскопические системы. В то же время томограф Cobra является одним из самых компактных томографов, позволяющих получать изображения высокого качества.
Контрольные вопросы к главе 4
1.Основные режимы работы томографического оборудования.
2.Технические характеристики рентгеновских томографических установок.
3.Технические характеристики томографических установок с использованием быстрых нейтронов.
4.Технические характеристики томографических установок с использованием тепловых нейтронов.
5.Установки с портативными источниками быстрых нейтронов.
6.Чем определяется эффективность использования быстрых нейтронов?
7.Устройство микрофокусных источников рентгеновского излучения (ознакомиться по материалам существующих публикаций).
8.Производители томографического оборудования.
9.Обосновать выбор томографического оборудования для контроля изделий атомной промышленности.
Математические основы томографии |
61 |
|
|
Глава 5. Математические основы томографии
Одна из главных проблем, возникающих при решении математических задач томографии, – выбор оптимального алгоритма, критерием отбора которого может служить, например, качество изображения.
Качество полученного изображения определяется следующими параметрами:
-пространственным разрешением;
-контрастностью;
-шумом;
-пространственной однородностью;
-линейностью;
-наличием артефактов.
На данный момент не существует универсального и объективного критерия качества. Это обусловлено тем, что поведение наблюдателя при анализе томографической реконструкции не формализовано, во многом является субъективным и неоднозначным. Поэтому обычно пользуются отдельными, частными критериями, каждый из которых отражает определенную особенность формируемого изображения.
5.1. Классификация методов и алгоритмов
Математической особенностью томографических задач является то, что они принадлежат классу некорректно поставленных задач, как правило, родственным интегральным уравнениям Фредгольма. Эффективным средством их решения при конечном числе проекций является метод регуляризации академика А.Н. Тихонова, развитый впоследствии Филлипсом, Арсениным, Ягломом, Тананой и др.
62 |
Глава 5 |
|
|
Известно несколько тысяч алгоритмов, применяемых для задач вычислительной (реконструктивной) томографии. Их можно объединить в две большие группы: аналитические и итерационные (рис. 58) [8, 78–88].
Принятые международные обозначения алгоритмов для вычислительной томографии: FBP (filtered back-projection), BPF (back-projection filtering), ART (algebric reconstruction technique), MART (multiplicative algebric reconstruction technique), SMART (simultaneous multiplicative algebric reconstruction technique), CG (conjugate gradient), CD (coordinate descent), ISRA (iterative space reconstruction algorithm), EM (expectation-maximization), OSEM (ordered subset expectation maximization), SAGE (spacealternating generalized expectation-maximization), PSCD (posterior sternoclavicular dislocation).
Рис. 58. Классификация методов и алгоритмов
Алгоритмы аналитического обратного преобразования применялись со времён Абеля, Радона, Вайнштейна. В аналитиче-
Математические основы томографии |
63 |
|
|
ских методах пространственное распределение восстанавливаемого параметра полагается непрерывным. Дискретизация параметра выполняется лишь на последнем этапе процедуры реконструкции. При этом используется упрощенная модель имеющих место физических процессов и не учитываются статистические свойства сигнала. Преимуществом является устойчивость аналитических алгоритмов, возможность простой трактовки получаемых результатов и высокая по сравнению с другими методами скорость реконструкции.
Статистические методы в отличие от аналитических позволяют создавать более детальную физическую модель, характеризуются высоким пространственным разрешением и меньшим влиянием шумов изображений, могут работать с неполными данными. Дискретизация параметра выполняется на самом первом этапе реконструкции. Статистические методы в отличие от алгебраических используют вероятностную модель для измеряемых данных. Их недостатком является сложность моделей и программного обеспечения, а также значительное время реконструкции.
5.2. Теорема о проекциях
Одномерное преобразование Фурье от проекционных данных по переменной h записывается в виде:
F{ p}( h ) dh ei h h p(h, )
|
|
|
d x d y (x, y) ei( h cos( ) x h sin ( ) y) F{ }( x |
, y ) , (11) |
|
где ωx = ωh cos(θ) и ωy = ωh sin(θ). |
|
|
Смысл этого соотношения состоит в том, что если взять двумерный (2D) Фурье-образ объекта и в пространстве (ωx,ωy) провести линию под углом θ, проходящую через начало координат (рис. 59), то мы получим 1D Фурье-образ проекционных данных. Таким образом, реконструкция объекта сводится к вычислению Фурьеобраза от проекционных данных, пересчету его из полярной (ωh,θ)
64 |
Глава 5 |
|
|
в декартову (ωx,ωy) систему координат и последующему обратному 2D Фурье-преобразованию. У этой теоремы есть важное следствие, которое используется в практических алгоритмах: значение нулевой Фурье-гармоники не зависит от угла θ, т.е. интеграл от проекционных данных является константой:
|
|
|
|
dh p(h, ) d x d y (x, y) const . |
(12) |
||
Алгоритмы, основанные на теореме о проекциях, также не получили широкого распространения, что было связано с дискретностью проекционных данных по углу θ. По этой причине при пересчете Фурье-спектра проекционных данных в декартову систему координат возникает необходимость его интерполяции в полярной системе координат. Простые алгоритмы интерполяции приводят к значительным артефактам, а более сложные требуют значительных вычислительных затрат.
На практике возможно лишь конечное число проекций, определяемое количеством угловых положений. Кроме того, компьютер позволяет проводить вычисления лишь дискретными шагами. Таким образом, измерение функции F{μ}(ωx,ωy) возможно лишь для конечного числа точек на радиальных линиях, как это показано на рис. 60.
Рис. 59. Двумерное Фурье-преобразование проекционных данных
Математические основы томографии |
65 |
|
|
Рис. 60. Точки измерения в частотном пространстве
5.3. Метод обратных проекций: достоинства и недостатки
Наибольшее распространение на практике получили алгоритмы, связанные с обратным проецированием. Концепция обратных проекций весьма проста. Если «прямая» проекция – это интеграл по всем точкам объекта, соответствующим фиксированному значению h, то обратная проекция – это интеграл по всем проекциям, проходящим через заданную точку объекта с координатами (x,y) (рис. 61).
Рис. 61. Восстановление объекта (белого пятна) методом «обратной проекции»
66 |
Глава 5 |
|
|
Определим «обратную проекцию» (x, y) от проекционных данных p(h,θ) в виде:
|
|
|
|
||
(x, y) 0 d |
dh p(h, ) [x cos( ) y sin( ) h] (13) |
|
и, подставляя в (13) выражение (5) для p(h,θ), получим ее связь с объектом μ(x,y):
(x, y) |
d x |
d y |
(x, y) |
1 |
. (14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x x)2 ( y y)2 |
|
||
Это уравнение двумерной свертки, которое можно решить, используя известную теорему о свертке: Фурье-образ свертки есть произведение от Фурье-образов функций, входящих в нее. Подчеркнем, что в соотношении (14) подынтегральное выражение также имеет особенность типа 1/r, а уравнение свертки является двумерным.
Двумерную свертку можно свести к одномерной, если сделать предварительное преобразование (фильтрацию) проекционных данных перед обратным проецированием. Определим фильтрованные проекционные данные соотношением:
|
|
|
|
|
|
pf (h, ) dh p(h |
, ) g(h |
h). |
(15) |
||
Оказывается, что если выбрать функцию g(h) так, чтобы ее Фурьеспектр F{g}=|ω|, то простая подстановка (15) вместо p(h,θ) в (13) приводит к следующему выражению для реконструкции объекта:
|
|
(x, y) 0 d pf (h, ) [x cos( ) y sin( ) h] . |
(16) |
Формулы (15, 16) и составляют алгоритм «свертки и обратного проецирования», который является наиболее распространенным алгоритмом томографической реконструкции в параллельном пучке.
Математические основы томографии |
67 |
|
|
Отметим, что некорректность обратного преобразования Радона содержится и в этом алгоритме: спектр функции g(h) расходится при ω → ∞. Однако, поскольку проекционные данные получают с детектора, состоящего из конечного набора элементов, то можно воспользоваться теоремой Котельникова и рассматривать толь-
ко частоты, не превосходящие частоту Найквиста N , где
= hk+1 – hk – это расстояние между соседними элементами детектора. Тем самым мы получаем фильтр нижних частот, который решает проблему расходимости в спектре функции g(h). Для дополнительного уменьшения влияния экспериментальных шумов на реконструируемый объект спектр функции g домножают на частотный фильтр f(ω) (рис. 62):
F g |
|
|
|
f , |
(17) |
|
|
где f(ω) – это убывающая функция от частоты.
Вид функции f(ω) подбирается эмпирически для конкретного типа объектов в соответствии со спецификой конкретной измерительной установки.
Рис. 62. Представление данных в частотном пространстве: А – искомое, Б – действительное и В – отфильтрованное
При использовании идеального |ω| фильтра (рис. 63) возникают проблемы, связанные с тем, что экспериментальные данные содержат шумы, которые особенно значительны в области высоких частот. Применение такого фильтра приводит к увеличению шумов. Поэтому в большинстве случаев идеальный фильтр заменяется другим, спадающим при больших частотах. При этом приходится идти на компромисс: ухудшать пространственное разрешение за счет уменьшения шумов в изображении.
68 |
Глава 5 |
|
|
Рис. 63. Идеальный |ω| фильтр в координатном |
ичастотном пространствах
5.4.Метод максимального правдоподобия [87, 88]
Вметоде максимального правдоподобия (ММП) уравнение Радона (5) заменяется его дискретным аналогом:
p(hk , m ) (xi , y j ) (xi , y j , hk , m ) , |
(18) |
i, j |
|
представляющим собой обычную линейную систему, матрица которой α(xi,yj,hk,θm) вычисляется из геометрических соображений. Решение системы (18) для реконструкции объекта μ(xi,yj) по проекционным данным p(hk,θm) известно в литературе как алгебраический метод реконструкции. Поскольку левая часть системы (проекционные данные) известны неточно, то задача (18) становится некорректной и может вообще не иметь точного решения. Поэтому в качестве реконструированного объекта выбирается такой, для которого выражение (18) наилучшим образом соответствует экспериментальным результатам радиографических измерений.
Математические основы томографии |
69 |
|
|
Поскольку соотношение между объектом μ(xi,yj) и его проекционными данными, т.е. матрица системы, задается при постановке задачи, то появляется возможность учитывать конкретные параметры измерительной установки. Поэтому ММП можно использовать для любого из трех классов томографических задач. Его недостатком является большой объем требуемых вычислений. По сравнению с классическими методами реконструкции ММП занимает в 20–100 раз большее время. Основным достоинством этого метода является возможность детального контроля экспериментальных данных для анализа «систематических» ошибок, связанных с немонохроматичностью источника, его нестабильностью во времени, нестабильностью параметров детектора, вкладом рассеянного излучения и т.д. Другим достоинством ММП является более высокое качество реконструкции, особенно при низком отношении сигнал/шум или при неполных данных.
ММП используется для исследования особенностей конкретной измерительной установки и выяснения, какая предварительная коррекция радиографических данных необходима для последующей томографической реконструкции. После такой коррекции появляется возможность использования более «быстрых» классических методов.
5.5. Алгоритмы для конического пучка [9, 89–92]
Послойная трехмерная реконструкция в параллельном пучке излучения обладает рядом недостатков, среди которых основными являются следующие: низкая скорость реконструкции, дискретный характер, большие дозы облучения исследуемого объекта. От этих недостатков свободен процесс реконструкции в коническом пучке излучения (рис. 64). Необходимо отметить, что такой подход наиболее адаптирован к томографии на быстрых нейтронах при использовании в качестве источника нейтронов генератора с относительно невысоким выходом. При этом могут быть использованы два метода просвечивания объекта: циркулярный (круговой) и геликоидальный (спиральный).