4 курс / Лучевая диагностика / 2__~1
.PDF7,388 |
см |
u |
|
|
|
|
|
R 7,766 |
см |
u |
. |
11,226 см |
4,646 см |
|
|
|
|
|
|
18,408 cм |
4,901 cм |
|
|
2,230 см |
|
|
|
|
B1 |
1,161 |
см |
0,495 см |
||
|
|
|
|
11,45 см |
|
|
0,237 |
|
|
|
|
|
1,000 |
|
B3 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
B2
B4
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,145 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,010 |
|
|
|
|
0,034 см |
|
||
|
|
|
|
, |
1,303 см |
|
|||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
(9.12)
(9.13)
(9.14)
где u– произвольное число не равное нулю.
На рис. 9.9 приводится пример сравнения результатов расчета по эмпирической модели тонкого луча с экспериментальными данными для размера поля 10 10 см2 и SSD = 125 см.
2.4.1.2. Эмпирическая модель тонкого луча, основанная на расчетных данных
Дозовые распределения, создаваемые на нейтронной установке в UKE, были также смоделированы с помощью метода Мон- те-Карло [7,8]. Авторами были созданы программы, которые, фактически, рассчитывали дозовые распределения, создаваемые ТЛ быстрых нейтронов в водном фантоме. Однако результаты расчетов были представлены не для дозового ядра ТЛ, а для таких же расходящихся пучков, как и в их эмпирической модели ТЛ, основанной на экспериментальных данных. Геометрия этих данных следующая: начало пучков размещается в мишени на расстоянии SSD = 125 см от водного фантома; геометрическая ось пучков нормальна к поверхности фантома; на поверхности фантома пучки создают квадратные поля размерами от 5 5 до 20 20 см2 (14 по-
131
лей). Расчеты проводились для моноэнергетических нейтронов в интервале от 0,25 до 17,25 МэВ с шагом 0,5 МэВ.
Рис. 9.9. Сравнение результатов расчетов доз по эмпирической модели тонкого луча (сплошные кривые) с экспериментальными данными (точки) для дозовых профилей вдоль оси x (y = 0) для поля 10 10 см2 и SSD = 125 см [7]
132
Рис. 9.10. Глубинные зависимости полной дозы и доз, создаваемых первичными и рассеянными нейтронами, в воде для энергии нейтронов 5,25 МэВ и размера поля 10 10 см2 (а) и зависимость дозового вклада, создаваемого рассеянными нейтронами в воде, от размера поля на глубине 5 см (б) [8]
Отдельно рассчитывались дозы, создаваемые при первичном взаимодействии нейтронов и создаваемые рассеянными нейтронами. Доза от первичного взаимодействия разделялась на дозу от первичного взаимодействия с водородом и дозу от первичного взаимодействия с кислородом. В качестве примера, на рис. 9.10,а,
показано глубинное распределение отдельных составляющих полной дозы, а на рис. 9.10,б – зависимость дозы, создаваемой рассе-
янными нейтронами, от размера поля.
Результаты своих расчетов авторы работы [8] аппроксимировали аналитическими выражениями. Для глубинного распределения
133
дозы, обусловленной первым взаимодействием, ими предложено следующее выражение:
Dp (z) (z0 |
z 2 |
Dp0 exp( z / ) , |
(9.15) |
|
z)2 |
||||
|
|
0 |
|
|
где z0 = SSD = 125 см; z – глубина в фантоме; Dp0 – начальное значение глубинной дозовой кривой; λ – длина релаксации нейтронов; α и β – эмпирические параметры, характеризующие влияние расстояния до источника на первичную дозу.
Отметим, что величина первичной дозы не зависит от размера
поля. Значения параметров α и β для водорода равняется α =
=0,663 0,007 см, β = 0,800 0,015 и для кислорода α = =0,178 0,002 см, β = 0,224 0,005.
Аппроксимационное выражение для дозы, создаваемой на оси пучка рассеянными нейтронами, имеет вид:
D (z) |
z02 |
[D |
exp( |
z |
) D |
exp( |
z |
)], |
(9.16) |
|
(z0 z)2 |
S1 |
S 2 |
||||||||
S |
S1 |
|
S 2 |
|
|
|
где α и β – эмпирические параметры, зависящие от энергии нейтронов и размера поля; DS1 , DS 2 , S1, S 2 – начальные зна-
чения экспоненциальных зависимостей и длины релаксации, соответственно, зависящие от энергии нейтронов и размера поля.
Зависимость α и β от энергии нейтронов выражается следующими формулами:
0,808(см) 0,018(см/МэВ) E(МэВ); |
(9.17) |
|||||
0,029 0,0007(1/ МэВ) E(МэВ). |
(9.18) |
|||||
Эти параметры зависят также от размера поля (табл. 9.4). |
|
|||||
Значения D |
, D |
|
, |
|
в зависимости от площади поля |
|
S1 |
S 2 |
, S1 |
|
S 2 |
|
|
A и энергии нейтронов E определяются из следующих выражений:
S1 |
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
(9.19) |
D |
(E, A) |
|
a |
|
( A) |
|
k(E)2 / 3 , |
|
||
DS 2 |
(E, A) |
|
|
|
1 |
|
|
DS1 (E), |
(9.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 aS 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
( A) |
|
||||||
S1 (E, A) CS1 (A) (E), |
(9.21) |
134
S 2 (E, A) CS 2 (A) (E), |
(9.22) |
где k(E) – керма-фактор; λ(E) – длина релаксации для падающих нейтронов; aS1 , aS 2 ,CS1 ,CS 2 – подгоночные параметры,
зависимость которых от площади поля приводится на рис.
9.11.
Таблица 9.4
Значения эмпирических параметров α и β от размера поля
Энергия нейтрона, |
5 5 см2 |
10 10 см2 |
||
МэВ |
α, см |
β |
α, см |
β |
0,25 |
0,255 |
0,169 |
0,379 |
0,087 |
17,25 |
0,813 |
0,134 |
0,576 |
0,044 |
Следует отметить, что эмпирические модели, развитые в работах [7,8], не являются, конечно, универсальными. Они обеспечивают необходимую точность расчета только на нейтронной установке в UKE. Вместе с тем, функциональные зависимости, найденные авторами, могут оказаться достаточно полезными при разработке модулей расчета дозовых распределений в системах дозиметрического планирования на других нейтронных облучателях.
2.4.2. Метод тонкого луча
Метод тонкого луча (ТЛ) в его традиционной постановке (см. глава 6, раздел 5) разрабатывался для расчета доз от пучков быстрых нейтронов в работе [26]. В соответствии с алгоритмом ТЛ поглощенная доза в произвольной точке (x,y,z) водного фантома от мононаправленного источника равна:
D(x, y, z) |
|
dΕ |
|
dx dy |
(x , y ,z |
|
0) |
|
K тл |
(E, x x , y y , z) |
, |
|
|
||||||||||
|
|
Ε |
|
|
|
(x, y, z) |
|||||
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.23) |
где Ε (x , y ,z 0) – флюенс нейтронов с энергией E в произвольной точке на поверхности фантома; Kтл (E, x x , y y ,z ) –
дозовое ядро ТЛ нейтронов с энергией E, представляющее собой пространственное распределение поглощенной энергии в единице объема вблизи произвольной точки (x,y,z), создаваемое точечным
135
моноэнергетическим источником нейтронов, падающим нормально на поверхность водного фантома в точке ( x , y , z 0) , нормированное на один нейтрон источника; (x, y, z) – плотность среды
(для воды 1) в точке (x,y,z); S – площадь поля на поверхности фантома.
Рис. 9.11. Зависимость параметров, входящих в уравнения (9.19) – (9.20) от размера поля [8]
Если источник излучения является расходящимся, то в формуле (9.23) появляется дополнительный член (множитель), учитывающий геометрическое ослабление пучка. Обычно этот эффект рассчитывается на основе закона обратных квадратов.
В силу круговой симметрии дозовое ядро ТЛ в цилиндрической системе координат зависит только от двух переменных – z (глуби-
136
на в среде вдоль оси ТЛ) и r (расстояние от оси ТЛ). Для убыстрения расчетов при дозиметрическом планировании ядро ТЛ часто предварительно усредняется по спектру пучка.
2.4.2.1. Методика расчета дозового ядра ТЛ в воде
Подробные расчеты дозового ядра в воде для ТЛ быстрых и
промежуточных нейтронов были выполнены в работе [26] методом Монте-Карло по программе MCNP4C2. Энергия падающих нейтро-
нов задавалась в диапазоне 0,025 эВ – 14,5 МэВ. Весь диапазон разделялся на 28 групп со стандартными границами и однородным энергетическим распределением внутри групп.
Под дозовым ядром в работе [26] понимается пространственное распределение поглощенной дозы в полубесконечной водной среде, которое создается тонким лучом нейтронов, нормально падающим на границу среды, нормированное на один падающий нейтрон. В расчетах полубесконечная водная среда аппроксимировалась цилиндрическим водным фантомом высотой 80 см и диаметром 160 см. Тонкий луч нейтронов падал на поверхность вдоль геометрической оси фантома. При проведении расчетов дозовое ядро для каждой i-й группы разделялось на три компоненты:
|
KТЛi (z,r) KPi (z, r) KSi (z, r) KGi (z, r), |
(9.24) |
где K i |
(z, r) – вклад в поглощенную дозу, создаваемый вблизи |
|
P |
|
|
точки (z,r) первичными нейтронами; KSi (z, r) – вклад в поглощенную дозу, создаваемый вблизи точки (z,r) рассеянными нейтронами; KGi (z, r) – вклад в поглощенную дозу вблизи той же точки от
вторичного гамма-излучения, образующегося при взаимодействии нейтронов с водой.
Программа MCNP4C2 не моделирует траектории тяжелых заря-
женных частиц. При расчете энергопоглощения в ячейках (оценка F6 в программе MCNP4C2) считается, что образующиеся при взаи-
модействии тяжелые заряженные частицы (в основном, протоны) поглощаются в точке образования. Поэтому в работе [26] определение поглощенных доз проводилось в приближении кермы. Учитывая малость пробегов протонов в этой области энергий, такое приближение является вполне оправданным.
137
При расчетах весь фантом разбивался на кольцеобразные ячейки, границы которых по z и r (кроме первой по r) выбирались так, чтобы различие в значениях кермы для соседних ячеек не превышало 30 %. Радиус центральных ячеек (ближайших к оси тонкого луча) был равен R1 = 0,005 см. Энергопоглощение в этих центральных ячейках связывалось с дозой, создаваемой только при первом взаимодействии нейтронов ТЛ. Это тоже является приближением, однако, учитывая малость R1, вероятность взаимодействия рассеянных нейтронов в центральных ячейках очень мала, поэтому данное допущение практически не влияет на точность расчета кермы. Вместе с тем в силу допущения о локальном поглощении энергии тяжелых заряженных частиц (или их нулевых пробегах) результаты расчета представляют значения кермы первичных нейтронов, усредненные по объему центральных ячеек. Другими словами, в ра-
боте [26] не было рассчитано распределение KPi (z, r) по перемен-
ной r, поэтому полученные результаты нельзя применять, используя принцип суперпозиции (3.23) для расчета доз от пучков с поперечными размерами, меньшими 2R1.
На рис. 9.12 в качестве примера приводится зависимость K Pi (z) от глубины в водном фантоме z, и на рис. 9.13 – зависимо-
сти KSi (z, r) и KGi (z, r) от расстояния до оси ТЛ нейтронов r для энергетической группы E 0,2 0,4 МэВ на глубине z = 1 см. Из
рис. 9.13 видно, что вклад в дозовое ядро от вторичного гаммаизлучения увеличивается с увеличением r, и на расстоянии r ≥ 17 см начинает превышать вклад от рассеянных нейтронов. Следует отметить, что этот вклад также увеличивается с уменьшением начальной энергии ТЛ нейтронов.
2.4.2.2. Аналитическая аппроксимация дозового ядра ТЛ в воде
Результаты численных расчетов для K i |
(z, r) и |
K i |
(z, r) в рабо- |
||
|
|
S |
|
G |
|
те [26] аппроксимированы аналитическими выражениями вида: |
|||||
|
1 |
N |
|
|
|
Kmi (z, r) |
C ij (z) exp[ k ij (z) r] , |
|
(9.25) |
||
r |
|
||||
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
138 |
|
|
|
где C ij и k ij – эмпирические коэффициенты для i-й энергетической
группы, зависящие от глубины z; m – индекс, принимающий значения S или G; N – число членов в сумме, принятое равным 5.
Рис. 9.12. Зависимость первичной поглощенной дозы, усредненной по объему центральных ячеек, от глубины в водном фантоме для ТЛ нейтронов энергетической группы E = 0,2 – 0.4 МэВ
Рис. 9.13. Зависимость вкладов в дозовое ядро ТЛ рассеянных нейтронов (_____) и
вторичного гамма-излучения (- - -) от расстояния до оси ТЛ нейтронов с энергией E = 0,2 – 0.4 МэВ на глубине z = 1 см
139
Значения эмпирических коэффициентов определяли методом наименьших квадратов, минимизируя отклонения результатов расчета определенных интегралов от дозовых ядер, выраженных в форме (9.25) и полученных методом Монте-Карло, по переменной r от 0 до разных значений R. Выбранный вид аппроксимационной формулы (9.25) позволяет при расчете доз от полей произвольной формы свести двойной интеграл по площади поля (9.23) путем триангуляции к сумме одномерных интегралов Зиверта (см. глава 6), которые легко предварительно табулировать. Погрешность расчета доз, создаваемых рассеянными нейтронами и вторичным гаммаизлучением, от полей произвольной формы с использованием дозового ядра ТЛ в форме (9.25) не превышает 3 %.
В работе [26], как отмечалось выше, не изучалась радиальная зависимость компоненты K Pi (z, r) . Сообщение о более детальном
исследовании этой компоненты имеется в работе [8]. Однако в самой публикации [8] приводится всего один рисунок, иллюстрирующий радиальную зависимость компоненты первичной дозы только для одной энергии источника. В этих условиях можно предложить дельта-приближение для аналитической зависимости ком-
поненты K Pi (z, r) от переменных z и r в виде:
K ip |
(z, r) Ai |
exp( i z) |
(r) , |
(9.26) |
|
r |
|||||
|
|
|
|
где Ai – константа, зависящая от энергии источника; i – макроскопическое сечение взаимодействия для нейтронов i-й энергетической группы.
Значение константы Ai определяется из нормировочного соотношения
|
|
2 r K ip (z 0, r) dr (K wi )air , |
(9.27) |
0 |
|
где (K wi )air – керма воды в воздухе для нейтронов i-й энергетической группы. Из (9.26) и (9.27) получаем следующее окончательное
выражение для K ip : |
|
|
|
|
|
|
K ip (z, r) (K wi )air |
|
exp( i z) |
|
(r) . |
(9.28) |
|
2 |
||||||
|
|
|
r |
|
||
|
140 |
|
|
|