Математика в изометрии окружность, эллипс, сфера, эллипсоид-1

Математика в изометрии.

1.Окружность.

2. Сфера.

3. Эллипс.

4. Эллипсоид

4.1. – вытянутый эллипсоид вращения.

4.2. – сплющенный эллипсоид вращения.

4.3 – 3-х осный эллипсоид.

1. Окружность в изометрии.

Задано: . Окружность в изометрии – эллипс. Рассчитаем и - полуоси эллипса

В изометрии коэффициент искажения по осям берут равным 1. Отложим по осям X, Y изометрической проекции диаметр заданной окружности , которые являются сопряжёнными диаметрами искомого эллипса.

По теореме Аполлония: ; (1)

Где ; полуоси сопряжённых диаметров

; полуоси искомого эллипса

- острый угол между сопряжённым диаметром и большой осью эллипса

- острый угол между сопряжённым диаметром и большой осью эллипса

Т.к. угол между осями в изометрии равен 120°, то

Решаем систему уравнений (1) ; ; заменим и приведём к виду ; ; ; ;

Подставляем, получаем: ; ,( ; )

Полуоси найдены, чертим эллипс, применяя уравнение эллипса в параметрическом виде:

; - задаваемый параметр 0÷360°; в плоскости XY.

Для плоскостей XZ и YZ рассчитываем координаты, используя формулы поворота:

для плоскости XZ, для плоскости YZ.

2. Сфера в изометрии.

Начертим окружность Rокр=50мм в изометрии (эллипс a=61,2мм b=35,4мм) по оси XY, используя уравнение эллипса в парамерическом виде: ;

и по осям YZ, XZ, используя формулы поворота:

w=60° для осиXZ, w= -60° для оси YZ.

Чертим окружность Rсф=a=61,2мм, используя уравнение окружности в параметрическом виде: ; - задаваемый параметр 0÷360°

Жирной линией выделен октант сферы.

3. Эллипс в изометрии.

Задано: эллипс в декартовой системе координат с полуосями: ;

В изометрии коэффициент искажения по осям берут равным 1. Отложим по осям X, Y в изометрической проекции полуоси заданного эллипса. Они будут являться полуосями и сопряжённых диаметров искомого эллипса.

По теореме Аполлония: ; (1)

Где ; полуоси сопряжённых диаметров

; полуоси искомого эллипса

- острый угол между сопряжённым диаметром и большой осью эллипса

- острый угол между сопряжённым диаметром и большой осью эллипса

Т.к. сопряженные диаметры откладываются по осям изометрии, то угол между ними ,

тогда

Решаем систему уравнений (1) ; ; заменим и приведём к виду ; ; ; ;

Подставляем численные значения, получаем: ; .

Для наглядности, по полученным параметрам чертим эллипс в декартовых координатах, с последующим переводом в изометрию.

Координаты находим, решая систему уравнений; ;

подставляем, получаем : , .

Координаты находим, решая систему уравнений; ;

подставляем, получаем : , .

между полуосью сопряженного диаметра и большой полуосью.

между полуосью - сопряженного диаметра и - большой полуосью.

Убираем все вспомогательные линии и совмещаем полуоси сопряженных диаметров эллипса (b1, a1) с осями в изометрии переносим эллипс на плоскость по формулам поворота.

4.1. эллипсоид вращения вытянутый. Упрощённый расчет.

Задано: полуоси эллипса в декартовых координатах ; .

Алгоритм расчета и построения эллипса с данными параметрами в изометрической проекции

см. выше в разделе 3. получили следующие параметры:

а=255,6 b=84,7 w=355,7° cos(355,7)=0,9972; sin(355,7)=-0,075 А=tg(-60°)=-1,7321 С=240

Требуется: рассчитать, начертить эллипсоид вращения с полуосями а=250 b=100 в изометрической проекции.

; ;

;

;

-1-

подставляем I., II. и решаем квадратное уравнение численно.

АА1=СТЕПЕНЬ(84,7;2)*(СТЕПЕНЬ(0,9972;2)+2*0,9972*(-0,075)*(-1,7321)+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2))

ВВ1=СТЕПЕНЬ(84,7;2)*((-2)*0,9972*(-0,075)*(-1,7321)*240-2*240*СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2))

СС1=СТЕПЕНЬ(84,7;2)*СТЕПЕНЬ((-1,7321)*240*(-0,075);2)

АА2=СТЕПЕНЬ(255,6;2)*(СТЕПЕНЬ((-1)*(-0,075);2)+2*(-1)*(-0,075)*(-1,7321)*0,9972+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2))

ВВ2=СТЕПЕНЬ(255,6;2)*((-2)*(-1)*(-0,075)*(-1,7321)*0,9972*240-2*240*СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2))

СС2=СТЕПЕНЬ(255,6*(-1,7321)*0,9972*240;2)

АA=АА1+АА2; ВB=ВВ1+ВВ2; СC=СС1+СС2-СТЕПЕНЬ(255,6*84,7;2) ; Х1=254 находим ; радиус окружности эллипсоида вращения вокруг большой оси. Окружность в изометрии является эллипсом с полуосями a=1,22R; b=0,71R с центром в точке С – переменном фиксированном параметре, (С=240, у=0)

Изометрическая проекция эллипсоида вращения с полуосями a=250; b=100; c=100; для удобства расчёта и наглядности изометрические оси повёрнуты на 90°. Огибающий эллипс имеет полуоси a=122; b=259,9 Жирной линией выделена 1/8 часть эллипсоида.

-2-

АА=СТЕПЕНЬ(84,7;2)*(СТЕПЕНЬ(0,9972;2)+2*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2))+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*(СТЕПЕНЬ((-1)*(-0,075);2)+2*(-1)*(-0,075)*(-1,7321)*0,9972+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2))

ВВ=СТЕПЕНЬ(84,7;2)*((-2)*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2)*2*240)+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*((-2)*(0,075)*(-1,7321)*0,9972*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2)*2*240)

СС=СТЕПЕНЬ(84,7*(-1,7321)*(-0,075)*240;2)+СТЕПЕНЬ(255,6*(-1,7321)*0,9972*240;2)-СТЕПЕНЬ(255,6*84,7;2)

Х1=ОКРУГЛ((-(СТЕПЕНЬ(84,7;2)*((-2)*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2)*2*240)+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*((-2)*(0,075)*(-1,7321)*0,9972*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2)*2*240))+КОРЕНЬ(СТЕПЕНЬ((СТЕПЕНЬ(84,7;2)*((-2)*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2)*2*240)+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*((-2)*(0,075)*(-1,7321)*0,9972*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2)*2*240));2)-4*(СТЕПЕНЬ(84,7;2)*(СТЕПЕНЬ(0,9972;2)+2*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2))+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*(СТЕПЕНЬ((-1)*(-0,075);2)+2*(-1)*(-0,075)*(-1,7321)*0,9972+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2)))*(СТЕПЕНЬ(84,7*(-1,7321)*(-0,075)*240;2)+СТЕПЕНЬ(255,6*(-1,7321)*0,9972*240;2)-СТЕПЕНЬ(255,6*84,7;2))))/(2*(СТЕПЕНЬ(84,7;2)*(СТЕПЕНЬ(0,9972;2)+2*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2))+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*(СТЕПЕНЬ((-1)*(-0,075);2)+2*(-1)*(-0,075)*(-1,7321)*0,9972+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2))));1) Равно=254

Х2=ОКРУГЛ((-(СТЕПЕНЬ(84,7;2)*((-2)*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2)*2*240)+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*((-2)*(0,075)*(-1,7321)*0,9972*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2)*2*240))-КОРЕНЬ(СТЕПЕНЬ((СТЕПЕНЬ(84,7;2)*((-2)*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2)*2*240)+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*((-2)*(0,075)*(-1,7321)*0,9972*240-СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2)*2*240));2)-4*(СТЕПЕНЬ(84,7;2)*(СТЕПЕНЬ(0,9972;2)+2*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2))+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*(СТЕПЕНЬ((-1)*(-0,075);2)+2*(-1)*(-0,075)*(-1,7321)*0,9972+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2)))*(СТЕПЕНЬ(84,7*(-1,7321)*(-0,075)*240;2)+СТЕПЕНЬ(255,6*(-1,7321)*0,9972*240;2)-СТЕПЕНЬ(255,6*84,7;2))))/(2*(СТЕПЕНЬ(84,7;2)*(СТЕПЕНЬ(0,9972;2)+2*0,9972*(-1,7321)*(-0,075)+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*(-0,075);2))+СТЕПЕНЬ(255,6;2)*(СТЕПЕНЬ((-1)*(-0,075);2)+2*(-1)*(-0,075)*(-1,7321)*0,9972+СТЕПЕНЬ((-1,7321)*0,9972;2))));1) Равно=226,1

-3-

Далее подставим численные значения кроме переменного фиксированного параметра –

Уравнение семейства кривых (эллипсов) в параметрическом виде:

Хс=((-240)*(-374993)+КОРЕНЬ(СТЕПЕНЬ(240*(-374993);2)-4*187464*(СТЕПЕНЬ(240;2)*195030-468693057)))/(2*187464)=254 (все верно)

Для простоты расчёта приведём формулу к виду:

Хс=(240*374993+КОРЕНЬ(-СТЕПЕНЬ(240*74998;2)+СТЕПЕНЬ(18747053;2)))/374928=254

где – является переменным фиксированным параметром (число 240 взято для проверки формулы), остальное константы.

; подставляем в

; ;

Важно! Эллипс семейства кривых расположен большой полуосью

вверх, поэтому меньше получаем

Приведём уравнение семейства кривых к каноническому виду:

+ =1

;

Получили уравнение семейства кривых: F(x,y,Cx)=0; берём производную по получаем систему уравнений:

из уравнения (2) находим подставляем в (1) получаем уравнение огибающей.

Дальше громоздкие вычисления производной сложной функции и алгебраического уравнения.

-4-

из уравнения (2) находим в явном виде, подставляем в (1) получаем уравнение огибающей.

Сложные, громоздкие вычисления.

Способ 2 – упрощенный. Найдём b – малую полуось огибающего эллипса.

Из уравнении (1) при ; получим: ; ;

b=

Большая полуось огибающего эллипса а – равна максимальной сумме полуоси - кривой из семейства при заданном переменном фиксированном параметре , который определяется подбором, решая уравнение (1) при ; извлечение из Excel:

Q	R	S	T	U
Сх	х1	а	b	Сх+а
238	253,3	21,7	37,3	259,7
240	254	19,9	34,2	259,9	max
242	254,5	17,8	30,5	259,8

х1=ОКРУГЛ(((-1)*240*(-374991,6)+КОРЕНЬ(СТЕПЕНЬ(240*(-374991,6);2)-4*187463,8*(СТЕПЕНЬ(240;2)*195030,2-468693056,5)))/(2*187463,8);1)

параметры огибающего эллипса b=122; a=259,9

4.2. эллипсоид вращения сплющенный. ПРИБЛИЗИТЕЛЬНЫЙ расчет.

Задано: полуоси эллипса в декартовых координатах ; . Расчет и построение эллипса с данными параметрами в изометрии см. выше в разделе 3.

Построить эллипсоид вращения вокруг оси Z.

1. Сечение в плоскости XZ – эллипс

отложим по оси Z ; по оси X

2. Сечение в плоскости YZ – эллипс

отложим по оси Z ; по оси Y

3. Сечение в плоскости XY – окружность .

Расчет окружности в изометрии см. раздел 1., получаем эллипс с ;

Алгоритм расчёта сплющенного эллипсоида вращения см. выше раздел 4.1, только вращение производится вокруг малой оси. Линией эллипсоида является эллипс с полуосями ; чертим , применяя уравнение эллипса в параметрическом виде:

- задаваемый параметр.

4.3. – эллипсоид общий случай; НЕОКОНЧЕННЫЙ расчет.

Эллипсоид 70-50-30.

Откладываем в изометрии по осям X, Y, Z в положительной области в плоскости XY по оси X большую полуось заданного эллипса , по оси Y – малую , по оси Z – малую полуось эллипсов в плоскостях XZ и YZ - .

1. Определим параметры заданного в декартовых координатах эллипса с полуосями в плоскости XY изометрической проекции:

По теореме Аполлония: ; (1)

Где ; полуоси сопряжённых диаметров искомого эллипса (по величине равные полуосям заданного эллипса) ; ; полуоси искомого эллипса

- острый угол между сопряжённым диаметром и большой осью эллипса

- острый угол между сопряжённым диаметром и большой осью эллипса

Т.к. сопряженные диаметры откладываются по осям изометрии, то угол между ними 120°,

тогда

Решаем систему уравнений (1) ; ; ; заменим и приведём к виду ;

; ; ;

Подставляем численные значения, получаем: ; .

Для наглядности, по полученным параметрам чертим эллипс в декартовых координатах,

используя уравнение эллипса в параметрическом виде; ; - задаваемый параметр

с последующим переносом в изометрию.

Координаты находим, решая систему уравнений; ;

; подставляем, получаем : , .

Координаты находим, решая систему уравнений; ;

; подставляем, получаем : , .

между полуосью сопряженного диаметра и большой полуосью.

между полуосью - сопряженного диаметра и - большой полуосью.

Убираем все вспомогательные линии и переносим эллипс в изометрию по формулам поворота. ; ; - параметры эллипса в декартовой системе координат.

2. Определим параметры заданного в декартовых координатах эллипса с полуосями в плоскости XZ изометрической проекции. Расчет аналогичен разделу 1.

; ; , ; , ; , ; .

Убираем все вспомогательные линии и переносим эллипс в изометрию по формулам поворота. ; ; - параметры эллипса в декартовой системе координат.

2. Определим параметры заданного в декартовых координатах эллипса с полуосями в плоскости YZ изометрической проекции. Расчет аналогичен разделу 1.

; ; , ; , ; , ; .

Убираем все вспомогательные линии и переносим эллипс в изометрию по формулам поворота. ; ; - параметры эллипса в декартовой системе координат.

Сводный чертеж (жирным выделена 1/8 часть эллипсоида).

Как найти огибающую аналитически?

Параметры огибающего эллипса найдены подбором! a=77мм, b=49,2мм w=-198°