Контрольные / 2020_KR_2_Variant_1_obrazets
.pdfЛА, 2020, КР-2
Вариант № 1.
1. (10 б) В пространстве многочленов степени не выше 2 задан оператор
A( y) y xy . |
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a) Найти его матрицу в базисе e |
1, |
e |
x, |
e x2 . |
0 |
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2 |
b) Обратим ли оператор?
c) Найти ядро и образ оператора.
d) Найти собственные значения и отвечающие им собственные векторы.
e) Существует ли базис, в котором матрица оператора имеет диагональный вид? В случае положительного ответа выписать матрицу перехода от исходного базиса к базису, в котором матрица оператора имеет диагональный вид и матрицу оператора в полученном базисе.
Ответ:
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det |
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0 |
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0 : x |
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A |
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0 |
1 |
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, A |
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не сущ,kerA=c 1, 0, 0 , |
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Im A c |
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0,1, 0 c |
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1, 0,1 |
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(1; 0; 0), 1: x (0;1; 0), 2 : x (1; 0;1), |
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0 |
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0 |
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A |
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,T |
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2.(5 б) Билинейная форма f в базисе e1 ,
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3 |
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a) Найти f e1 e2 , 2e1 e2 ; |
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b) Найти ее матрицу в базисе |
f1 e1 e2 , |
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e2 |
имеет матрицу |
f2 2e1 e2 .
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1 2 |
1 1 |
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4 1 |
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A f |
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3. (5 б)Привести квадратичную форму
( ) = 12 + 2 1 2 + 222 +42 3 + 532
к нормальному виду методом Лагранжа. Указать невырожденное преобразование (прямое и обратное), приводящее к этому виду, матрицу перехода от старого базиса к новому, а также матрицу квадратичной формы в старом и новом базисах.
f (x) x |
2 |
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2x x |
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2x |
2 |
4x x |
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5x |
2 |
x |
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x |
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2 |
x |
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2x |
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2 |
x |
2 |
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y |
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y |
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y |
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x |
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2 |
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2 |
, y |
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x |
, y |
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x |
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2x |
, y |
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x |
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x y |
y |
2 |
2 y |
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, x |
2 |
y |
2 |
2 y |
, x |
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y |
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, F |
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,T |
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4. (5 б) Квадратичную форму привести к каноническому виду ортогональным преобразованием (в ответ записать канонический вид и ортогональное преобразование)
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2 |
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2 |
8x1 x2 8x2 x3 |
( 1 |
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f |
7 x1 |
7 x3 |
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4 |
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0 |
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0 |
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F |
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, F |
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9 : |
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0 2 |
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4 , 2 |
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9, |
0, |
2 |
3 |
, |
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0 |
4 |
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0 |
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0 |
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1 |
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f1 1; 4;8 |
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9
1
8 2
).
0
41
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0 |
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0 |
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0 : |
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f |
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4; 7; 4 |
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0, f |
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0 |
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, f |
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, |
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ортогональны, |
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нормируем : e |
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1; 4;8 |
, e |
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8; 4;1 |
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