Контрольные / типовая кр простошкина по линалу 2 сем

1.ЯвляетсялиЛинейнымПространствомданноемножество.Вслучаеположительного

Доказательство, что множество – линейное пространство…

ответа найти размерность и указать какой-либо базис.

Условие

эквивалентна равенствам

=

=

= =0

2.Для каждого найти базис линейной оболочки симметричных матриц вида:

Введем стандартный базис симметричных матриц 2х2 :

,

Тогда:

Найти размерность линейной оболочки

.

Разложить элементы

по базисам в зависимости от значения p.

Координатные столбцы линейно независимы (доказательство…) при ≠ −1/3 , в этом случае

и в качестве базиса линейной оболочки можно взять сами элементы

.

При = −1/3

Базис образуют, например, линейно независимые матрицы

,

и справедливо разложение по базису:

3.Определить является ли система совместной, записать ее решение.

Система совместна, имеет единственное решение, т.к. определитель системы отличен от нуля.

4.Найти общее решение системы, записать его в векторной форме. Выделить

Нахождение ФСР:

Общее решение:

фундаментальную систему решений.

С ,С ,С

5.Выяснить является ли оператор линейным и найти в этом случае его матрицу,

Доказательство линейности оператора…

задав базис ЛП

6.Выяснить является ли оператор линейным. Если оператор линейный, то написать

Доказательство линейности оператора… Линейный оператор в базисе

его матрицу, задав базис ЛП, затем найти его собственные значения, выяснить

имеет матрицу

является ли ЛП диагонализируемым, в этом случае найти соответствующий базис и

СЗ: , , , = −2.

диагональную матрицу ЛО

Базис, в котором матрица диагональная (−2,−2,−2,−2):

( ) = 1, ( ) = , ( ) =

+ +2,

( ) = +3 +6

7.Найти собственные числа и собственные векторы ЛО, имеющего в некотором

Оператор диагонализируем (обоснование…), матрица в базисе из ЛНЗ собственных векторов(…) имеет вид (1,−1,−2,−2)

базисе матрицу: